重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型-高考数学专练（新高考专用）

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重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。
抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。

一、抽象函数的赋值法
赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种：
1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解；
2、通过的变换判定单调性；
3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性；
4、换为确定周期性.
二、判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.
①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或;
②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或.
三、常见的抽象函数模型
1、可看做的抽象表达式；
2、可看做的抽象表达式（且）；
3、可看做的抽象表达式（且）；
4、可看做的抽象表达式.
四、抽象函数中的小技巧
1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；
2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；
3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。


【题型1 抽象函数的定义域问题】
【例1】（2022秋·四川广安·高三四川省邻水县第二中学校考阶段练习）已知定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．


【变式1-1】（2021秋·福建福州·高三校考开学考试）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．


【变式1-2】（2022秋·河南驻马店·高三校联考期中）已知的定义域为，则的定义域为________.


【变式1-3】（2022秋·上海黄浦·高三格致中学校考期中）函数的定义域是，则函数的定义域是______．


【变式1-4】（2022秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______


【题型2 抽象函数的求值问题】
【例2】（2022秋·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知对所有的非负整数均有，若，则______．


【变式2-1】（2021秋·河南·高三阶段练习）已知定义在上的函数满足对任意，，，，则___________.


【变式2-2】（2022秋·浙江衢州·高三统考阶段练习）已知定义在上的函数，对于任意，当时，都有，又满足，则______.（为自然对数的底数）


【变式2-3】（2022秋·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）若函数是定义在上的增函数，满足①，②对任意，有，③对于，有恒成立，则__________________.


【变式2-4】（2022秋·江苏南京·高三南京师大附中校联考阶段练习）已知函数的定义域，，，且．若数列是首项为，公差为的等差数列，则______．


【题型3 抽象函数的解析式问题】
【例3】（2022秋·河南开封·高三校考阶段练习）已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件：
（1）对于任意的实数x，y恒有；
（2）在上单调递减.
请写出满足条件的一个___________.


【变式3-1】（2022秋·广东·高三统考开学考试）已知函数f（x）满足：①对，，；②．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝______．


【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）定义在实数集上的函数的图象是一条连绵不断的曲线，，，且的最大值为1，最小值为0．
（1）求与的值；
（2）求的解析式．


【变式3-3】（2022秋·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考阶段练习）（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是R上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式.


【题型4 抽象函数的值域问题】
【例4】（2022秋·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）已知函数对任意的，总有，若时，，且，则当时，的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2


【变式4-1】（2022秋·浙江杭州·高一杭州四中校考期中）已知函数的定义域是，值域为，则值域也为的函数是（ ）
A． B． C． D．


【变式4-2】（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域是___________.


【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域是，则函数的值域为 __．


【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数满足，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为__________.


【变式4-5】（2022·全国·高三专题练习）是上的奇函数，是上的偶函数，若函数的值域为，则的值域为_____________．


【变式4-6】（2022·浙江·高三专题练习）已知定义在上的函数为减函数，对任意的，均有，则函数的最小值是（ ）
A．2 B．5 C． D．3


【题型5 抽象函数的单调性问题】
【例5】（2021秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期中）已知函数f(x)的定义域是(0，+¥)，，，当x1时， f(x)0，则满足不等式f(x)-f(x-2)≥2的x的取值范围为__________.


【变式5-1】（2022秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的函数，对任意，满足条件，且当时，.
（1）求证：是上的递增函数；
（2）解不等式，（且）.


【变式5-2】（2022秋·江苏扬州·高三统考期中）（多选）设函数的定义域都为R，且是减函数，是增函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．是增函数 B．是减函数
C．是增函数 D．是减函数


【变式5-3】（2022·浙江台州·统考模拟预测）（多选）已知定义在上的函数，满足：，，，则（ ）
A．函数一定为非奇非偶函数
B．函数可能为奇函数又是偶函数
C．当时，，则在上单调递增
D．当时，，则在上单调递减


【变式5-4】（2022秋·江苏常州·高三校考开学考试）已知定义在上的函数满足：①当时，，②对任意都有，③
（1）求的值.
（2）求证：对任意
（3）证明：在上是增函数.


【题型6 抽象函数的奇偶性问题】
【例6】（2022秋·上海普陀·高三统考期中）记，已知均是定义在实数集上的函数，设，有下列两个命题：
①若函数都是偶函数，则也是偶函数；
②若函数都是奇函数，则也是奇函数．
则关于两个命题判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误


【变式6-1】（2022秋·河北廊坊·高三统考开学考试）已知定义域为的函数满足：，，且，则下列结论错误的是（ ）
A． B．为偶函数 C．为奇函数 D．


【变式6-2】（2022春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知是奇函数，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．


【变式6-3】（2022秋·黑龙江牡丹江·高三校考阶段练习）定义在R上的连续函数满足对任意 ，，.
（1）证明：；
（2）请判断的奇偶性；
（3）若对于任意 ，不等式恒成立，求出m的最大值.


【变式6-4】（2021秋·山西太原·高三统考期中）已知函数对任意都有，且当时，.
（1）证明：为定义在上的单调递增奇函数；
（2）若，求的解集.


【6-5】（2021·全国·高三专题练习）已知函数对任意，，，且当时，，判断函数的单调性．


【题型7 抽象函数的周期性问题】
【例7】（2022秋·河南·高三信阳高中校联考期末）已知是定义在上的函数，且均不恒为为偶函数，.若对任意的，都有，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个周期为4 B．函数的一个周期为6
C．函数的一个周期为4 D．


【变式7-1】（2022·四川达州·统考一模）已知定义在 上的函数满足，当时，，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2


【变式7-2】（2022·四川宜宾·统考模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，，则（ ）
A． B． C． D．


【变式7-3】（2022秋·河南安阳·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．


【变式7-4】（2022秋·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）（多选）已知定义在上的函数与满足，则（ ）
A． B． C． D．


【变式7-5】（2022秋·上海黄浦·高三上海市光明中学校考期中）已知奇函数对任意都有，则______.


【变式7-6】（2022秋·江苏苏州·高三昆山震川高级中学校联考阶段练习）已知函数的定义域为，且，则 ＝（ ）
A．－3 B．－2 C．0 D．1


【变式7-7】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）已知函数的定义域为R，且，则______


【题型8 抽象函数的对称性问题】
【例8】（2022秋·四川成都·高三成都七中校考专题练习）已知函数的定义域均为为偶函数，且，，下列说法正确的有（ ）
A．函数的图象关于对称
B．函数的图象关于对称
C．函数是以4为周期的周期函数
D．函数是以6为周期的周期函数


【变式8-1】（2022秋·浙江·高三慈溪中学校联考期中）已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．


【变式8-2】（2022秋·河南开封·高三校考阶段练习）已知函数，都是定义域为R的函数，函数为奇函数，，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2


【变式8-3】（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足：．且当时，，则（ ）
A． B． C． D．


【变式8-4】（2022·浙江·模拟预测）（多选）已知函数，的定义域均为，且，.若的图象关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．


【变式8-6】（2022·上海·统考模拟预测）己知函数满足，若函数与图像的交点为，则________；



（建议用时：60分钟）
1．（2022秋·江西赣州·高三校联考期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知函数的定义域为,则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·山东济宁·高三校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，且的定义域为，，值域为，，设函数的定义域为､值域为，则（ ）
A． B．， C．， D．，
5．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，已知在上的值域为，则在R上的值域是（ ）
A．R B． C． D．
6．（2019·陕西安康·统考一模）已知偶函数对任意的都有，且，则（ ）
A．0 B．6 C．8 D．16
7．（2022秋·江苏扬州·高三统考开学考试）已知函数的定义域为R，且满足，又为偶函数，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，对任意的，都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．是以2为周期的偶函数 B．是以2为周期的奇函数
C．是以4为周期的偶函数 D．是以4为周期的奇函数
9．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，，对于任意的，，则（ ）
A．的图象过点和
B．在定义域上为奇函数
C．若当时，有，则当时，
D．若当时，有，则的解集为
10．（2022秋·重庆开州·高三临江中学校考开学考试）（多选）已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上是减函数
C．
D．不等式的解集为
11．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为R，对任意的，，恒有，则下列说法正确的有（ ）
A． B．必为奇函数
C． D．若，则
12．（2021秋·河南信阳·高三河南省信阳市第二高级中学阶段练习）若定义在R上的函数满足：①对于任意的，都有；②为奇函数.则函数的一个解析式可以是___________.
13．（2017秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）设是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，若函数的值域为，则函数的值域为________.
14．（2023·全国·高三专题练习）对任意实数，均满足且， 则_______.
15．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式：
（1）已知f(＋1)＝x＋2；
（2）若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1；
（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．






16．（2022秋·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时，f（x）<0恒成立.
（1）求f（0）；
（2）证明：函数y=f（x）是奇函数；
（3）证明：函数y=f（x）是R上的减函数.






17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的函数，且对任意，都有，，求.






18．（2022秋·山东枣庄·高三滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知定义在R上的函数满足：对任意都有，且当时，.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）判断函数的单调性，并证明；
（3）若对任意恒成立，求实数k的取值范围.