重难点4-3 解三角形的中线、垂线、角平分线问题4大题型-高考数学专练（新高考专用）

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重难点4-3 解三角形的中线、垂线、角平分线问题4大题型

解三角形是高考数学的必考内容，其中在三角形中增加中线、垂线、角平分线以及其他等分点条件在最近几年的高考中出现的频率很高。这部分内容一般需要综合使用正弦定理和余弦定理。考题难度会稍大。

一、中线
1、中线长定理：在中，是边上的中线，则
推导过程：在中，，
在中，
联立两个方程可得：
【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中
2、向量法：
推导过程：由，
则
所以
【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）.
二、角平分线
如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，，

1、利用角度的倍数关系：
2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则.
推导过程：在中，，
在中，，，
该结论也可以由两三角形面积之比得证，即
说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，
再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，
运用向量知识解决起来都较为简捷。
3、等面积法：
因为，
所以，
所以
整理的：（角平分线长公式）
三、垂线
1、分别为边上的高，则
2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。


【题型1 与中线有关的解三角形】
【例1】（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在锐角中，，，则中线的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


【变式1-1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）已知，设D为边AB的中点，若，求a．


【变式1-2】（2023春·四川成都·高三校联考期末）在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，且上的中线长为，求斜三角形的面积．


【变式1-3】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且．
（1）求角B的大小；
（2）若的面积为，求AC边上的中线长．


【变式1-4】（2023秋·山西太原·高三统考阶段练习）如图，在中，已知边上的两条中线相交于点.

（1）求的长度；
（2）求的余弦值.


【题型2 与垂线有关的解三角形】
【例2】（2023春·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在锐角三角形ABC中，B=60°，AB=1，则AB边上的高的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


【变式2-1】（2023春·四川资阳·高三四川省乐至中学校考开学考试）在中，内角、、满足.
（1）求；
（2）若边上的高等于，求.


【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，．若．
（1）求角；
（2）若，求边上的高的取值范围．


【变式2-3】（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在中，角，，的对边分别为，，且______，若，，边上的中垂线交于点，求的长.


【变式2-4】（2022秋·湖北·高三湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）已知的内角满足.
（1）求角；
（2）若，设是中边上的高，求的最大值.


【题型3 与角平分线有关的解三角形】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．从①②③中选取两个作为条件，补充在下面的问题中，并解答．①；②的面积是；③．
问题：已知角A为钝角，，______．
（1）求外接圆的面积；
（2）AD为角A的平分线，D在BC上，求AD的长．


【变式3-1】（2023·山西晋中·统考二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，且满足．
（1）求△ABC的外接圆半径；
（2）若∠B的平分线BD交AC于点D，且，求△ABC的面积．


【变式3-2】（2023·福建厦门·统考二模）的内角的对边分别为，已知．
（1）求B；
（2）A的角平分线与C的角平分线相交于点D，，，求和．


【变式3-3】（2023·浙江·模拟预测）已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
（1）证明：；
（2）若为的角平分线，交AB于D点，且．求的值．


【变式3-4】（2023春·广西柳州·高三统考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．


【题型4 其他等分点型解三角形】
【例4】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在中，为上的中点，满足.
（1）证明：为等腰三角形或直角三角形；
（2）若角为锐角，为边上一点，，求的面积.


【变式4-1】（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）记的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为线段延长线上的一点，且，求.


【变式4-2】（2023·河南郑州·统考一模）在△ABC中，内角，，所对的边分别是，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若是边上一点，且，若，求△ABC面积的最大值．


【变式4-3】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）在中，已知．
（1）求；
（2）若是边上的一点，且，求面积的最大值．


【变式4-4】（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）在锐角中，.
（1）求；
（2）若的面积为，点在线段上，且，求的最小值.



（建议用时：60分钟）
1．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知内角所对的边分别为，面积为，且，求：
（1）求角A的大小；
（2）求边中线长的最小值.




2．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）设的内角所对的边分别为，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，边上的中线，求的面积．




3．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）记的内角的对边分别为，已知三角形，角的平分线交边于点.
（1）证明：；
（2）若，求的周长.




4．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，．
（1），时，求CD的长度；
（2）若CD为角C的平分线，且，求的面积．




5．（2023·辽宁沈阳·统考一模）在中，角、、的对边分别为、、．已知．
（1）求角的大小；
（2）给出以下三个条件：①，；②；③．
若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求的值；
（ii）的角平分线交于点，求的长．




6．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
（1）求B的值；
（2）若与边上的高之比为3∶5，且，求的面积.




7．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）已知的内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若于，求的面积的最小值.




8．（2023·湖北·统考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）设，若点M是边上一点，，且，求的面积．




9．（2023·重庆·统考模拟预测）在中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，且．
（1）求角A的大小；
（2）记的面积为S，若，求的最小值．




10．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知分别为三角形三个内角的对边，且有.
（1）求角A；
（2）若为边上一点，且，求.