2023新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式教师用书新人教A版必修第一册

2.1　等式性质与不等式性质

第1课时　不等关系与不等式

知识点1　基本事实

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)不等式a≥b等价于“a不小于b”． (　　)

(2)若x－2≤0，则x<2． (　　)

(3)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种． (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√

2．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为(　　)

A．T<40　　B．T>40　　C．T≤40　　D．T≥40

C　[限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40．故选C．]

知识点2　重要不等式

一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

3．若a，b∈R，且a2＋b2＝1，则ab的最大值为________，此时a＝________．

　　[∵a2＋b2≥2ab，∴ab≤＝，

当且仅当a＝b＝时等号成立．]

类型1　用不等式(组)表示不等关系

【例1】　京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h也不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．

[解]　设复兴号列车速度为v1，

民航飞机速度为v2，

普通客车速度为v3．

v1、v2的关系：2v1＋100≤v2，

v1、v3的关系：v1＞3v3．

利用不等式(组)表示不等关系的注意点

(1)在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示．

(2)在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．

 [跟进训练]

1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．

[解]　由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18，

这时菜园的另一条边长为＝(m)．

因此菜园面积S＝x·，

依题意有S≥216，即x≥216，

故该题中的不等关系可用不等式组表示为

类型2　比较两数(式)的大小

【例2】　(对接教材P38例题)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．

[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)

＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．

由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，

∴(3x2＋1)(x－1)≤0，

∴3x3≤3x2－x＋1．

比较两个代数式大小的步骤

(1)作差：对要比较大小的两个代数式作差．

(2)变形：对差进行变形．

(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．

(4)作出结论．

这种比较大小的方法称为作差法．其思维过程是作差→变形→判断差的符号→作出结论．

变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化．

[跟进训练]

2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．

[解]　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1

＝＋．

∵≥0，∴＋≥＞0．

∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，

∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2．

类型3　不等关系的实际应用

【例3】　某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．

先分别建立费用表达式，再思考如何借助基本事实比较两数大小．

[解]　设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，

则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝nx．

因为y1－y2＝x＋xn－nx

＝x－nx＝x，

当n＝5时，y1＝y2；

当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2．

因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．

解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后用作差法比较它们的大小即可．

[跟进训练]

3．甲打算从A地出发至B地，现有两种方案：第一种：在前一半路程用速度v1，在后一半路程用速度v2(v1≠v2)，平均速度为；第二种：在前一半时间用速度v1，在后一半时间用速度v2(v1≠v2)，平均速度为，则，的大小关系为(　　)

A．＞　　　　　 B．＜

C．＝ D．无法确定

B　[第一种方案：设总路程为2s，则

＝＝．

第二种方案：设时间为2t，则

＝＝，

－＝－

＝

＝＞0，

∴＞，故选B．]

1．某路段竖立的的警示牌是提示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为(　　)

A．v<60　　B．v>60　　C．v≤60　　D．v≥36

[答案]　C

2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是(　　 )

A．a－b＞0 B．a－b＜0

C．a－b≥0 D．a－b≤0

[答案]　C

3．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　)

A．v≤120 km/h且d≥10 m

B．v≤120 km/h或d≥10 m

C．v≤120 km/h

D．d≥10 m

A　[v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A．]

4．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．

4.5t<28 000　[由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000．]

5．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2．(填“>”或“<”)

>　[因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．作差法比较两个实数的大小的依据是什么？

[提示]　a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b．

2．作差法比较大小的一般步骤是什么？

[提示]　第一步：作差；

第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；

第三步：定号，就是确定差是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；

第四步：结论．