湖南省邵阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份湖南省邵阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共19页。试卷主要包含了在抛物线上等内容，欢迎下载使用。

湖南省邵阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．二元一次方程组的应用（共1小题）
1．（2021•邵阳）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史•感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品店购买了作为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．

请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
二．一元一次不等式的应用（共1小题）
2．（2023•邵阳）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元．
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？
三．二次函数综合题（共3小题）
3．（2022•邵阳）如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．

（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
4．（2021•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（4，1）．
（1）求抛物线C的对称轴．
（2）当a＝﹣1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1．
①求抛物线C1的解析式．
②设抛物线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接BC．点D为第一象限内抛物线C1上一动点，过点D作DE⊥OA于点E．设点D的横坐标为m．是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

5．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．
（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．
​

四．圆锥的计算（共1小题）
6．（2021•邵阳）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）

五．几何变换综合题（共1小题）
7．（2021•邵阳）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．

六．频数（率）分布直方图（共1小题）
8．（2023•邵阳）某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果为A（优）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．现从中随机抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出了如下频数分布图和如图所示的条形统计图（不完整）．请根据图表中的信息回答下列问题．
等级
频数
频率
A
a
0.2
B
1600
b
C
1400
0.35
D
200
0.05
（1）求频数分布表中a，b的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该市九年级学生约80000人，试估计该市有多少名九年级学生可以评为“A”级．

七．条形统计图（共1小题）
9．（2022•邵阳）2021年秋季，全国义务教育学校实现课后服务全覆盖．为了促进学生课后服务多样化，某校组织了第二课堂，分别设置了文艺类、体育类、阅读类、兴趣类四个社团（假设该校要求人人参与社团，每人只能选择一个）．为了了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查，并绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题．

（1）求抽取参加调查的学生人数．
（2）将以上两幅不完整的统计图补充完整．
（3）若该校有1600人参加社团活动，试估计该校报兴趣类社团的学生人数．


湖南省邵阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二元一次方程组的应用（共1小题）
1．（2021•邵阳）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史•感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品店购买了作为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．

请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本．
由题意得：，
解得：，
∴15×15＝225（元），35×5＝175（元），
答：钢笔购买了15支共225元，笔记本购买了35本共175元．
二．一元一次不等式的应用（共1小题）
2．（2023•邵阳）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元．
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？
【答案】（1）该公司销售一台甲型自行车的利润是150元，一台乙型自行车的利润是100元；
（2）最少需要购买甲型自行车10台．
【解答】解：（1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元，
由题意得：，
解得：，
答：该公司销售一台甲型自行车的利润是150元，一台乙型自行车的利润是100元；
（2）需要购买甲型自行车m台，则需要购买乙型自行车（20﹣m）台，
由题意得：500m+800（20﹣m）≤13000，
解得：m≥10，
答：最少需要购买甲型自行车10台．
三．二次函数综合题（共3小题）
3．（2022•邵阳）如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．

（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）（1，0）或（2，0）；（3）1．
【解答】解：在直线y＝2x+2中，
当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，x＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），
把点A（﹣1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）①当△AOB≌△DPC时，AO＝DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP＝OP＝AO＝1，
此时点P的坐标为（1，0），
②当△AOB≌△CPD时，OB＝DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP＝OP＝OB＝2，
此时点P的坐标为（2，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；
（3）如图，

点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，
∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，
由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），
∴CD′′的最小值为1．
4．（2021•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（4，1）．
（1）求抛物线C的对称轴．
（2）当a＝﹣1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1．
①求抛物线C1的解析式．
②设抛物线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接BC．点D为第一象限内抛物线C1上一动点，过点D作DE⊥OA于点E．设点D的横坐标为m．是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵点（1，1）和（4，1）的纵坐标相同，
故上述两点关于抛物线对称轴对称，
故抛物线的对称轴为直线x＝（1+4）＝；

（2）①由题意得：，解得，
故原抛物线的表达式为y＝﹣x2+5x﹣3；
由平移的性质得，平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x+2）2+5（x+2）﹣3﹣1＝﹣x2+x+2；

②存在，理由：
令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或2，令x＝0，则y＝2，
故点B、A的坐标分别为（﹣1，0）、（2，0），点C（0，2）；
∵tan∠BCO＝，
同理可得：tan∠CBO＝2，
当以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似时，
则tan∠DOE＝2或，
设点D的坐标为（m，﹣m2+m+2），
则tan∠DOE＝＝＝2或，
解得：m＝﹣2（舍去）或1或（舍去）或，
故m＝1或．
5．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．
（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．
​

【答案】（1）抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）△NED面积的最大值是7；
（3）R的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（，）．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+x+c 得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）联立，
解得或，
∴D（2+，﹣3﹣），E（2﹣，﹣3+），
∵点M为直线l上的一动点，横坐标为t，
∴M（t，﹣t﹣1），
∴N（t，﹣t2+t+4），
∴MN＝﹣t2+t+4﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+2t+5，
∴S△NED＝MN•|xD﹣xE|＝×（﹣t2+2t+5）×2＝﹣（t﹣2）2+7，
∵﹣＜0，0＜t＜4，
∴当t＝2时，S△NED取最大值7，
∴△NED面积的最大值是7；
（3）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），
设M（t，﹣t﹣1），R（m，n），
又B（4，0），
①当BC，MR为对角线时，BC，MR的中点重合，且BM＝CM，
∴，
解得，
∴R（，）；
②当BM，CR为对角线时，BM，CR的中点重合，且BC＝CM，
∴，
解得或，
∴R（，）或（，）；
③当BR，CM为对角线时，BR，CM的中点重合，且BC＝BM，
∴，
解得或，
∴R（，）或（，）；
综上所述，R的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（，）．
四．圆锥的计算（共1小题）
6．（2021•邵阳）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设∠BAC＝n°．
由题意得π•DE＝，AD＝2DE，
∴n＝90，
∴∠BAC＝90°．

（2）∵AD＝2DE＝10（cm），
∴S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝（100﹣25π）cm2．
五．几何变换综合题（共1小题）
7．（2021•邵阳）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）或．
【解答】解：（1）证明：∵PB'⊥AC，∠CAB＝90°，
∴PB'∥AB．
∴∠B'PA＝∠BAP，
又由折叠可知∠BAP＝∠B'AP，
∴∠B'PA＝∠B'AP．
故PB′＝AB′．
（2）设AB＝AC＝a，AC、PB'交于点D，如答图1所示，
则△ABC为等腰直角三角形，
∴BC＝，PC＝，PB＝，
由折叠可知，∠PB'A＝∠B＝45°，
又∠ACB＝45°，
∴∠PB'A＝∠ACB，
又∠CDP＝∠B'DA，
∴△CDP∽△B'DA．
∴＝＝．①
设B'D＝b，则CD＝b．
∴AD＝AC﹣CD＝a﹣b，
PD＝PB'﹣B'D＝PB﹣B'D＝﹣b，
由①＝得：＝．
解得：b＝．
过点D作DE⊥AB'于点E，则△B'DE为等腰直角三角形．
∴B'E＝sin45°×B'D＝＝＝，
∴AE＝AB'﹣B'E＝AB﹣B'E＝a﹣＝．
又AD＝AC﹣CD＝a﹣b＝a﹣＝．
∴cos∠B'AC＝cos∠EAD＝＝＝．
（3）存在点P，使得CB'＝AB＝m．理由如下：
∵∠ACB＝30°，∠CAB＝90°．
∴BC＝2m．
①如答图2所示，
由题意可知，点B'的运动轨迹为以A为圆心、AB为半径的半圆A．
当P为BC中点时，PC＝BP＝AP＝AB'＝m，
又∠B＝60°，
∴△PAB为等边三角形．
又由折叠可得四边形ABPB'为菱形．
∴PB'∥AB，
∴PB'⊥AC．
又∵AP＝AB'，
则易知AC为PB'的垂直平分线．
故CB'＝PC＝AB＝m，满足题意．
此时，＝＝．
②当点B'落在BC上时，如答图3所示，
此时CB'＝AB＝m，
则PB'＝＝，
∴PC＝CB'+PB'＝m+＝，
∴＝＝．
综上所述，的值为或．



六．频数（率）分布直方图（共1小题）
8．（2023•邵阳）某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果为A（优）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．现从中随机抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出了如下频数分布图和如图所示的条形统计图（不完整）．请根据图表中的信息回答下列问题．
等级
频数
频率
A
a
0.2
B
1600
b
C
1400
0.35
D
200
0.05
（1）求频数分布表中a，b的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该市九年级学生约80000人，试估计该市有多少名九年级学生可以评为“A”级．

【答案】（1）a＝800，b＝0.4；
（2）见解析；
（3）16000名，
【解答】解：（1）∵被调查的人数为200÷0.05＝4000（人），
∴a＝4000×0.2＝800，b＝＝0.4；
（2）如图：
；
（3）80000×0.2＝16000（名），
答：估计该市有16000名九年级学生可以评为“A”级．
七．条形统计图（共1小题）
9．（2022•邵阳）2021年秋季，全国义务教育学校实现课后服务全覆盖．为了促进学生课后服务多样化，某校组织了第二课堂，分别设置了文艺类、体育类、阅读类、兴趣类四个社团（假设该校要求人人参与社团，每人只能选择一个）．为了了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查，并绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题．

（1）求抽取参加调查的学生人数．
（2）将以上两幅不完整的统计图补充完整．
（3）若该校有1600人参加社团活动，试估计该校报兴趣类社团的学生人数．

【答案】（1）40人；
（2）见解答；
（3）200人．
【解答】解：（1）5÷12.5%＝40 （人），
答：此次共调查了40人；
（2）体育类有40×25%＝10（人），
文艺类社团的人数所占百分比：15÷40×100%＝37.5%，
阅读类社团的人数所占百分比：10÷40×100%＝25%，
将统计图补充完整如下：

（3）1600×12.5%＝200（人），
答：估计喜欢兴趣类社团的学生有200人．