高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第3课时当堂达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第3课时当堂达标检测题，共8页。
第六章　6.4　6.4.3　第3课时

A级——基础过关练
1．(2022年蚌埠期中)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于(　　)
A． B．
C．2 D．2
【答案】D
【解析】在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sin B＝1．因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝·AC·BC·sin C＝2．
2．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为(　　)

A．3 m B．4 m
C．8 m D．12 m
【答案】B
【解析】由题意知∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝120°．由正弦定理得＝，即AB＝＝＝4(m)．
3．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为(　　)
A．500米　　　 B．600米
C．700米　　 D．800米
【答案】C
【解析】由题意，在△ABC中，AC＝300米，BC＝500米，∠ACB＝120°．利用余弦定理可得AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos 120°，所以AB＝700米．故选C．
4．在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C的对边，若满足条件c＝4，∠B＝60°的三角形的解有两个，则b的长度范围是(　　)
A．(0,2)　　 B．(2,4)
C．(2，4)　　 D．(4，＋∞)
【答案】C
【解析】因为满足条件c＝4，∠B＝60°的三角形的解有两个，所以csin B＜b＜c，即2＜b＜4，即b的取值范围为(2，4)．故选C．
5．(多选)在△ABC中，已知(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，给出下列结论，其中正确的是(　　)
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定
B．△ABC一定是钝三角形
C．sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3
D．若b＋c＝8，则△ABC的面积是
【答案】BC
【解析】∵(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，∴设a＋b＝6k，c＋a＝5k，b＋c＝4k(k＞0)，得a＝k，b＝k，c＝k，则a∶b∶c＝7∶5∶3，则sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3，故C正确．由于三角形ABC的边长不确定，则三角形不确定，故A错误．cos A＝＝＝－＜0，则A是钝角，即△ABC是钝角三角形，故B正确．若b＋c＝8，则k＋k＝4k＝8，则k＝2，即b＝5，c＝3，A＝120°，∴△ABC的面积S＝bcsin A＝×5×3×＝，故D错误．故选BC．
6．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为(　　)
A．20 m　　　 B．30 m
C．40 m　　　 D．60 m
【答案】C
【解析】如图，设O为顶端在地面的射影．在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，在△ABD中，易知∠A＝30°，∠ADB＝60°－30°＝30°，∴△ABD为等腰三角形，即AB＝BD＝40 m．

7．(2022年成都期末)△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径为(　　)
A．4 B．5
C．5 D．6
【答案】C
【解析】∵S△ABC＝acsin B，∴c＝4．由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝25，得b＝5．由正弦定理，得2R＝＝5(R为△ABC外接圆的半径)．
8．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC、BC均为1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________km．

【答案】
【解析】在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝2×1×＝(km)．
9．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为________km．
【答案】6
【解析】如图，在△ACD中，AC＝2，CD＝4，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2×4×＝36．∴AD＝6，即该船实际航程为6 km．

10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos B＝，b＝2．
(1)当A＝时，求a的值；
(2)若△ABC的面积为3，求a＋c的值．
解：(1)因为cos B＝＞0，所以B∈．
所以sin B＝．
由正弦定理＝，得＝，解得a＝．
(2)由△ABC的面积S＝acsin B，得ac×＝3，得ac＝10．由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20，所以(a＋c)2－2ac＝20，即(a＋c)2＝40．所以a＋c＝2．
B级——能力提升练
11．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为(　　)

A．米/秒 B．米/秒
C．米/秒 D．米/秒
【答案】B
【解析】如图，依题意知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°．由正弦定理知＝，∴AC＝×sin 45°＝20(米)，∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin ∠ACB＝20×＝10(米)．∵国歌长度约为46秒，∴升旗手升旗的速度应为＝(米/秒)．故选B．

12．(多选)已知等边三角形ABC边长为3，点D在BC边上，且BD＞CD，AD＝．下列结论中正确的是(　　)
A．＝2　　 B．＝2
C．＝2　　 D．＝2
【答案】ABD
【解析】如图，在△ACD中，由余弦定理有AD2＝CD2＋AC2－2CD·AC·cos 60°，即7＝CD2＋9－3CD，解得CD＝1或CD＝2．又∵BD＞CD，故CD＝1，BD＝2，∴＝2，即选项A正确．＝＝2，故选项B正确．在△ABD中，由余弦定理有cos∠BAD＝＝．在△ACD中，由余弦定理有cos∠CAD＝＝．∴＝＝，故选项C错误．sin∠BAD＝＝，sin∠CAD＝＝，∴＝2，故选项D正确．

13．如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B．灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°，与A相距3海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处，此时乙船与灯塔A之间的距离为________海里，两艘轮船之间的距离为________海里．

【答案】5　
【解析】连接AC(图略)，由题意可知AB＝BC＝5，∠ABC＝60°，可得AC＝5，∠BAC＝60°．在△ACD中，∠CAD＝45°，根据余弦定理可得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos ∠CAD＝25＋18－2×5×3×＝13．故乙船与灯塔A之间的距离为5海里，两艘轮船之间的距离为海里．
14．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________．

【答案】
【解析】在△ABC中，AB＝30，AC＝20，∠BAC＝135°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 135°＝3 400，所以BC＝10．由正弦定理得sin∠ACB＝·sin ∠BAC＝．由∠BAC＝135°知∠ACB为锐角，故cos ∠ACB＝．故cos θ＝cos(∠ACB＋45°)＝cos ∠ACBcos 45°－sin ∠ACBsin 45°＝×＝．
15．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝c(sin B＋cos B)．

(1)求∠ACB的大小；
(2)若∠ABC＝∠ACB，D为△ABC外一点，DB＝2，DC＝1，求四边形ABDC面积的最大值．
解：(1)在△ABC中，∵a＝c(sin B＋cos B)，∴sin A＝sin C(sin B＋cos B)．∴sin(π－B－C)＝sin C(sin B＋cos B)．∴sin(B＋C)＝sin C(sin B＋cos B)．∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Bsin C＋sin Ccos B．∴sin Bcos C＝sin Bsin C．又∵B∈(0，π)，故sin B≠0，∴cos C＝sin C，即tan C＝1．又∵C∈(0，π)，∴∠ACB＝．
(2)在△BCD中，DB＝2，DC＝1，∴BC2＝12＋22－2×1×2×cos D＝5－4cos D．又∠ABC＝∠ACB，由(1)可知∠ACB＝，∴△ABC为等腰直角三角形．∴S△ABC＝×BC××BC＝BC2＝－cos D．又∵S△BDC＝×BD×DC×sin D＝sin D，∴S四边形ABDC＝－cos D＋sin D＝＋sin．∴当D＝时，四边形ABDC 的面积有最大值，最大值为＋．