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重难点4-1 三角函数中ω的取值范围6大题型-高考数学专练（新高考专用）
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重难点4-1 三角函数中ω的取值范围6大题型
三角函数是高考的必考考点，其中求ω取值范围问题是热门考点。主要结合函数的单调性、对称性、极值与最值、零点等考查，需要考生能够熟练应用三角函数的基本性质和图象。从近几年的高考情况来看，常在选择题中出现，难度稍大。
一、求ω取值范围的常用解题思路
1、依托于三角函数的周期性
因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值.
2、利用三角函数的对称性
（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。
（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值.
3、结合三角函数的单调性
函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。
反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。
二、已知函数在给定区间上的单调性，求ω的取值范围
已知函数，在上单调递增（或递减），求的取值范围
第一步：根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半，
即，求得.
第二步：以单调递增为例，利用，解得的范围；
第三步：结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出（不含参数）的取值范围.
三、结合图象平移求ω的取值范围
1、平移后与原图象重合
思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；
思路2：平移前的函数=平移后的函数.
2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.
3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；
4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-；
5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
四、已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围
对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．
【题型1 根据单调性求ω范围】
【例1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022秋·福建·高三校联考阶段练习）已知函数（其中）在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________.
【变式1-4】（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是___．
【题型2 根据图象平移求ω范围】
【例2】（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象与原图象重合，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式2-1】（2021·重庆·校联考三模）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到的新图象与原图象关于x轴对称，则的最小值为___________.
【变式2-2】（2022秋·贵州贵阳·高三统考期末）将函数的图像分别向左､向右各平移个单位长度后，所得的两个函数图象的对称轴重合，则的最小值为______.
【变式2-3】（2022·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为_________.
【变式2-4】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点、、是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 根据对称性求ω范围】
【例3】（2022·四川绵阳·统考模拟预测）若存在实数，使得函数(>0)的图象的一个对称中心为(，0)，则ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022秋·内蒙古·高三呼市二中校考阶段练习）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数在内不存在对称中心，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象恰有个对称中心在区间内，则的取值范围为______.
【题型4 根据最值和极值求ω范围】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知，函数在上存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023·上海黄浦·统考一模）已知，且函数恰有两个极大值点在，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知函数（，）的图象过点，且在区间内不存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·陕西榆林·统考一模）已知，函数在上恰有3个极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2023·四川成都·统考模拟预测）函数在上有唯一的极大值，则的取值范围是______.
【题型5 根据零点2求ω范围】
【例5】（2023·全国·模拟预测）若()在上有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，且在上恰有50个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·甘肃武威·统考一模）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2023秋·辽宁·高三校联考期末）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型6 结合函数性质综合考查】
【例6】（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知函数在区间上存在零点，且函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·河南信阳·高三统考期末）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上恰有一个最大值点和两个零点，则的取值范围是______．
【变式6-3】（2023·四川成都·统考模拟预测）定义在上的函数在区间内恰有两个零点和一个极值点，则的取值范围是_____________.
【变式6-4】（2023·河南·校联考模拟预测）先将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象与函数的图象关于x轴对称，若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是________．
（建议用时：60分钟）
1．（2023秋·天津·高三统考期末）已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知函数（，）的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知函数在区间恰有3个零点，4个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·江西·高三校联考期末）已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·河北石家庄·高三统考期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考期末）若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）设函数在区间上恰有两个极值点和三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）已知函数的最小正周期大于，且存在唯一的，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）设函数，已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
10．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）设函数在区间恰有5个极值点，4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·广西柳州·高三统考阶段练习）已知的数（），若对任意的实数t，在区间上的值域均为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在内有且仅有2个最低点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·贵州·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022秋·甘肃兰州·高三兰州市第二中学校考阶段练习）已知函数在内恰有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知ω>0，函数在区间上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．（2022秋·四川攀枝花·高三统考阶段练习）若函数（）在上单调，且在上存在极值点，则的取值范围为______．
17．（2022秋·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为_____________
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（）在区间上单调递增，且函数在上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是_______.
19．（2022·全国·高三专题练习）若函数在单调递增，在单调递减，则实数的取值范围是______．
20．（2022秋·四川内江·高三威远中学校校考期中）已知函数 (ω>0)，若在上恰有两个零点，且在上单调递增，则ω的取值范围是________.
重难点4-1 三角函数中ω的取值范围6大题型
三角函数是高考的必考考点，其中求ω取值范围问题是热门考点。主要结合函数的单调性、对称性、极值与最值、零点等考查，需要考生能够熟练应用三角函数的基本性质和图象。从近几年的高考情况来看，常在选择题中出现，难度稍大。
一、求ω取值范围的常用解题思路
1、依托于三角函数的周期性
因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值.
2、利用三角函数的对称性
（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。
（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值.
3、结合三角函数的单调性
函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。
反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。
二、已知函数在给定区间上的单调性，求ω的取值范围
已知函数，在上单调递增（或递减），求的取值范围
第一步：根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半，
即，求得.
第二步：以单调递增为例，利用，解得的范围；
第三步：结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出（不含参数）的取值范围.
三、结合图象平移求ω的取值范围
1、平移后与原图象重合
思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；
思路2：平移前的函数=平移后的函数.
2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.
3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；
4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-；
5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
四、已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围
对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．
【题型1 根据单调性求ω范围】
【例1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022秋·福建·高三校联考阶段练习）已知函数（其中）在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________.
【变式1-4】（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是___．
【题型2 根据图象平移求ω范围】
【例2】（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象与原图象重合，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式2-1】（2021·重庆·校联考三模）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到的新图象与原图象关于x轴对称，则的最小值为___________.
【变式2-2】（2022秋·贵州贵阳·高三统考期末）将函数的图像分别向左､向右各平移个单位长度后，所得的两个函数图象的对称轴重合，则的最小值为______.
【变式2-3】（2022·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为_________.
【变式2-4】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点、、是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 根据对称性求ω范围】
【例3】（2022·四川绵阳·统考模拟预测）若存在实数，使得函数(>0)的图象的一个对称中心为(，0)，则ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022秋·内蒙古·高三呼市二中校考阶段练习）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数在内不存在对称中心，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象恰有个对称中心在区间内，则的取值范围为______.
【题型4 根据最值和极值求ω范围】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知，函数在上存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023·上海黄浦·统考一模）已知，且函数恰有两个极大值点在，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知函数（，）的图象过点，且在区间内不存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·陕西榆林·统考一模）已知，函数在上恰有3个极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2023·四川成都·统考模拟预测）函数在上有唯一的极大值，则的取值范围是______.
【题型5 根据零点2求ω范围】
【例5】（2023·全国·模拟预测）若()在上有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，且在上恰有50个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·甘肃武威·统考一模）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2023秋·辽宁·高三校联考期末）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型6 结合函数性质综合考查】
【例6】（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知函数在区间上存在零点，且函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·河南信阳·高三统考期末）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上恰有一个最大值点和两个零点，则的取值范围是______．
【变式6-3】（2023·四川成都·统考模拟预测）定义在上的函数在区间内恰有两个零点和一个极值点，则的取值范围是_____________.
【变式6-4】（2023·河南·校联考模拟预测）先将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象与函数的图象关于x轴对称，若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是________．
（建议用时：60分钟）
1．（2023秋·天津·高三统考期末）已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知函数（，）的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知函数在区间恰有3个零点，4个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·江西·高三校联考期末）已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·河北石家庄·高三统考期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考期末）若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）设函数在区间上恰有两个极值点和三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）已知函数的最小正周期大于，且存在唯一的，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）设函数，已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
10．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）设函数在区间恰有5个极值点，4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·广西柳州·高三统考阶段练习）已知的数（），若对任意的实数t，在区间上的值域均为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在内有且仅有2个最低点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·贵州·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022秋·甘肃兰州·高三兰州市第二中学校考阶段练习）已知函数在内恰有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知ω>0，函数在区间上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．（2022秋·四川攀枝花·高三统考阶段练习）若函数（）在上单调，且在上存在极值点，则的取值范围为______．
17．（2022秋·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为_____________
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（）在区间上单调递增，且函数在上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是_______.
19．（2022·全国·高三专题练习）若函数在单调递增，在单调递减，则实数的取值范围是______．
20．（2022秋·四川内江·高三威远中学校校考期中）已知函数 (ω>0)，若在上恰有两个零点，且在上单调递增，则ω的取值范围是________.
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