重难点06 利用导数研究函数的零点（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc25520" 【题型1 判断、证明或讨论零点的个数】 PAGEREF _Tc25520 \h 2
\l "_Tc2461" 【题型2 零点问题之唯一零点问题】 PAGEREF _Tc2461 \h 3
\l "_Tc29833" 【题型3 零点问题之双零点问题】 PAGEREF _Tc29833 \h 3
\l "_Tc18014" 【题型4 根据零点情况求参数范围】 PAGEREF _Tc18014 \h 4
\l "_Tc24325" 【题型5 函数零点的证明问题】 PAGEREF _Tc24325 \h 5
\l "_Tc22734" 【题型6 多零点的和、差、积与大小关系问题】 PAGEREF _Tc22734 \h 6
\l "_Tc5544" 【题型7 隐零点问题】 PAGEREF _Tc5544 \h 7
\l "_Tc16430" 【题型8 三角函数的零点问题】 PAGEREF _Tc16430 \h 8
\l "_Tc15953" 【题型9 与函数零点相关的综合问题】 PAGEREF _Tc15953 \h 8
1、利用导数研究函数的零点
导数是高中数学的重要考查内容，而导数中的函数零点（方程的根）问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围.高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大.
【知识点1 导数中的函数零点问题的解题策略】
1．函数零点（个数）问题的的常用方法
(1)构造函数法：构造函数g( x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.
(2)函数零点存在定理：利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.
(3)数形结合法：函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求解.
2．导数中的含参函数零点（个数）问题
利用导数研究含参函数的零点（个数）问题主要有两种方法：
(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.
(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题.
3．与函数零点有关的参数范围问题的解题策略
与函数零点（方程的根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.
【知识点2 隐零点问题】
1．隐零点问题
隐零点问题是指函数的零点存在但无法直接求解出来的问题，在函数不等式与导数的综合题目中常会遇到涉及隐零点的问题，处理隐零点问题的基本策路是判断单调性，合理取点判断符号，再结合函数零点存在定理处理.
2．隐零点问题的解题策略
在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.
【题型1 判断、证明或讨论零点的个数】
【例1】（2024·四川凉山·二模）若fx=xsinx+csx−1，x∈−π2,π，则函数fx的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式1-1】（2024·北京房山·一模）若函数f(x)=ln(1−x),x∈−∞,01elnx,x∈0,+∞，则函数g(x)=f(x)+x+c零点的个数为（ ）
A．1B．2C．1或2D．1或3
【变式1-2】（2024·浙江·模拟预测）已知函数fx=aex+sinx−x−1.
(1)当a=12时，求fx的单调区间；
(2)当a=1时，判断fx的零点个数.
【变式1-3】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数fx=alnx−1x+xa∈R.
(1)讨论fx的零点个数；
(2)若关于x的不等式fx≤2x−2e在0,+∞上恒成立，求a的取值范围.
【题型2 零点问题之唯一零点问题】
【例2】（2024·四川成都·三模）若函数fx=ex−kx2大于0的零点有且只有一个，则实数k的值为（ ）
A．4B．2eC．e2D．e24
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=2x−kx−b恰有一个零点x0，且b>k>0，则x0的取值范围为（ ）
A．−∞,1−ln2ln2B．−∞,ln21−ln2C．1−ln2ln2,+∞D．ln21−ln2,+∞
【变式2-2】（2024·广东汕头·三模）已知函数f(x)=x(ex−ax2).
(1)若曲线y=f(x)在x=−1处的切线与y轴垂直，求y=f(x)的极值.
(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求a.
【变式2-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数f(x)=3x2+msinx(x>0)，其中m为常数且m≥−6，
(1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程，
(2)若函数gx=fx−mxcsx在区间0,32π上有且只有一个零点，求实数m的取值范围.
【题型3 零点问题之双零点问题】
【例3】（2024·四川内江·三模）若函数f(x)=lnxx−xm有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A．(0,e)B．(e,+∞)C．(0,2e)D．(2e,+∞)
【变式3-1】（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数fx=xlnx−x+x−a有且仅有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A．−1e,0∪0,eB．−2e,0∪0,e
C．−2e,0∪0,3D．−1e,0∪0,3
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=xe1x−a(x>0)，且f(x)有两个相异零点x1,x2．
(1)求实数a的取值范围．
(2)证明：x1+x2>2ae．
【变式3-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数fx=x2lnx−m有两个不同的零点x1，x2，且t=x12+x22．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求证：t<1；
(3)比较t与2e及2m+3e的大小，并证明．
【题型4 根据零点情况求参数范围】
【例4】（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知a>1，若函数fx=axlna−ex有两个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A．e,+∞B．1,eC．2e,+∞D．e,2e
【变式4-1】（2024·陕西汉中·二模）已知函数f(x)=−x3−3x2−2x,x≤0lnx,x>0，g(x)=f(x)−mx有4个零点，则m的取值范围为（ ）
A．(14,1e)B．(−2,0]∪{1e}C．(−2,0]∪{14}D．(−∞,0]∪(14,1e)
【变式4-2】（2024·贵州贵阳·一模）已知函数fx=a+ex,x>0e−x,x<0，若方程fx+ex=0存在三个不相等的实根，则实数a的取值范围是（ ）
A．−∞,eB．−∞,−eC．−∞,−2eD．−∞,2e
【变式4-3】（2023·辽宁大连·模拟预测）已知函数fx=x3+2x2+x,x≥0−2x,x<0，若函数gx=fx−kx2−4x,(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围（ ）
A．−∞,−1∪25,+∞B．−∞,−5∪0,2
C．−∞,0∪0,2+22D．−∞,0∪2+25,+∞
【题型5 函数零点的证明问题】
【例5】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数fx=lnmx−xm>0．
(1)若fx≤0恒成立，求m的取值范围；
(2)若fx有两个不同的零点x1,x2，证明x1+x2>2．
【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数f(x)=a(lnx+1)+1x3(a>0)．
(1)求证：1+xlnx>0；
(2)若x1,x2是f(x)的两个相异零点，求证：x2−x1<1−1a．
【变式5-2】（2024·辽宁·三模）已知fx=x−1ex+12ax2.
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)当a>0时，证明：函数fx有且仅有两个零点x1,x2，且x1+x2<0.
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=x2−(2+a)x+alnx，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设g(x)=exx−f(x)+x2−(a+1)x−2a+(a−1)lnx，若g(x)存在两个不同的零点x1，x2，且x1（i）证明：2a>e+1；
（ii）证明：x2−x1<4a2−2a−12a−1.
【题型6 多零点的和、差、积与大小关系问题】
【例6】（2023·四川成都·三模）已知函数f(x)=x−1x−alnx有三个零点x1,x2,x3，其中a∈R，则ax1x2x3的取值范围是（ ）
A．(1,+∞)B．2，+∞C．(e,+∞)D．(3,+∞)
【变式6-1】（2023·四川南充·一模）已知函数f(x)=lnx−2x+2−m（0①x2x12m+2 ③em31
A．1B．2C．3D．4
【变式6-2】（2023·四川成都·一模）已知函数fx=lnx2−a2xlnx+aex2有三个零点x1、x2、x3且x1A．−1e2−e,0B．−1e2,0C．−12e,0D．−2e,0
【变式6-3】（2023·四川南充·一模）已知函数f(x)=lnx−2x+2−m（0①x2x12m+2 ③x1x2>1
A．0B．1C．2D．3
【题型7 隐零点问题】
【例7】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知fx=x−12ex−a3x3+axx>0a∈R.
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)当a=0时，判定函数gx=fx+lnx−12x2零点的个数，并说明理由.
【变式7-1】（23-24高三上·辽宁鞍山·阶段练习）已知函数fx=lnx−ax+1，gx=xex−x.
（1）若直线y=2x与函数fx的图象相切，求实数a的值；
（2）当a=−1时，求证：fx≤gx+x2.
【变式7-2】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数fx=xeax（a>0）.
(1)求fx在区间−1,1上的最大值与最小值；
(2)当a≥1时，求证：fx≥lnx+x+1.
【变式7-3】（2023·内蒙古包头·一模）已知函数f(x)=aex−ln(x+1)−1．
(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积；
(2)证明：当a>1时，f(x)没有零点．
【题型8 三角函数的零点问题】
【例8】（2023·江西上饶·一模）已知函数fx=sin2x+2sinx−1，则fx在x∈0,2023π上的零点个数是（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
【变式8-1】（2023·河南·模拟预测）已知函数fx=ex+x,x<0sinωx−π4,0≤x≤π有4个不同的零点，则正实数ω的范围为（ ）
A．94,134B．94,134C．94,134D．94,134
【变式8-2】（2024·广西钦州·三模）已知函数fx=asinx+xcsx.
(1)若a=0，求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)若a>−1，证明：fx在−π,π上有3个零点.
【变式8-3】（2024·广东深圳·模拟预测）已知fx=xsinx−acsx在x=π2时取得极大值．
(1)讨论fx在−π,π上的单调性；
(2)令ℎx=x2−4xsinx−4csx+4，试判断ℎx在R上零点的个数．
【题型9 与函数零点相关的综合问题】
【例9】（2024·广东广州·二模）已知函数fx=ax+1e−x+x2．
(1)讨论fx的零点个数；
(2)若fx存在两个极值点，记x0为fx的极大值点，x1为fx的零点，证明：x0−2x1>2．
【变式9-1】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数fx=x−1x+alnx，其中a∈R.
(1)当x∈1,+∞时，fx≥0，求a的取值范围.
(2)若a<−2，证明：fx有三个零点x1，x2，x3（x1【变式9-2】（2024·北京朝阳·二模）已知函数fx=ax−ln1−xa∈R.
(1)求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)若fx≥0恒成立，求a的值；
(3)若fx有两个不同的零点x1,x2，且x2−x1>e−1，求a的取值范围.
【变式9-3】（2024·江西景德镇·三模）已知函数fx=ex−ax2，gx=ex−bx.
(1)当b=e时，求函数gx的极值；
(2)已知实数a∈0,e24.
①求证：函数fx有且仅有一个零点；
②设该零点为x0，若fx图象上有且只有一对点Ax1,y1，Bx2,y2x1一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）函数fx=lnx+x2−2的零点所在区间是（ ）
A．0,22B．22,1C．1,2D．2,2
2．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数fx=x3−3x+a在区间0,2内有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．0,2B．2,+∞C．0,1D．1,+∞
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）函数fx=ex−kx−b恰好有一零点x0，且k>b>0，则x0的取值范围是（ ）
A．(−∞,0)B．(0,1)C．(−∞,1)D．(1,+∞)
4．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知ω>0，若函数fx=lnx−x3,x>0,sinωx+π3,−π≤x≤0有4个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．43,73B．43,73C．73,103D．73,103
5．（2024·四川宜宾·模拟预测）定义在0,+∞上的单调函数fx，对任意的x∈0,+∞有ffx−lnx=1恒成立，若方程fx⋅f′x=m有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．−∞,1B．0,1C．0,1D．−∞,1
6．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数fx=lnx+1−ax有两个零点x1,x2，且x1A．a>1B．x1+x2<2a
C．x1⋅x2<1D．x2−x1>1a−1
7．（2024·四川·模拟预测）已知函数fx=3−2x+1,x>0,(x+2)2ex,x≤0.若函数y=[fx]2−afx有5个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A．0,1B．1,4C．1,4D．1,+∞
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=e2x−2a+1xex+aa+2x2（其中e为自然对数的底数），则下列结论错误的是（ ）
A．∃a∈R，使函数fx恰有1个零点
B．∃a∈R，使函数fx恰有3个零点
C．∃a∈R，使函数fx没有零点
D．若函数fx有2个零点，则实数a的取值范围为e−2,e
二、多选题
9．（2023·广西·模拟预测）已知方程ax−2xlnx=x2+3（a∈R）有两个不同的根x1，x2，若x1A．a∈4,+∞B．x1<1C．lnx1+lnx2−1>ln2D．x1x2>1
10．（2024·重庆·三模）已知函数f(x)=e2x−ax2(a为常数)，则下列结论正确的是（ ）
A．当a=1时，f(x)在(0,f(0))处的切线方程为2x−y+1=0
B．若f(x)有3个零点，则a的取值范围为e2,+∞
C．当a=e2时，x=1是f(x)的极大值点
D．当a=12时，f(x)有唯一零点x0，且−111．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数fx=aex+a−x有两个零点x1，x2，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值可以取14B．a的值可以取12
C．x1−x2的值关于a单调递减D．f′x1+f′x2>0
三、填空题
12．（2024·四川成都·三模）若函数fx=ex−kx2大于0的零点有且只有一个，则实数k的值为 ．
13．（2023·江苏·模拟预测）已知函数f(x)=x3−x,x≤0lnx,x>0，若F(x)=f(f(x)−t)有六个零点，则实数t的取值范围是 ．
14．（2023·福建福州·二模）已知函数fx=x2e2x−a+1xex+2a−1有三个零点x1,x2,x3，且x1四、解答题
15．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数fx=x3−ax+2,a∈R.
(1)若x=−2是函数fx的极值点，求a的值，并求其单调区间；
(2)若函数fx在13,3上仅有2个零点，求a的取值范围．
16．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数f(x)=2sinx+ln(x+1)−ax．
(1)当a=2时，求函数f(x)在区间0,π2上零点的个数；
(2)若x≥0时，不等式f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．
17．（2024·安徽·三模）已知函数fx=a2x−x(a>0,a≠1).
(1)若a=e，求fx在x=0处的切线方程；
(2)若函数fx有2个零点，试比较lna与12e的大小关系.
18．（2024·福建南平·模拟预测）已知函数fx=lnexax，其中e为自然对数的底数．
(1)讨论fx的单调性；
(2)若方程fx=1有两个不同的根x1,x2．
(i)求a的取值范围；
(ii)证明：x12+x22>2．
19．（2024·河北邯郸·二模）已知函数fx=ex−mx,gx=x−mlnx．
(1)是否存在实数m，使得fx和gx在0,+∞上的单调区间相同？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
(2)已知x1,x2是fx的零点，x2,x3是gx的零点．
①证明：m>e，
②证明：1