高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质导学案

4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

[教材要点]

要点一　正弦函数、余弦函数的基本性质

1．定义域：________.

2．最大(小)值：当α＝________(k∈Z)时，正弦函数v＝sin α取得最大值________；

当α＝________________时，正弦函数v＝sin α取得最小值________．

当α＝__________时，余弦函数u＝cos α取得最大值________；当α＝____________时，余弦函数取得最小值________．

3．值域：________.

4．周期性：对任意k∈Z，sin(α＋2kπ)＝________，α∈R；对任意k∈Z，cos(α＋2kπ)＝________，α∈R，最小正周期为________．

5．单调性：正弦函数在区间________________上单调递增，在区间________________上单调递减．

余弦函数在区间________________上单调递增，在区间________________上单调递减．

要点二　正弦函数值和余弦函数值的符号

　对三角函数值符号的理解

三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：

(1)正弦值符号取决于纵坐标y的符号；

(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若sin α>0，则α是第一或第二象限的角．(　　)

(2)正弦函数在第一象限是增函数．(　　)

(3)在区间[0,3π]上，函数y＝cos x仅在x＝0时取得最大值1.(　　)

(4)余弦函数y＝cos x在[0，π]上是减函数．(　　)

2．sin 780°的值为(　　)

A．－  B.

C．－  D.

3．函数y＝－sin x的值域是(　　)

A．[－1,1]  B.

C.  D.

4．若α是第三象限角，则点P(sin α，cos α)在第________象限．

题型一　正弦函数、余弦函数基本性质的应用——师生共研

可模仿y＝sin x的有关性质来研究．

例1　已知函数y＝－3sin x＋1.

(1)求函数的定义域、值域、周期、单调区间；

(2)求函数在区间上的最值．

变式探究　将本例中的“函数y＝－3sin x＋1”改为“函数y＝2cos x－4”，又如何呢？

方法归纳

对于形如y＝asin x＋b的函数性质的研究可借助y＝sin x的性质．要清楚a，b对函数y＝asin x＋b的影响，若参数不确定还要注意分类讨论．

题型二　2kπ＋α(k∈Z)的正弦、余弦公式的应用——自主完成

　求下列各式的值：

(1)sin 1 470°；

(2)cos；

(3)cos；

(4)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°.

方法归纳

要熟记公式sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，该公式可以将任意角的正、余弦值转化为0～2π或0°～360°内的角的正、余弦值，再通过特殊角的函数值求解．

题型三　正、余弦函数值的符号判断及应用——师生共研

例2　(1)如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限．那么角θ所在的象限是(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

(2)判断下列各式的符号：

①sin(－670°)cos 1 230°；②sin 8·cos 8.

方法归纳

一个角的正、余弦函数值的符号取决于这个角的终边所在的象限，可用口诀简记为“一全正，三全负，二正弦，四余弦”(即第一象限角的正、余弦值全为正值，第三象限角的正、余弦值全为负值，第二象限角的正弦值为正，第四象限角的余弦值为正．

跟踪训练　(1)[多选题]下列三角函数值的符号判断正确的是(　　)

A．sin 156°>0  B．cosπ<0

C．sin 2<0  D．cos 2<0

(2)已知角α的终边经过点P(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α<0，则a的取值范围是________．

4．2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

1．R

2．2kπ＋　1　2kπ－(k∈Z)　－1　2kπ(k∈Z)　1　(2k＋1)π(k∈Z)　－1

3．[－1,1]

4．sin α　cos α　2π

5.(k∈Z)　

(k∈Z)　[2kπ－π，2kπ](k∈Z)　[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)

[基础自测]

1．(1)×　若角α的终边落在y轴的非负半轴上，也有sin α>0，此时角α不是第一或第二象限角．

(2)×　(3)×　(4)√

2．解析：sin 780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin 60°＝，故选B.

答案：B

3．解析：因为－1≤sin x≤1，所以－≤－sin x≤，即值域为.故选D.

答案：D

4．解析：∵α为第三象限角，

∴sin α<0，cos α<0，

∴P(sin α，cos α)位于第三象限．

答案：三

题型探究·课堂解透

题型一

例1　解析：(1)由y＝sin x的性质可得y＝－3sin x＋1的性质如下：

定义域：R

值域：[－2,4]．

周期性：周期为2kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为2π.

单调性：由y＝sin x在区间(k∈Z)上是增加的，在(k∈Z)上是减少的，知y＝－3sin x＋1在区间(k∈Z)上是减少的，在区间(k∈Z)上是增加的．

(2)因为函数y＝sin x在上是增加的，在上是减少的，且sin＝－，sin＝，

y＝sin x在x＝－时取最小值－，在x＝时取最大值1.故y＝－3sin x＋1在上的最大值是－3×＋1＝；最小值是－3×1＋1＝－2.

变式探究　解析：(1)由y＝cos x的基本性质可知函数y＝2cos x－4的性质如下：

定义域：R

值域：[－6，－2]．

周期：周期为2kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为2π.

单调区间：由y＝cos x的单调性可知，y＝2cos x－4在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增的，在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减的．

(2)因为函数y＝cos x在上是递增的，在上是递减的，且cos＝－，所以y＝cos x在x＝时取最小值－，在x＝0时取最大值1，故y＝2cos x－4在上的最大值是－2，最小值是－5.

题型二

解析：(1)sin 1 470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin 30°＝；

(2)cos＝cos＝cos＝.

(3)cos＝cos＝cos＝－.

(4)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)

＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°

＝×＋×＝＋＝.

题型三

例2　解析：(1)因为点P位于第二象限，所以

从而有

所以角θ在第三象限，故选C.

(2)①因为－670°＝－2×360°＋50°，所以－670°角是第一象限角，则sin(－670°)>0.

又1 230°＝3×360°＋150°，

所以1 230°角是第二象限角，则cos 1 230°<0.

所以sin(－670°)cos 1 230°<0.

②因为2π＋π<8<2π＋π，

所以8 rad是第二象限角，

所以sin 8>0，cos 8<0，

故sin 8·cos 8<0.

答案：(1)C　(2)见解析

跟踪训练　解析：(1)∵156°为第二象限角，∴sin 156°>0，A正确；∵＝2π＋为第三象限角，∴cosπ<0，B正确；∵2 rad为第二象限角，∴sin 2>0，cos 2<0，C错误，D正确．故选A、B、D.

(2)∵sin α>0，cos α<0，∴角α的终边在第二象限，

∴解得－2<a<3.

答案：(1)ABD　(2)(－2,3)