重难点3-3 导数与零点综合5大题型-高考数学专练（新高考专用）

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重难点3-3 导数与零点综合5大题型

导数综合问题中的零点问题在高考中常以解答压轴题的形式出现。主要包含函数零点个数判断与证明。主要考查：根据函数的零点个数或零点情况求参数的取值范围、与零点相关的不等式恒成立或证明问题等，在高考中难度偏大。

一、函数零点问题常规求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴（或y=k）在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图象；
第三步：结合图象判断零点或根据零点分析参数。
二、利用导数确定函数零点的常用方法
1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）；
2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。
三、利用函数的零点求参数范围的方法
1、分离参数（a=g(x)）后，将原问题转化为y=g(x)的值域（最值）问题或转化为直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解；
2、利用函数零点存在定理构造不等式求解；
3、转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解。
四、导函数的零点不可直接求时的应对策略
1、“特值试探法”：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循一下原则：
①当含有的函数中，通常选取，特别的，选当时，来试探；
②在含有的函数中，通常选取，特别的，选取当时，来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决。
2、“虚设和代换法”：当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点的存在，再虚设为，接下来通常有两个方向：
①由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关的问题；
②根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解。


【题型1 讨论函数零点的个数】
【例1】（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】易知的定义域为，，
令，解得或，∴在和上单调递减，
令，解得或，∴在和上单调递增，
当时，取得极大值，易知在上没有零点；
当时，取得极小值，且，，
可知在上有2个零点．综上所述，的零点个数为2．故选：B.


【变式1-1】（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知函数则方程在区间上的实根个数为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
【答案】C
【解析】由，可得或.
当时，，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，.
因为函数在区间上的图象是由在上的图象
先向右平移2个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍得到的，
作出函数在上的图象，如图所示：

由图可知，方程在区间上根的个数分别为10，6.
故方程在区间上的实根个数为16.故选：C


【变式1-2】（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）讨论零点的个数．
【答案】（1）递增区间是，，递减区间是；（2）答案见解析.
【解析】（1）当时，函数的定义域为，
当时，，，因此在上单调递增，
当时，，，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的递增区间是，，递减区间是.
（2）函数的定义域为，
由得：，令函数，
当时，，求导得，
函数在上单调递减，由于，
即有在上的取值集合是，
又在上的取值集合是，
因此函数在上的取值集合是，
当时，，求导得，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
在上取得极大值，
而，恒成立，
函数的零点，即方程的根，
亦即直线与函数的图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，

观察图象知，当时，直线与函数的图象有3个公共点，
当时，直线与函数的图象有2个公共点，
当时，直线与函数的图象有1个公共点，
所以当时，函数有3个零点，当时，函数有2个零点，
当时，函数有1个零点.


【变式1-3】（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知函数．
（1）若时，，求实数a的取值范围；
（2）讨论的零点个数．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【解析】（1）的定义域是，．
①当时，，所以在上单调递增，
又因为，所以当时，，满足题意；
②当时，令，
由，得，．
当时，，，所以在上单调递减，
所以，不满足题意．
综上所述，．
（2）①当时，由（1）可得在上单调递增，且，
所以在上存在1个零点；
②当时，由（1）可得必有两根，，
又因为，所以，．
x






＋
0
－
0
＋

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
当时，因为，所以在上存在1个零点，
且，；
当时，因为，
，而在单调递增，且，
而，故，所以在上存在1个零点；
当时，因为，，
而在单调递增，且，而，
所以，所以在上存在1个零点．
从而在上存在3个零点．
综上所述，当时，存在1个零点；当时，存在3个零点．


【变式1-4】（2023·全国·模拟预测）已知函数，．
（1）若直线是曲线的一条切线，求a的值；
（2）判断函数的零点个数．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【解析】（1）设切点坐标为，则切线方程为，
即，
因为直线是曲线的一条切线，
所以，，
因为，
所以或（）．
当时，由，得a＝2；
当（）时，．
令，则，
所以在（1，＋∞）上单调递增，易知，
所以由，得．综上，．
（2）由（1）得（），
当，即时，，
所以当时，，在上单调递减，
当时， ，在上单调递增，
故，因此函数没有零点．
当，即时，
令，得或，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故的极大值，，
令（），则，
令（），则，
所以在上单调递增，，
所以在上单调递增，，
即（），
因此，
又，故函数只有一个零点．
当，即时，，在（0，＋∞）上单调递增，
又，故函数只有一个零点．
当，即时，
令，得或，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值，
令，则，
易知当x＝4时，取得最大值，
所以，所以，
令，则，
所以
，
由得
所以，
所以函数只有一个零点．
综上，当时，函数没有零点；当时，函数只有一个零点．


【题型2 证明唯一零点问题】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，求证：
（1）存在唯一零点；
（2）不等式恒成立．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1），.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减；
所以，即.
所以在上单调递增，.
则在上，存在，使得，即存在唯一零点；
（2），
令，.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减；
即，故.
因为函数在上单调递增，所以.
即.
故不等式恒成立.


【变式2-1】（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；
（2）若，证明：在区间内有唯一的零点．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1），所以，解得，
所以，所以，
故切点的坐标为，代入切线方程，
得，解得，
故．
（2）证明：，
令，则在上单调递减，
所以，且，，
令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
，即，所以存在，使得，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以，且，
令，则，
因为，从而，所以在上单调递减，
所以，
所以当时，，取，

，
由零点存在性定理以及单调性可得在内有且仅有一个零点，
在内没有零点．即在区间内有唯一的零点．


【变式2-2】（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）证明：当时，在上存在唯一零点．
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明见解析
【解析】（1）当时，，该函数的定义域为，．
令，得，令，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）因为，，则．
令，得．因为，所以．
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
而，且．
又因为在上单调递增，所以在上有唯一零点．
当时，恒有，在上无零点．
综上，当时，在上存在唯一零点．


【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）证明：函数存在唯一零点．
【答案】（1）的增区间为；（2）详见解析.
【解析】（1）因为的定义域为，
所以，
设，则，
由，可得，由，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以函数在上单调递增，即函数的增区间为；
（2）由题可知当时，函数在上单调递增，
又，令，
则，
所以存在，使，即当时，函数存在唯一零点；
当时，，又在上单调递减，在上单调递增，
所以存在，，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则时，函数有极大值，
又，
设，则，函数在上单调递增，
所以，故，
又时，，
所以时，函数在上存在唯一的零点；
综上，函数存在唯一零点．


【题型3 根据零点求参数的取值范围】
【例3】（2023春·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】画出的图象，如下：

当经过点时，，
当时，，则，故，
即在处的切线斜率为1，
故当时，有两个不同的零点，
当时，有1个零点，
当时，，则，故，
即在处的切线斜率为，
故当时，与有1个交点，与有1个交点，满足要求，
而当时，与有2个交点，与有1个交点，
故有三个不同的零点，不合要求，舍去；
综上：


【变式3-1】（2023·山西忻州·统考模拟预测）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）由题意可得．
当时，由，得，
由，得，则在上单调递减，在上单调递增．
当时，，则．
由，得或，
由，得，
则在上单调递减，在上单调递增．
当时，在R上恒成立，则在R上单调递增．
当时，，则．
由，得或，
由，得，
则在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）可知当时，在上单调递减，在上单调递增．
要使有两个零点，需至少满足，即．
当时，，
，
则在与上各有一个零点，即符合题意．
当时，只有一个零点，则不符合题意．
当时，由，当时，，，
则在上恒成立．
由（1）可知在上单调递增或先递减后递增，
则不可能有两个零点，即不符合题意．
综上，a的取值范围为．


【变式3-2】（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知函数存在唯一的零点，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】定义域为R，，
当时，恒成立，故在R上单调递减，
又，，
由零点存在性定理得：存在唯一的使得：，故满足要求，
当时，由得或，
由得，
故在上单调递减，在，上单调递增，
当时，，
所以函数存在唯一的零点，只需，
解得：，与取交集后得到，
综上：实数a的取值范围是.


【变式3-3】（2023春·河南安阳·高三安阳一中校联考阶段练习）已知函数 .
（1）当时，求的极小值；
（2）若在区间上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）0；（2）
【解析】（1）当时，，，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
故当时，取得极小值；
（2）由题意，在上有唯一解，即在上有唯一解.
令，显然，，
∴当时，在上恒成立，故在上单调递增，
此时在上只有一个零点1；
当时，在]上恒成立，故在]上单调递减，
此时在上只有一个零点1；
当时，当时，，当时，，
可知在上单调递减，在上单调递增，
结合，要使原函数只有一个零点，
只需，解得，∴，
综上所述，实数a的取值范围是.


【变式3-4】（2022秋·福建泉州·高三校考开学考试）已知函数.
（1）求函数的极值点；
（2）当时,当函数恰有三个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）由题意可得：，且的定义域为，
当时，则当时恒成立，
故在内单调递增，即无极值点；
当时，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
则有极大值点，无极小值点；
综上所述：当时，无极值点；
当时，有极大值点，无极小值点.
（2）由题意可得： ，且的定义域为，
则，
∵，构建，则的开口向下，对称轴，
当，即时，则当时恒成立，
故在内单调递减，
则在定义域内至多有一个零点，不合题意；
当，即时，设的两个零点为，不妨设，
则有：，可得，
令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，
可得分别在内至多只有一个零点，
即至多只有三个零点，
∵，故在内的零点为2，
可得，
对于，
构建，则
当时恒成立，则在上单调递增，
且，
故，即，
∴在内存在零点，即，
注意到，
可得，且，
故在内存在零点，
可得有三个零点，符合题意；
综上所述：当函数恰有三个不同的零点，
则实数的取值范围为.


【题型4 隐零点的相关问题】
【例4】（2023·河南焦作·统考模拟预测）已知函数与的图象没有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若函数与的图象没有公共点，
即相当于无解，变形得，，
令，则，
令，则在上为增函数，
而，，故唯一解，，
且，，化简得，，
即，设，
则，故在为增函数，
故，所以，
当时，；时，，
所以，
所以，当时无解，即.故选：B


【变式4-1】（2023·湖南·模拟预测）若函数与的图像有两个不同的公共点，则a的取值范围为____________.
【答案】
【解析】令，
函数与的图像有两个不同的公共点，
等价于在有两个零点，，
令，则，
令，，易得恒成立，
故在单调递增，易得，
故存在，使得，即，即，
当时，，等价于，则在上单调递减，
当时，，等价于，则在上单调递减，
故为极小值，因为在有两个零点，
则，即，
因为，则，
则，即，解得


【变式4-2】（2023·贵州毕节·统考一模）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，函数存在唯一的极大值点.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）函数的定义域为，，，，
故曲线在点处的切线方程为.
（2），
令，，
令，，，；，，
在为增函数，在上为减函数，
当时，恒成立，
当时，，，
故存在唯一的，使得，即，
且当时，，即；当时，，即，
综上所述：当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，即存在唯一的极大值点.


【变式4-3】（2022春·山东·高二山东师范大学附中校考期中）已知函数.
（1）若在有两个零点，求实数的取值范围；
（2）设函数，证明：存在唯一的极大值点，且.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）令，，则，
因为在有两个零点，
所以函数与的图象有两个不同的交点，
令，则，
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增，所以，
又当时，，当时，，所以；
（2）证明：，
故，
令，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
由零点存在性定理及的单调性知，方程在上有唯一根，
设为且，从而有两个零点和，
当或时，，当时，，
所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增，
从而存在唯一的极大值点，由，得，
，
当且仅当，即时，取等号，
若，则，与题意矛盾，故，
所以取等不成立，所以得证，
又，在单调递增，
所以得证，
所以.


【题型5 与三角函数相关的零点】
【例5】（2023·江西上饶·统考一模）已知函数，则在上的零点个数是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】B
【解析】因为，
所以函数是周期为的周期函数，
又，
当时，令，
可得或或
当时，，当且仅当时，
函数在上单调递增，
因为，，所以函数在存在一个零点；
当时，，当且仅当时，，
所以函数在上单调递减，
因为，，所以函数在存在一个零点；
当时，，所以函数在上单调递增，
因为，，所以函数在不存在零点；
所以当时，函数有两个零点，且零点位于区间内，
所以在上共有个零点.故选：B.


【变式5-1】（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知函数有4个不同的零点，则正实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，，
所以，在上单调递增，
因为，
所以，当时，存在唯一的，使得，
所以，当时，有1个零点.
因为函数有4个不同的零点，
所以，当时，有3个不同的零点
令，因为，所以，
所以，函数在上有3个零点，
所以，解得，
所以，正实数的范围为，故选：B


【变式5-2】（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知函数，.
（1）若，求的最小值；
（2）若有且只有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）最小值为；（2）.
【解析】（1）当时，，
则.  
当时，，
所以，所以.
又，所以，所以恒成立，
所以在区间上单调递增，
所以的最小值为.
（2）由已知可得，则在区间上有且只有1个零点．
，
令，.
则，
因为在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增.
所以，当时，有最小值；当时，有最大值.
当时，有，则恒成立，
则在区间上单调递增，所以.
又，所以在区间上无零点，不符合题意，舍去；
当时，有恒成立，
则在区间上单调递减，所以.
又，所以在区间上无零点，不符合题意，舍去；
当时，有，.
又在区间上单调递增，
根据零点的存在定理可得，，使得.
当时，，单调递减：
当时，，单调递增.
又，，要使在区间上有且只有一个零点，
则，解得.
又，所以.
综上，实数的取值范围是．


【变式5-3】（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知函数.
（1）若存在极值，求的取值范围；
（2）当，且时，证明：函数有且仅有两个零点.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1），，
当，即时，，在单调递增，无极值；
当，即时，，；，，
在单调递增，在单调递减，
此时，在处取得极大值，无极小值.
综上，若存在极值，则.
（2）当时，，，
因为，令，则，
所以在单调递减，
又因为，，
所以在有唯一的零点，，；，，
于是在单调递增，在单调递减，
可知在存在唯一的极大值点（），
由，，
，
令，，
由，；，，
则在上单调递增，在单调递减，即，
故，即，
可知在和分别恰有一个零点.
所以当时，有且仅有两个零点.


【变式5-4】（2023·江西上饶·统考一模）已知，．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，试讨论在内的零点个数．（参考数据：）
【答案】（1）答案见解析；（2）当时，在上仅有一个零点，
当 时，在上有2个零点.
【解析】（1）由已知可知,
当时，，在R上单调递增；
当时，令，则，
当时，，在单调递减,
当时，,在单调递增.
综上，当时，在R上单调递增，
当时，在单调递减，在单调递增.
（2）由已知，，
令,则,
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
，，，
①当时， ，，存在唯一的，使得，
当时，在上递增；
当时，在上递减，
因为，所以，又因为，
由零点存在性定理可得，在上仅有一个零点；
②当时，，，使得，
当和时，单调递减，
当时，单调递增，
因为，所以，
又因为，所以，
而，由零点存在性定理可得，
在和上各有一个零点，即在上有2个零点，
综上所述，当时，在上仅有一个零点，
当时，在上有2个零点．



（建议用时：60分钟）
1．（2023春·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）已知函数在处有极值，且极值为8，则的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意得，
因为函数在处有极值，且极值为8，
则，，
解得(经检验适合题意)，或（经检验不合题意舍去）
故，，
当或时，，即函数单调递增，
当时，，即函数单调递减，
又因为，，，，
则有3个零点，故选：C.
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法一：因为.
设，两边同时取自然对数，可得.
令．
对求导，得.
解可得，.
解可得，，所以在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.
所以，所以的定义域为．
若有零点，则有零点.
因为，
解可得，.
解可得，，所以在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.
所以，当时，有最小值.
所以，要使在上有零点，则必有，
即.此时有，
且.
根据零点存在定理可得，，使得，即有零点，
所以以有零点，所以.
解法二由题可得，
．
令，则.
解可得，.
解，可得，所以函数在上单调递增；
解，可得，所以函数在上单调递减.
所以，函数在时，取得最大值为，所以.
设，，则.
解，可得.
解，可得，所以在上单调递增；
解，可得，所以在上单调递减.
所以，当时，
函数有最小值.
要使函数有零点，则在上存在零点.
所以，必有，即，
又，
根据零点存在定理可得，，使得，即有零点，
所以有零点，所以.故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题意得有两个不同的根，
即有两个不同的根，
变形为，即，
令，则，
其中令，，
恒成立，故在单调递增，得到，
故有两个不同的根，
令，则，，
当时，，当时，，
故在处取得极大值，也是最大值，，
且当时，，当时，，
画出的图象如下图：

故时，有两个不同的根，解得：.
4．（2022秋·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题可知，，
令，
因为，所以，则在单调递减，所以，
若，则恒成立，即恒成立，
则函数在上单调递减，不满足题意;
若，则，
因为，,所以，
所以由零点的唯一性定理可知，在必定存在唯一的零点记为，
所以当时，即，
时，即，
所以在时单调递增，时单调递减，满足题意;
综上得，
5．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）已知函数，为的导数．
（1）证明：在区间上存在唯一的极大值点；
（2）讨论零点的个数．
【答案】（1）证明见解析；（2）3个.
【解析】（1）函数的定义域为，求导得，
令，则，当时，，
函数在上单调递增，在上无极值点，
当时，在上都递减，即在上递减，
而，则存在唯一，，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
则为在上的极大值点，
所以在区间上存在唯一的极大值点；
（2）当时，，
则恒成立，函数在上无零点，
当时，，则恒成立，函数在上无零点，
当时，，
则恒成立，函数在上单调递减，
而，
因此函数在内有唯一零点，
当时，，即0是函数的一个零点，
由（1）知在上单调递增，
而，则存在唯一，使得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
有，又，
因此函数在上有唯一零点，在上无零点，
当时，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，则存在唯一，使得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
又，因此函数在上无零点，
综上得，函数共有3个零点.
6．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知函数，．
（1）证明：存在唯一零点；
（2）设，若存在，使得，证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意可得，
记，则，
因为时，恒成立，所以在上单调递增，
因为，所以在上恒小于0，在上恒大于0，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以有唯一零点0．
（2）由可得，
若是方程的根，则是方程的根，
因为，都单调递增，
所以，，
设，，
所以的解为，的解为，
所以在上递减，在上递增，
所以的最小值为，即的最小值为．
故原不等式成立.
7．（2023春·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知函数.
（1）若 在上单调递增，求a的取值范围；
（2）若存在零点且零点的绝对值小于2，求a的取值范围
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），
因为在上单调递增,则当时，，，即
而当时，，则有，
所以若在上单调递增，a的取值范围是
（2）若，，单调递增，且有，
由f（x）存在零点且零点的绝对值小于2，可知存在唯一零点
由，则，.
若，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
则取极小值，即，
又，则，，
又， ，且当趋向于正无穷时,趋向于正无穷，
故此时存在两个零点，分别设为，
又，则，由题意，则有，即，
故，
综上，a的取值范围是.
8．（2023春·江苏南京·高三校考开学考试）已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，且在区间上恒成立，求a的取值范围；
（3）若，判断函数的零点的个数．
【答案】（1）单调增区间为；单调减区间为；（2）；（3）有1个零点
【解析】（1）若，则，
由得，；由得，．
所以函数的单调增区间为；单调减区间为．
（2）依题意，在区间上．．
令得，或．
若即，则由得，，递增；
由得，，递减．
所以，满足条件；
若，则由得或，
在时递增或时递增；
由得，递减．，
依题意，即，所以．
若，则．
所以在区间上单调递增，，不满足条件；
综上，．
（3）．
所以．设，．
令得．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以的最小值为．
因为，所以．
所以的最小值．
从而，在区间上单调递增．
又，
设．
则．令得．由，得；
由，得．所以在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以恒成立．所以．
所以．
又，所以当时，函数恰有1个零点．