高中数学4.4 诱导公式与旋转学案

4.4　诱导公式与旋转

[教材要点]

要点　±α与α的诱导公式

sin＝________，cos＝________.

sin＝________，cos＝________.

　(1)记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”．

(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．

(3)这八组诱导公式可归纳为“k·90 °±α(k∈Z)”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k为偶数时得角α的同名三角函数值，当k为奇数时得角α的异名三角函数值，然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号，可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)存在角α，使sin＝sin α.(　　)

(2)α＋可以看作角α的终边旋转了.(　　)

(3)对于α＋(n∈Z)的诱导公式，公式的等号两边三角函数名不同．(　　)

(4)在△ABC中，若A＋B＝，则均有sin A＝cos B，cos A＝sin B．(　　)

2．化简：sin＝(　　)

A．sin x　　　　　　　　　　B．cos x

C．－sin x  D．－cos x

3．已知sin θ＝，则cos(450°＋θ)的值是(　　)

A.　　　　B．－  C．－　 　 　D.

4．sin 95°＋cos 175°的值为________．

题型一　利用诱导公式求值——微点探究

微点1　给角求值

例1　求值：cossin＋sin·cos＝________.

微点2　给值求值

例2　已知sin(π＋α)＝，则cos的值为(　　)

A.  B．－

C.  D．－

方法归纳

利用诱导公式求值的两个关注点

(1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一．

(2)函数名称：对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名．

提醒：当角比较复杂时，要注意分析两个角之间是否具有互余、互补关系，或两个角的和、差为特殊角等，常见的如±α，＋α与－α的关系．

跟踪训练1　(1)cos等于(　　)

A.  B.

C．－  D．－

(2)已知sin(－α)＝，则cos的值为(　　)

A.  B．－

C.  D．－

题型二　利用诱导公式化简——师生共研

例3　化简：.

方法归纳

对于角α＋，其中n＝1,2,3,4，…，k(k∈Z)的诱导公式：当n取奇数时，公式的等号两边一个是正弦函数，另一个是余弦函数；当n取偶数时，公式的等号两边都是正弦函数或都是余弦函数，其符号由角所在的象限决定．

跟踪训练2　化简：·sin(α－2π)·cos(2π－α)．

题型三　诱导公式的综合应用——师生共研

例4　已知f(α)＝

(1)化简f(α)；

(2)若sin＝，求f(α)的值；

(3)若α＝－，求f(α)的值．

方法归纳

用诱导公式化简求值的方法

(1)对于三角函数式的化简求值问题，即用诱导公式化简变形，达到角的统一．

(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．

跟踪训练3　已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，求的值．

4．4　诱导公式与旋转

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点

cos α　sin α　cos α　－sin α

[基础自测]

1．(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

2．解析：sin＝sin＝sin＝cos x.

答案：B

3．解析：cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－.

答案：B

4．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos 5°－cos 5°＝0.

答案：0

题型探究·课堂解透

题型一

例1　解析：原式＝cossin＋sincos

＝·sin＋sincos

＝·cos＋·

＝×＋×

＝.

答案：

例2　解析：∵sin(π＋α)＝－sin α＝，∴sin α＝－，

∴cos＝－sin α＝－＝.

答案：A

跟踪训练1　解析：(1)cos＝cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.故选C.

(2)∵sin(－α)＝－sin α＝，∴sin α＝－，

∴cos＝－sin α＝－＝.故选A.

答案：(1)C　(2)A

题型二

例3　解析：原式＝

＝

＝1.

跟踪训练2　解析：原式＝·[－sin(2π－α)]·cos(－α)＝·sin α·cos α

＝sin2α.

题型三

例4　解析：(1)f(α)＝

＝＝－cos α.

(2)∵sin＝－sin

＝－sin

＝sin

＝cos α＝，

∴f(α)＝－cos α＝－.

(3)α＝－π时，f(α)＝－cos α＝－cos＝－cos＝－cos＝－.

跟踪训练3　解析：因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P，

所以a2＋＝1(a<0)，所以a＝－，所以sin α＝，cos α＝－，

所以原式＝＝－·＝×＝2.