高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第2课时综合训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第2课时综合训练题，共6页。
第六章　6.4　6.4.3　第2课时

A级——基础过关练
1．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于(　　)
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
【答案】C
【解析】∵sin B＝＝＝，∴B＝45°或135°．但当B＝135°时，不符合题意，∴B＝45°．故选C．
2．在△ABC中，若b＝3，c＝，C＝，则∠B的大小为(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．或
【答案】D
【解析】∵b＝3，c＝，C＝，由正弦定理可得，＝，∴sin B＝＝＝．∵b＞c，∴B＞C，∴B＝或．故选D．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝(　　)
A．1∶2∶3　　　　　 B．3∶2∶1
C．2∶∶1　　 D．1∶∶2
【答案】D
【解析】在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A．又因为A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°．所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶∶2．
4．在△ABC中，已知sin A＝2sin Bcos C，则该三角形的形状是(　　)
A．等边三角形　　 B．直角三角形
C．等腰三角形　　 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】因为sin A＝2sin Bcos C，所以sin(B＋C)＝2sin Bcos C，所以sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即sin(B－C)＝0．因为A，B，C是三角形内角，所以B＝C．所以三角形是等腰三角形．故选C．
5．△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝，bcos A＝sin B，则A＝(　　)
A．　　　 B．
C．　　　 D．
【答案】D
【解析】∵a＝，bcos A＝sin B，∴bcos A＝asin B，∴由正弦定理可得sin Asin B＝sin Bcos A．∵B是三角形的内角，sin B≠0，∴tan A＝．由A是三角形的内角，可得A＝．故选D．
6．(2022年宝鸡期末)在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为(　　)
A．60° B．75°
C．90° D．115°
【答案】B
【解析】不妨设a为最大边，c为最小边，由题意有＝＝，即＝，得(3－)sin A＝(3＋)cos A，∴tan A＝2＋．又∵A∈(0°，120°)，∴A＝75°．故选B．
7．(多选)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　)
A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．b＝45，c＝48，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝7，b＝5，A＝80°
【答案】BC
【解析】B满足csin 60°＜b＜c，C满足bsin 45°＜a＜b，所以B，C有两解．对于A，可求B＝180°－A－C＝65°，三角形有一解．对于D，由sin B＝，且b＜a，可得B为锐角，只有一解，故三角形只有一解．故选BC．
8．(2020年北京期末)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，c2＝2ab且sin A＝sin C，则cos A＝________．
【答案】
【解析】c2＝2ab且sin A＝sin C，由正弦定理可得2a＝c，∴b＝c＝2a，则cos A＝＝．
9．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C，则△ABC的形状是________．
【答案】直角三角形
【解析】由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理知sin A＝，sin B＝，sin C＝，所以2－2＝2，即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2．所以△ABC是直角三角形．
10．在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形．
解：∵＝＝，∴b＝＝＝＝4．C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c＝＝＝＝4sin(30°＋45°)＝2＋2．
B级——能力提升练
11．(多选)在△ABC中，A＞B，则下列不等式中一定正确的是(　　)
A．sin A＞sin B B．cos A＜cos B
C．sin 2A＞sin 2B D．cos 2A＜cos 2B
【答案】ABD
【解析】A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，A正确．由于在(0，π)上，y＝cos x单调递减，∴cos A＜cos B，B正确．若A＝，B＝，满足A＞B，但sin 2A＝sin 2B，C错误．cos 2α＝1－2sin2α，∵sin A＞sin B＞0，∴sin2A＞sin2B，∴cos 2A＜cos 2B，D正确．
12．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至点E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin ∠CED＝(　　)

A．　　 B．
C．　　 D．
【答案】B
【解析】由题意得EB＝EA＋AB＝2，则在Rt△EBC中，EC＝＝＝．在△EDC中，∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝＋＝．由正弦定理得＝＝，所以sin ∠CED＝·sin∠EDC＝·sin＝．
13．(2022年天津期末)在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．
【答案】(1，]
【解析】∵a＋b＝cx，∴x＝＝＝sin A＋cos A＝sin．∵A∈，∴A＋∈，∴sin∈，∴x∈(1，]．
14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin Asin Bcos C＝sin2C，则＝________，sin C的最大值为________．
【答案】3　
【解析】∵sin A·sin B·cos C＝sin2C，∴由正弦定理得到abcos C＝c2，可得cos C＝．又∵cos C＝，∴＝，整理可得的值为3．
∵cos C＝＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，∴(sin C)max＝＝．
15．(2020年南通模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asin C＝ccos A，A∈．
(1)求∠A的大小；
(2)若sin(θ－A)＝，且0＜θ＜，求cos(2θ＋A)的值．
解：(1)∵asin C＝ccos A，∴由正弦定理可得sin Asin C＝sin Ccos A．∵C∈(0，π)，sin C≠0，∴sin A＝cos A，∴tan A＝．∵A∈，∴A＝．
(2)∵由(1)sin＝，且0＜θ＜，∴θ－∈，∴cos＝＝．
∴sin＝2sincos＝2××＝．
∴cos(2θ＋A)＝cos＝sin＝－．