重难点2-3 利用函数性质解不等式5大题型-高考数学专练（新高考专用）

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重难点2-3 利用函数性质解不等式5大题型

高中数学解不等式主要分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；另一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。
利用函数性质解不等式一般情况以选择题形式出现，考查的角度较多，除了基础的函数性质，有时候还需要构造函数结合导数知识，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。

一、利用单调性、奇偶性解不等式原理
1、解型不等式
（1）利用函数的单调性，去掉函数符号“”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；
（2）若不等式一边没有函数符号“”，而是常数（如），那么我们应该将常数转化带有函数符号“”的函数值再解。
2、为奇函数，形如的不等式的解法
第一步：将移到不等式的右边，得到；
第二步：根据为奇函数，得到；
第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“”，列出不等式求解。
二、构造函数解不等式的技巧
1、此类问题往往条件较零散，不易寻找入手点，所以处理这类问题要将条件与结论结合分析，在草稿上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么，两者对接通常可以确定入手点；
2、在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能具备乘除关系的函数，在构造时多进行试验与项的调整；
3、此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性和图象知识辅助手段，所以要能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点，那么问题便易于解决了。
三、利用函数性质解不等式的要点
1、构函数：根据所解不等式的结构特征和已知条件构造相应的函数，把不等式看作一个函数的两个函数值大小比较问题；
2、析性质：分析所构造函数的相关性质，主要包括函数定义域、单调性、奇偶性、周期性等；
3、巧转化：根据函数的单调性，把函数值大小比较转化为某个单调区间内自变量大小比较；
4、写解集：解关于自变量的不等式，写出解集。


【题型1 利用抽象函数的性质解不等式】
【例1】（2023秋·河北张家口·高三统考期末）已知函数为偶函数，定义域为R，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式1-1】（2023·广西梧州·统考一模）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式1-2】（2022春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是_____．


【变式1-3】（2022秋·陕西商洛·高三校联考阶段练习）若定义域为R的函数满足为偶函数，且对任意，，，均有，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式1-4】（2023·重庆·统考一模）己知定义域为的减函数满足，且，则不等式的解集为___________.


【变式1-5】（2022秋·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的，，都有，且当时，恒成立.若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．


【题型2 利用具体函数的性质解不等式】
【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


【变式2-1】（2022秋·广东清远·高三校考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式2-2】（2022秋·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）设函数，则使得成立的的取值范围是___．


【变式2-3】（2022·河南·统考一模）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为___________.


【变式2-4】（2021春·上海普陀·高三曹杨二中阶段练习）已知函数，定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为___．


【变式2-5】（2022秋·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为_________


【题型3 利用单调性定义构造函数解不等式】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式3-1】（2022秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）已知定义在R上的函数满足，对于，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式3-2】（2023·全国·高三专题）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式3-3】（2022·广西柳州·统考三模）已知函数是定义域为的奇函数，若对任意的且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式3-4】（2022·广西柳州·统考三模）已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【题型4 分段函数解不等式】
【例4】（2022秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）已知偶函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


【变式4-1】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．


【变式4-2】（2022秋·江西赣州·高三校考阶段练习）已知函数满足若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


【变式4-4】（2021秋·山东·高三校联考开学考试）已知函数则不等式的解集为（ ）
A．（0，5） B． C． D．（-5，5）


【题型5 导数构造法解不等式】
【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．


【变式5-1】（2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．


【变式5-2】（2022秋·江苏常州·高三统考阶段练习）已知函数的定义域为，且函数在定义域内的图象是连续不间断的，，，当时，，若，则在以下四个取值中，实数不能取的值为（ ）
A． B． C．3 D．


【变式5-3】（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）已知定义在R上的偶函数满足，若，则不等式的解集为__________．


【变式5-4】（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为_________．



（建议用时：60分钟）
1．（2022秋·广东广州·高三校联考期中）已知定义在上的函数是偶函数，且在上单调递增，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）若是定义在上的奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．或
3．（2022·河南开封·统考一模）设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·北京·高三北大附中阶段练习）已知是定义在上的偶函数，，对于任意，且，恒成立，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·江西南昌·高三校考阶段练习）已知函数是定义域为的单调递减函数，若图象关于点对称，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，若当时，，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·广东揭阳·高三统考阶段练习）已知为R上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知定义在R上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
11．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·浙江·模拟预测）已知函数，若对任意的实数x，恒有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）已知函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·江苏盐城·模拟预测）若函数，则关于的不等式的解集为________．
16．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）函数 ，则满足不等式的的取值范围为___________.
17．（2022秋·江苏泰州·高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习）已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为__________.
18．（2022秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的函数，满足，且当时，，则满足不等式的的取值范围是______.
19．（2022秋·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）已知，x为实数且满足，则的最大值为___________．
20．（2023·全国·模拟预测）已知f（x）是偶函数，当时，，则满足的实数x的取值范围是______．