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新高考数学【热点·重点·难点】专练 重难点3-2 导数与不等式综合5大题型
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这是一份新高考数学【热点·重点·难点】专练 重难点3-2 导数与不等式综合5大题型，文件包含重难点3-2导数与不等式综合5大题型原卷版docx、重难点3-2导数与不等式综合5大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
重难点3-2 导数与不等式综合5大题型
函数与导数一直是高考中的热点与难点，利用导数研究不等式问题在近几年高考中出现的频率较高。求解此类问题关键是要找到与待证不等式紧密联系的函数，然后利用导数工具来研究函数的单调性、极值、最值（值域），从而达到目的。考查难度较大。
一、不等式证明的常用思路
1、移项构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
2、最值法：若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题．
在证明过程中，等价转化是关键，此处恒成立．从而f(x)>g(x)，
但此处与取到最值的条件不是同一个“x的值”．
3、适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
4、构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数
5、双变量不等式的处理策略：
含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式，
具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量，选取主元.
二、不等式成立问题常用的转化规则
1、单变量不等式成立问题：一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立
（1），
（2），
（3），
（4），
2、双变量不等式成立问题：一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．
三、极值点偏移问题
1、极值点偏移问题的一般题设形式：
（1）若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；
（2）若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；
（3）若函数存在两个零点且，令，求证：；
（4）若函数中存在且满足，令，求证：.
2、运用判定定理判定极值点偏移的方法
（1）方法概述：
= 1 \* GB3 ①求出函数的极值点；
= 2 \* GB3 ②构造一元差函数；
= 3 \* GB3 ③确定函数的单调性；
= 4 \* GB3 ④结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.
口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.
（2）抽化模型
答题模板：若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.
= 1 \* GB3 ①讨论函数的单调性并求出的极值点；
假设此处在上单调递减，在上单调递增.
= 2 \* GB3 ②构造；
注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.
= 3 \* GB3 ③通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；
假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.
= 4 \* GB3 ④不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；
接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.
= 5 \* GB3 ⑤若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.
此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.
四、证明与数列有关的不等式
1、证明此类问题时长根据已知的函数不等式，用关于正整数的不等式替代函数不等式中的自变量。通过多次求和达到证明的目的。此类问题一般至少两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得来。
2、已知函数式为指数不等式（或对数不等式），而待证不等式为与对数有关的不等式（或与指数有关的不等式），还有注意指、对数式的互化，如可化为
【题型1 单变量不等式求参问题】
【例1】（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】，，
，，
令，
则若关于的不等式有解，则，
，
，则当时，，当时，，
故当时，单调递增，当时，单调递减，
则，则，
故实数的取值范围是，故答案为：.
【变式1-1】（2023·安徽宿州·统考一模）已知函数（e为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】由，令，
令，则在上单调递增，.
（1）当时，恒成立，即函数在上单调递增，
则有，解得；
（2）当时，则存在使得，
则时，，在上单调递减；
时，，在上单调递增.
∴，又，
.
∵，令，，则，
∴在上单调递减.
则，故.
综上，.
故答案为：
【变式1-2】（2023秋·天津·高三统考期末）设函数，，，已知曲线在点处的切线与直线垂直．
（1）求a的值；
（2）求的单调区间；
（3）若对成立，求b的取值范围．
【答案】（1）2；（2）答案见解析；（3）
【解析】（1）的定义域为，
，
由于直线的斜率为，.
（2），，
①当时，，在R上单调递增；
②当时，令有，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上所述：，的单调递增区间为R，
，的单调减区间为，的单调增区间为.
（3）由恒成立，等价于，
令（），，
①若时，，所以在上单调递增，
，即，满足，
②若时，则，所以在上单调递增，
当趋近于0时，趋近于，不成立，
故不满足题意.
③若时，令，，，，
，单调递减，，单调递增，
只需即可，
，，
令，，在上单调递增，
，时，，
，，所以在上单调递增，
，即，
综上：.
【变式1-3】（2023·湖南·模拟预测）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当时，；
（3）若，，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解析见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1），则，
当时，令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上，函数的单调减区间为，单调增区间为；
（2）令，则，
设，则，
所以函数单调递增，有，
所以函数在上单调递增，有，
所以当时，，即证；
（3），即，
即，令，
则，
若，当时，，，
令，则，
则函数单调递增，且，即；
令，则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
则，即，
所以，则，
所以函数在上单调递增，且，
即恒成立.
当时，，
存在实数，使得均有，
则函数在上单调递减，且，不符合题意，
所以当时，不符合题意.
综上，a的取值范围为.
【变式1-4】（2023·内蒙古·模拟预测）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，，所以，
所以，，
所以所求切线方程为，即.
（2）对任意的，恒成立，
等价于对任意的，恒成立.
①当时，显然成立.
②当时，不等式等价于.
设，所以.
设，则.
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以，
又因为在中，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即的取值范围为.
【变式1-5】（2023·安徽宿州·统考一模）已知函数（e为自然对数的底数），a，.
（1）当时，讨论在上的单调性；
（2）当时，若存在，使，求a的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）当时，，的定义域为，
，
当，即时，且不恒为0，
所以在上单调递增；
当时，方程有两不等正根，
结合定义域由可得，
由可得，
所以在区间上单调递减，
在区间和上单调递增；
当时，方程有一负根和一正根，
结合定义域由可得，
由可得，
所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增.
综上可知：当时，在区间上单调递减，
在区间和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递减，
在区间上单调递增.
（2）法一：分离变量可得：，令，，
则，
易得当时，，且，从而，
所以在单调递减，于是.
即a的取值范围为.
法二：当时，，令，，
则，即为，
而在上单调递减，所以当时，，
又，
i. 当，即时，，符合题意；
ii. 当时，由（1）知在上是增函数，
恒有，故不存在，使；
iii. 当时，由于时，，
所以，
令，则，
所以在上是增函数，最大值为，
又，
所以，此时恒有，
因此不存在，使.
综上可知，，即a的取值范围为.
【题型2 双变量不等式求参问题】
【例2】（2022秋·河北·高三南宫中学校考阶段练习）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调性见解析；（2）
【解析】（1）由题意知：的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令有，故当，则；
若，则；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，；，；
恒成立，不合题意；
当时，取，，
则，符合题意；
当时，若，，使得，则；
由（1）知：；
，，在上单调递增，
，
，即，，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
【变式2-1】（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知函数
（1）若关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求的取值范围；
（2）设函数，若，总有成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），，
由得，
由题意，曲线与直线在区间上恰有2个交点．
，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当值，取最小值，最小值为．
，
又，∴．
（2）由总有成立可知，
所以在给定区间上，．
由（2）知在区间上，，
∵，
当时，；当时，，
∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴，所以，∴．
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）由题意知：的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，；，；
恒成立，不合题意；
当时，取，，
则，符合题意；
当时，若，，使得，则；
由（1）知：；
，，在上单调递增，
，
，即，，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
【变式2-3】（2022·湖南·安仁县第一中学校考模拟预测）已知且在上单调递增，.
（1）当取最小值时，证明恒成立.
（2）对，，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由题意可知在上恒成立，
参变分离得，，此时.
设，，
令，令，
在上单调递增，在上单调递减.
，恒成立，
（2），
当时，，，
在单调递增；
当时，，，
在单调递减；
，，，
在上的最小值为.
易知为偶函数，由偶函数图象的对称性可知在上的最小值为
由题意可得，使得成立，即成立.
由（1）可知，
参变分离得，设，，即只需即可.
由（1）知得，
令，令，
在上单调递减，在上单调递增.
，，
又已知.故的取值范围为.
【题型3 利用导数证明不等式成立】
【例3】（2023·福建·漳州统考二模）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，求证：当时，对，恒有．
【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，的单调递增区间为，
单调递减区间为；（2）见解析
【解析】（1）当时，，所以，
当时，，此时在上单调递减；
当时，令，解得：，
所以在上单调递增；
令，解得：，所以在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：当时，，
令函数，，
所以在上单调递减，且，所以，即，
所以当，，则，所以，
所以当，，则，所以，
令函数，
则，
所以在上单调递增，又，
所以对，恒成立，
所以当时，对，恒有.
【变式3-1】（2023·山东·潍坊统考一模）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当吋，.
【答案】（1）函数在上单调递增；（2）证明见解析
【解析】（1）函数的定义域为，
，
记，则，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，
所以，
所以函数在上单调递增；
（2）原不等式为，即，
即证在上恒成立，
设，则，
所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
令，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，所以，
且在上有，所以可得到，即，
所以在时，有成立.
【变式3-2】（2023·陕西·铜川校考一模）已知函数．
（1）若存在零点，求的取值范围；
（2）若，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由可得，令，其中，
则，由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，
且当时，，则；
当时，，则，
作出函数与函数的图象如右图所示：
由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有公共点，
即函数有零点，故.
（2）证明：因为，所以，函数、的单调性相同，
则函数的减区间为，增区间为，
所以，，又由于，所以①，
设，其中，则，令，可得.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，②，
由于①②两式中等号不能同时成立，故有．
所以，即．
【变式3-3】（2022秋·湖北·襄阳高三校联考期中）已知函数
（1）求的单调区间；
（2）证明：
【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）证明见解析
【解析】（1）因为，且
所以
令函数，则，
所以即在上单调递增.
又，所以当时，；当时，
故的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）证明：要证，即证
令函数，，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故
令函数，，则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故
故，则，
即
【题型4 利用导数解决极值点偏移】
【例4】（2022秋·广东·清远高三统考期末）已知函数．
（1）讨论的零点个数．
（2）若有两个不同的零点，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）因为，所以1不是的零点．
当，可变形为，
令，则的零点个数即直线与图象的交点个数．
因为，，得，又，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，且当时，，所以当时，没有零点；
当时，有一个零点；
当时，有两个零点．
（2）证明：由（1）知，当时，有两个零点．
设，则，
由得，
所以，即．
令，则，
易得在上单调递减，在上单调递增．
要证，即证．
因为，且在上单调递增，所以只需证．
因为，所以即证．
令，
则，所以在上单调递减．
因为，所以．
因为，所以，故．
【变式4-1】（2022秋·湖北·高三恩施土家族苗族高中校联考阶段练习）已知为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同零点，求证：.
【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题可得，
当时，，当时，；
所以当时，在上是增函数，在上是减函数；
当时，在上是减函数，在上是增函数；
（2）因为有两个不同零点，，则，，
因此，即，
要证，只要证明，即证，
不妨设，记，则，，
因此只要证明，即，
记，则，
令，则，
所以函数在上递增，
则，即，
∴在上单调递增，∴，即成立，
∴.
【变式4-2】（2023春·四川·成都高三校联考期末）已知函数．
（1）当时，求函数在区间上的最大值与最小值；
（2）若函数的两个极值点分别为，，证明：．
【答案】（1）最大值与最小值分别为：，；（2）证明见解析
【解析】（1）当时，可得：.
求导，可得：，.
设，求导可得：.
故当时，，
故在区间上单调递增，即在区间上单调递增.
又，可得：当时，；当时，；
故在区间上单调递减，在区间上单调递增.
可得：，.
故函数在区间上的最大值与最小值分别为：，.
（2）对求导，可得：.
由（1）可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
要使函数有两个极值点，
则必有关于方程有两个零点，.
令，，可得：.
故，当无限趋近时，无限趋近.
可得：，且.
由方程，可得：.
即关于的方程由两个不同的实数根，.
令，可得：.
故在区间上单调递增，在区间上单调递减.
可得：，.
令（），.
可得：，即在区间上单调递增.
故当时，.可得：.
根据函数的单调性，可得：，即，故.
【变式4-3】（2022秋·吉林·高三校考期末）已知函数设函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数存在两个极值点，证明：
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）因为定义域为，
则，
令，解得或，
若，则当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
若，则当或时，当时，
所以在上单调递减，在和上单调递增；
若，则在上恒成立，所以在上单调递增；
若，则当或时，当时，
所以在上单调递减，在和上单调递增；
综上可得：当时在上单调递减，在上单调递增，
当时在上单调递减，在和上单调递增，
当时在上单调递增，
当时在上单调递减，在和上单调递增.
（2）证明：因为，，
所以，，
则，
又存在，为的极值点，则，
所以的两个根为，，且，，
即的存在两个根为，，且，，
所以，，
因为，，所以，即，
要证明存在，，使得，
即证，即证明存在，，使得，
又，
即证明存在，，，
即证明存在，，，
即证明存在，，，
即证明存在，，，
令，则当时，，
所以需要证明在上存在区间单调递增，
因为，
所以当时，，即在上单调递增，得证．
【变式4-4】（2023·陕西·铜川校考一模）已知函数．
（1）若存在使得成立，求a的取值范围；
（2）设函数有两个极值点，且，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由于，故转化为．
设，则.
设，则.
由于，解，解得.
解可得，，所以在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.
故在处有极小值，也是最小值.
所以故在上总成立，所以为单调增函数.
又存在使得成立，只需即可，
所以，即a的取值范围是．
（2）由已知可得，定义域为，且.
由已知有两个极值点，
所以方程有两个相异根，
则，且，，，
所以，.
所以，，
所以.
令，则，设.
则，
所以在为减函数，
所以.
即．
【变式4-5】（2023·山东·威海统考一模）已知函数有两个零点.
（1）求实数a的取值范围；
（2）设是的两个零点，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1），
当时，，所以在上单调递增，不满足题意；
当时，令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，有，，
又因为函数有两个零点，
所以，即，所以，可得，所以，
故实数a的取值范围是.
（2）要证，即证，
方法一：下证，即证，
不妨设，由（1）可知，所以，
因为在上单调递减，即证，
因为，所以，即证，
令，
，
所以在上单调递增，又因为，
所以，即，
可得，所以，
所以，即，
又因为在上单调递减，所以.
方法二：下证，即证，
不妨设，由（1）可知，所以，
因为在上单调递减，即证，
因为，即证，
，
因为，所以，所以，
因为且，所以，令，
，
所以在上单调递减，所以，
所以，所以，可得，
因为，所以，
所以，即，
又因为在上单调递减，所以.
【题型5 导数与数列不等式证明】
【例5】（2023秋·辽宁·营口高三统考期末）已知函数.
（1）当时，，求实数的取值范围；
（2）证明：（）．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）因为，所以，
当时，因为，所以，在上单调递增，
所以，符合题意，
当时，若时，，在上单调递减，
此时，与矛盾，不符合题意，
综上所述，实数的取值范围是.
（2）证明：由（1）知，当时，若，有，
当且仅当时等号成立，所以当时，，
令，有，即
因为，，所以，即，，
所以，
即.
【变式5-1】（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数．
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）求证：，恒成立．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1），由题意，在上恒成立，
∴在上恒成立，
令，
当时，；当时，．
∴在上单调递减，．
∴，即，故实数的取值范围是．
（2）由（1）知：当时，在上单调递增，．
∴当时，，
令，则，∴．
∴，可得．
累加得，
∴，
∴得证．
【变式5-2】（2022秋·山东·济南高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若函数的最小值为为函数的两个零点，证明：；
（3）证明：对于任意.
【答案】（1）有极小值为，无极大值；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】（1）（），，
若时，则恒成立，
在上单调递增，故没有极值；
若，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
有极小值，极小值为，无极大值.
（2）由（1）可知，当时，有最小值，，
由函数的最小值为0，得，
由题知，
，，，
，，
，（），
令，则，
令，则在上单调递增，
又，在上，，，单调递减，
在上，，，单调递增，
，
得证.
（3）由（1），最小值为，
所以，
令，，可得，又在时，单调递增，
所以当时，
对于任意，可得，，，，，
以上各式相加可得，
可得成立.
【变式5-3】（2022秋·广东·高三深圳中学校考阶段练习）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：，.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）的定义域为，，.
当时，，，此时在单调递减；
当时，.
①当时，，，，此时在单调递减；
②当时，，令，得，.
当变化时，，变化情况列表如下：
综上所述：当时，在单调递减；
当时，在，单调递减，
在单调递增.
（2）当时，在单调递减，此时，
即，，故，.
下证，.
因为，，
用替换得，.
故，
整理得，.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知函数，为函数的导函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：．
【答案】（1）答案详见解析；（2）证明详见解析
【解析】（1）的定义域是，
，
令，则，
当时，恒成立，单调递减，也即在区间上单调递减；
当时，在区间单调递减；
在区间递增.
（2）当时，，
要证明，即证明，
即证明，即证明，
构造函数恒成立，
所以在区间上递增，，所以.
构造函数，，，
所以在区间递减；在区间递增.
所以，即.
所以，则，
结合可得，
从而成立.
2．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知函数是的导数．
（1）当时，求函数在上的最值；
（2）当时，方程有两个不同的实数根，求证：
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）证明见解析
【解析】（1）当时，，，
则，
令解得，令解得，
所以在单调递减，在在单调递增，
所以在上的最大值为，最小值为.
（2）由题意可得，即的两实数根为，
所以是方程的两实根，
所以，即．
由得，
令，由得，
设．
所以函数在上递增，从而．
令，则，
所以函数在上递增，得，
所以函数，
因此，即得证．
3．（2020秋·山东淄博·高三校考期中）已知函数.
（1）若，求证：.
（2）讨论函数的极值；
（3）已知，证明
【答案】（1）证明见解析；（2）当时，没有极值；当时，在处取得极小值，无极大值；（3）证明见解析；
【解析】（1）当时，，则，
则当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则；
（2）根据题意得：，
当时，，则在上单调递减，没有极值，
当时，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则在处取得极小值，无极大值，
（3）令，
则，当时，，即在上单调递增，
则当时，，则，则，
则根据对数单调性可得：，
4．（2023秋·山东烟台·高三统考期末）已知，，，为的导函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在使得对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1），则，
当时，方程的根为，
当，即时，当和时，，
单调递增，当时，，单调递减，
当，即，当和时，，
单调递增，当时，，单调递减，
当，即时，恒成立，函数在上单调递增，
综上所述，当时，在，上单调递增，
在上单调递减；当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
（2）存在实数使得对任意恒成立，即恒成立，
令，则，
因为，
当时，恒成立；当时，，
函数在上单调递增，且，，
所以，存在，使得，且在上单调递减，
在上单调递增，所以，
于是，原命题可转化为存在使得在上成立，
又因为，所以，
所以存在，使得成立，
令，，则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，所以.
5．（2022秋·山东济宁·高三统考期末）已知函数，若恒成立，
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题设在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，
令，则在上恒成立，
所以在上递增，显然，，
故使，则上，上，
所以上，递增；上，递减；
又，即，则，
综上，.
（2）由（1）知：，
所以且，要使恒成立，
只需证恒成立，只需证恒成立，
当时，若，则，即递增，又也递增，
所以在上递增，故恒成立，
当时，令且，则，即递增，故，
所以在上恒成立，故，
令，则，
所以在上递减，故，即，
综上，在上恒成立，
所以，时得证.
6．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知函数，若在上，单调且恒成立．
（1）求实数的取值范围；
（2）设，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）当时，，，
若函数在上单调递增，则，不合乎题意；
若函数在上单调递减，则，
且有对任意的恒成立，可得，
令，可得，则，
令，其中，则，
故函数在上为增函数，则，故.
（2）证明：当时，由（1）可知，
函数在上为减函数，
所以，，所以，，
所以，，，，，
上述不等式全加可得，
令，则，
所以，，故，
即数列为单调递增数列，故，故，
所以，，
故对任意的，.-
0
+
0
-
极大值
极小值
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
重难点3-2 导数与不等式综合5大题型
函数与导数一直是高考中的热点与难点，利用导数研究不等式问题在近几年高考中出现的频率较高。求解此类问题关键是要找到与待证不等式紧密联系的函数，然后利用导数工具来研究函数的单调性、极值、最值（值域），从而达到目的。考查难度较大。
一、不等式证明的常用思路
1、移项构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
2、最值法：若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题．
在证明过程中，等价转化是关键，此处恒成立．从而f(x)>g(x)，
但此处与取到最值的条件不是同一个“x的值”．
3、适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
4、构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数
5、双变量不等式的处理策略：
含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式，
具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量，选取主元.
二、不等式成立问题常用的转化规则
1、单变量不等式成立问题：一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立
（1），
（2），
（3），
（4），
2、双变量不等式成立问题：一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．
三、极值点偏移问题
1、极值点偏移问题的一般题设形式：
（1）若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；
（2）若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；
（3）若函数存在两个零点且，令，求证：；
（4）若函数中存在且满足，令，求证：.
2、运用判定定理判定极值点偏移的方法
（1）方法概述：
= 1 \* GB3 ①求出函数的极值点；
= 2 \* GB3 ②构造一元差函数；
= 3 \* GB3 ③确定函数的单调性；
= 4 \* GB3 ④结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.
口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.
（2）抽化模型
答题模板：若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.
= 1 \* GB3 ①讨论函数的单调性并求出的极值点；
假设此处在上单调递减，在上单调递增.
= 2 \* GB3 ②构造；
注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.
= 3 \* GB3 ③通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；
假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.
= 4 \* GB3 ④不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；
接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.
= 5 \* GB3 ⑤若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.
此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.
四、证明与数列有关的不等式
1、证明此类问题时长根据已知的函数不等式，用关于正整数的不等式替代函数不等式中的自变量。通过多次求和达到证明的目的。此类问题一般至少两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得来。
2、已知函数式为指数不等式（或对数不等式），而待证不等式为与对数有关的不等式（或与指数有关的不等式），还有注意指、对数式的互化，如可化为
【题型1 单变量不等式求参问题】
【例1】（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】，，
，，
令，
则若关于的不等式有解，则，
，
，则当时，，当时，，
故当时，单调递增，当时，单调递减，
则，则，
故实数的取值范围是，故答案为：.
【变式1-1】（2023·安徽宿州·统考一模）已知函数（e为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】由，令，
令，则在上单调递增，.
（1）当时，恒成立，即函数在上单调递增，
则有，解得；
（2）当时，则存在使得，
则时，，在上单调递减；
时，，在上单调递增.
∴，又，
.
∵，令，，则，
∴在上单调递减.
则，故.
综上，.
故答案为：
【变式1-2】（2023秋·天津·高三统考期末）设函数，，，已知曲线在点处的切线与直线垂直．
（1）求a的值；
（2）求的单调区间；
（3）若对成立，求b的取值范围．
【答案】（1）2；（2）答案见解析；（3）
【解析】（1）的定义域为，
，
由于直线的斜率为，.
（2），，
①当时，，在R上单调递增；
②当时，令有，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上所述：，的单调递增区间为R，
，的单调减区间为，的单调增区间为.
（3）由恒成立，等价于，
令（），，
①若时，，所以在上单调递增，
，即，满足，
②若时，则，所以在上单调递增，
当趋近于0时，趋近于，不成立，
故不满足题意.
③若时，令，，，，
，单调递减，，单调递增，
只需即可，
，，
令，，在上单调递增，
，时，，
，，所以在上单调递增，
，即，
综上：.
【变式1-3】（2023·湖南·模拟预测）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当时，；
（3）若，，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解析见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1），则，
当时，令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上，函数的单调减区间为，单调增区间为；
（2）令，则，
设，则，
所以函数单调递增，有，
所以函数在上单调递增，有，
所以当时，，即证；
（3），即，
即，令，
则，
若，当时，，，
令，则，
则函数单调递增，且，即；
令，则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
则，即，
所以，则，
所以函数在上单调递增，且，
即恒成立.
当时，，
存在实数，使得均有，
则函数在上单调递减，且，不符合题意，
所以当时，不符合题意.
综上，a的取值范围为.
【变式1-4】（2023·内蒙古·模拟预测）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，，所以，
所以，，
所以所求切线方程为，即.
（2）对任意的，恒成立，
等价于对任意的，恒成立.
①当时，显然成立.
②当时，不等式等价于.
设，所以.
设，则.
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以，
又因为在中，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即的取值范围为.
【变式1-5】（2023·安徽宿州·统考一模）已知函数（e为自然对数的底数），a，.
（1）当时，讨论在上的单调性；
（2）当时，若存在，使，求a的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）当时，，的定义域为，
，
当，即时，且不恒为0，
所以在上单调递增；
当时，方程有两不等正根，
结合定义域由可得，
由可得，
所以在区间上单调递减，
在区间和上单调递增；
当时，方程有一负根和一正根，
结合定义域由可得，
由可得，
所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增.
综上可知：当时，在区间上单调递减，
在区间和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递减，
在区间上单调递增.
（2）法一：分离变量可得：，令，，
则，
易得当时，，且，从而，
所以在单调递减，于是.
即a的取值范围为.
法二：当时，，令，，
则，即为，
而在上单调递减，所以当时，，
又，
i. 当，即时，，符合题意；
ii. 当时，由（1）知在上是增函数，
恒有，故不存在，使；
iii. 当时，由于时，，
所以，
令，则，
所以在上是增函数，最大值为，
又，
所以，此时恒有，
因此不存在，使.
综上可知，，即a的取值范围为.
【题型2 双变量不等式求参问题】
【例2】（2022秋·河北·高三南宫中学校考阶段练习）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调性见解析；（2）
【解析】（1）由题意知：的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令有，故当，则；
若，则；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，；，；
恒成立，不合题意；
当时，取，，
则，符合题意；
当时，若，，使得，则；
由（1）知：；
，，在上单调递增，
，
，即，，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
【变式2-1】（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知函数
（1）若关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求的取值范围；
（2）设函数，若，总有成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），，
由得，
由题意，曲线与直线在区间上恰有2个交点．
，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当值，取最小值，最小值为．
，
又，∴．
（2）由总有成立可知，
所以在给定区间上，．
由（2）知在区间上，，
∵，
当时，；当时，，
∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴，所以，∴．
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）由题意知：的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，；，；
恒成立，不合题意；
当时，取，，
则，符合题意；
当时，若，，使得，则；
由（1）知：；
，，在上单调递增，
，
，即，，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
【变式2-3】（2022·湖南·安仁县第一中学校考模拟预测）已知且在上单调递增，.
（1）当取最小值时，证明恒成立.
（2）对，，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由题意可知在上恒成立，
参变分离得，，此时.
设，，
令，令，
在上单调递增，在上单调递减.
，恒成立，
（2），
当时，，，
在单调递增；
当时，，，
在单调递减；
，，，
在上的最小值为.
易知为偶函数，由偶函数图象的对称性可知在上的最小值为
由题意可得，使得成立，即成立.
由（1）可知，
参变分离得，设，，即只需即可.
由（1）知得，
令，令，
在上单调递减，在上单调递增.
，，
又已知.故的取值范围为.
【题型3 利用导数证明不等式成立】
【例3】（2023·福建·漳州统考二模）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，求证：当时，对，恒有．
【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，的单调递增区间为，
单调递减区间为；（2）见解析
【解析】（1）当时，，所以，
当时，，此时在上单调递减；
当时，令，解得：，
所以在上单调递增；
令，解得：，所以在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：当时，，
令函数，，
所以在上单调递减，且，所以，即，
所以当，，则，所以，
所以当，，则，所以，
令函数，
则，
所以在上单调递增，又，
所以对，恒成立，
所以当时，对，恒有.
【变式3-1】（2023·山东·潍坊统考一模）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当吋，.
【答案】（1）函数在上单调递增；（2）证明见解析
【解析】（1）函数的定义域为，
，
记，则，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，
所以，
所以函数在上单调递增；
（2）原不等式为，即，
即证在上恒成立，
设，则，
所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
令，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，所以，
且在上有，所以可得到，即，
所以在时，有成立.
【变式3-2】（2023·陕西·铜川校考一模）已知函数．
（1）若存在零点，求的取值范围；
（2）若，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由可得，令，其中，
则，由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，
且当时，，则；
当时，，则，
作出函数与函数的图象如右图所示：
由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有公共点，
即函数有零点，故.
（2）证明：因为，所以，函数、的单调性相同，
则函数的减区间为，增区间为，
所以，，又由于，所以①，
设，其中，则，令，可得.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，②，
由于①②两式中等号不能同时成立，故有．
所以，即．
【变式3-3】（2022秋·湖北·襄阳高三校联考期中）已知函数
（1）求的单调区间；
（2）证明：
【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）证明见解析
【解析】（1）因为，且
所以
令函数，则，
所以即在上单调递增.
又，所以当时，；当时，
故的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）证明：要证，即证
令函数，，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故
令函数，，则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故
故，则，
即
【题型4 利用导数解决极值点偏移】
【例4】（2022秋·广东·清远高三统考期末）已知函数．
（1）讨论的零点个数．
（2）若有两个不同的零点，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）因为，所以1不是的零点．
当，可变形为，
令，则的零点个数即直线与图象的交点个数．
因为，，得，又，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，且当时，，所以当时，没有零点；
当时，有一个零点；
当时，有两个零点．
（2）证明：由（1）知，当时，有两个零点．
设，则，
由得，
所以，即．
令，则，
易得在上单调递减，在上单调递增．
要证，即证．
因为，且在上单调递增，所以只需证．
因为，所以即证．
令，
则，所以在上单调递减．
因为，所以．
因为，所以，故．
【变式4-1】（2022秋·湖北·高三恩施土家族苗族高中校联考阶段练习）已知为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同零点，求证：.
【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题可得，
当时，，当时，；
所以当时，在上是增函数，在上是减函数；
当时，在上是减函数，在上是增函数；
（2）因为有两个不同零点，，则，，
因此，即，
要证，只要证明，即证，
不妨设，记，则，，
因此只要证明，即，
记，则，
令，则，
所以函数在上递增，
则，即，
∴在上单调递增，∴，即成立，
∴.
【变式4-2】（2023春·四川·成都高三校联考期末）已知函数．
（1）当时，求函数在区间上的最大值与最小值；
（2）若函数的两个极值点分别为，，证明：．
【答案】（1）最大值与最小值分别为：，；（2）证明见解析
【解析】（1）当时，可得：.
求导，可得：，.
设，求导可得：.
故当时，，
故在区间上单调递增，即在区间上单调递增.
又，可得：当时，；当时，；
故在区间上单调递减，在区间上单调递增.
可得：，.
故函数在区间上的最大值与最小值分别为：，.
（2）对求导，可得：.
由（1）可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
要使函数有两个极值点，
则必有关于方程有两个零点，.
令，，可得：.
故，当无限趋近时，无限趋近.
可得：，且.
由方程，可得：.
即关于的方程由两个不同的实数根，.
令，可得：.
故在区间上单调递增，在区间上单调递减.
可得：，.
令（），.
可得：，即在区间上单调递增.
故当时，.可得：.
根据函数的单调性，可得：，即，故.
【变式4-3】（2022秋·吉林·高三校考期末）已知函数设函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数存在两个极值点，证明：
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）因为定义域为，
则，
令，解得或，
若，则当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
若，则当或时，当时，
所以在上单调递减，在和上单调递增；
若，则在上恒成立，所以在上单调递增；
若，则当或时，当时，
所以在上单调递减，在和上单调递增；
综上可得：当时在上单调递减，在上单调递增，
当时在上单调递减，在和上单调递增，
当时在上单调递增，
当时在上单调递减，在和上单调递增.
（2）证明：因为，，
所以，，
则，
又存在，为的极值点，则，
所以的两个根为，，且，，
即的存在两个根为，，且，，
所以，，
因为，，所以，即，
要证明存在，，使得，
即证，即证明存在，，使得，
又，
即证明存在，，，
即证明存在，，，
即证明存在，，，
即证明存在，，，
令，则当时，，
所以需要证明在上存在区间单调递增，
因为，
所以当时，，即在上单调递增，得证．
【变式4-4】（2023·陕西·铜川校考一模）已知函数．
（1）若存在使得成立，求a的取值范围；
（2）设函数有两个极值点，且，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由于，故转化为．
设，则.
设，则.
由于，解，解得.
解可得，，所以在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.
故在处有极小值，也是最小值.
所以故在上总成立，所以为单调增函数.
又存在使得成立，只需即可，
所以，即a的取值范围是．
（2）由已知可得，定义域为，且.
由已知有两个极值点，
所以方程有两个相异根，
则，且，，，
所以，.
所以，，
所以.
令，则，设.
则，
所以在为减函数，
所以.
即．
【变式4-5】（2023·山东·威海统考一模）已知函数有两个零点.
（1）求实数a的取值范围；
（2）设是的两个零点，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1），
当时，，所以在上单调递增，不满足题意；
当时，令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，有，，
又因为函数有两个零点，
所以，即，所以，可得，所以，
故实数a的取值范围是.
（2）要证，即证，
方法一：下证，即证，
不妨设，由（1）可知，所以，
因为在上单调递减，即证，
因为，所以，即证，
令，
，
所以在上单调递增，又因为，
所以，即，
可得，所以，
所以，即，
又因为在上单调递减，所以.
方法二：下证，即证，
不妨设，由（1）可知，所以，
因为在上单调递减，即证，
因为，即证，
，
因为，所以，所以，
因为且，所以，令，
，
所以在上单调递减，所以，
所以，所以，可得，
因为，所以，
所以，即，
又因为在上单调递减，所以.
【题型5 导数与数列不等式证明】
【例5】（2023秋·辽宁·营口高三统考期末）已知函数.
（1）当时，，求实数的取值范围；
（2）证明：（）．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）因为，所以，
当时，因为，所以，在上单调递增，
所以，符合题意，
当时，若时，，在上单调递减，
此时，与矛盾，不符合题意，
综上所述，实数的取值范围是.
（2）证明：由（1）知，当时，若，有，
当且仅当时等号成立，所以当时，，
令，有，即
因为，，所以，即，，
所以，
即.
【变式5-1】（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数．
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）求证：，恒成立．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1），由题意，在上恒成立，
∴在上恒成立，
令，
当时，；当时，．
∴在上单调递减，．
∴，即，故实数的取值范围是．
（2）由（1）知：当时，在上单调递增，．
∴当时，，
令，则，∴．
∴，可得．
累加得，
∴，
∴得证．
【变式5-2】（2022秋·山东·济南高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若函数的最小值为为函数的两个零点，证明：；
（3）证明：对于任意.
【答案】（1）有极小值为，无极大值；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】（1）（），，
若时，则恒成立，
在上单调递增，故没有极值；
若，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
有极小值，极小值为，无极大值.
（2）由（1）可知，当时，有最小值，，
由函数的最小值为0，得，
由题知，
，，，
，，
，（），
令，则，
令，则在上单调递增，
又，在上，，，单调递减，
在上，，，单调递增，
，
得证.
（3）由（1），最小值为，
所以，
令，，可得，又在时，单调递增，
所以当时，
对于任意，可得，，，，，
以上各式相加可得，
可得成立.
【变式5-3】（2022秋·广东·高三深圳中学校考阶段练习）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：，.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）的定义域为，，.
当时，，，此时在单调递减；
当时，.
①当时，，，，此时在单调递减；
②当时，，令，得，.
当变化时，，变化情况列表如下：
综上所述：当时，在单调递减；
当时，在，单调递减，
在单调递增.
（2）当时，在单调递减，此时，
即，，故，.
下证，.
因为，，
用替换得，.
故，
整理得，.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知函数，为函数的导函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：．
【答案】（1）答案详见解析；（2）证明详见解析
【解析】（1）的定义域是，
，
令，则，
当时，恒成立，单调递减，也即在区间上单调递减；
当时，在区间单调递减；
在区间递增.
（2）当时，，
要证明，即证明，
即证明，即证明，
构造函数恒成立，
所以在区间上递增，，所以.
构造函数，，，
所以在区间递减；在区间递增.
所以，即.
所以，则，
结合可得，
从而成立.
2．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知函数是的导数．
（1）当时，求函数在上的最值；
（2）当时，方程有两个不同的实数根，求证：
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）证明见解析
【解析】（1）当时，，，
则，
令解得，令解得，
所以在单调递减，在在单调递增，
所以在上的最大值为，最小值为.
（2）由题意可得，即的两实数根为，
所以是方程的两实根，
所以，即．
由得，
令，由得，
设．
所以函数在上递增，从而．
令，则，
所以函数在上递增，得，
所以函数，
因此，即得证．
3．（2020秋·山东淄博·高三校考期中）已知函数.
（1）若，求证：.
（2）讨论函数的极值；
（3）已知，证明
【答案】（1）证明见解析；（2）当时，没有极值；当时，在处取得极小值，无极大值；（3）证明见解析；
【解析】（1）当时，，则，
则当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则；
（2）根据题意得：，
当时，，则在上单调递减，没有极值，
当时，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则在处取得极小值，无极大值，
（3）令，
则，当时，，即在上单调递增，
则当时，，则，则，
则根据对数单调性可得：，
4．（2023秋·山东烟台·高三统考期末）已知，，，为的导函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在使得对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1），则，
当时，方程的根为，
当，即时，当和时，，
单调递增，当时，，单调递减，
当，即，当和时，，
单调递增，当时，，单调递减，
当，即时，恒成立，函数在上单调递增，
综上所述，当时，在，上单调递增，
在上单调递减；当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
（2）存在实数使得对任意恒成立，即恒成立，
令，则，
因为，
当时，恒成立；当时，，
函数在上单调递增，且，，
所以，存在，使得，且在上单调递减，
在上单调递增，所以，
于是，原命题可转化为存在使得在上成立，
又因为，所以，
所以存在，使得成立，
令，，则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，所以.
5．（2022秋·山东济宁·高三统考期末）已知函数，若恒成立，
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题设在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，
令，则在上恒成立，
所以在上递增，显然，，
故使，则上，上，
所以上，递增；上，递减；
又，即，则，
综上，.
（2）由（1）知：，
所以且，要使恒成立，
只需证恒成立，只需证恒成立，
当时，若，则，即递增，又也递增，
所以在上递增，故恒成立，
当时，令且，则，即递增，故，
所以在上恒成立，故，
令，则，
所以在上递减，故，即，
综上，在上恒成立，
所以，时得证.
6．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知函数，若在上，单调且恒成立．
（1）求实数的取值范围；
（2）设，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）当时，，，
若函数在上单调递增，则，不合乎题意；
若函数在上单调递减，则，
且有对任意的恒成立，可得，
令，可得，则，
令，其中，则，
故函数在上为增函数，则，故.
（2）证明：当时，由（1）可知，
函数在上为减函数，
所以，，所以，，
所以，，，，，
上述不等式全加可得，
令，则，
所以，，故，
即数列为单调递增数列，故，故，
所以，，
故对任意的，.-
0
+
0
-
极大值
极小值
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