数学必修 第二册4.3 诱导公式与对称学案

4.3　诱导公式与对称

[教材要点]

要点一　特殊角的终边的对称关系

1．角－α的终边与角α的终边关于________对称．

2．角α±π的终边与角α的终边关于________对称．

3．角π－α的终边与角α的终边关于________对称．

要点二　诱导公式

－α：sin(－α)＝________

cos(－α)＝________

α＋π：sin(α＋π)＝________

cos(α＋π)＝________

α－π：sin(α－π)＝________

cos(α－π)＝________

π－α：sin(π－α)＝________

cos(π－α)＝________

　①记忆方法：－α、α±π、π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”．

②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若α＋β＝π，则α与β的终边关于y轴对称．(　　)

(2)诱导公式中的角α一定是锐角．(　　)

(3)存在角α，使sin(π＋α)＝sin α，cos(π－α)＝cos α.(　　)

(4)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．(　　)

2．sin 600°的值是(　　)

A.  B．－

C.  D．－

3．若sin(π＋α)＝－，则sin(4π－α)的值是(　　)

A．－  B.

C．－  D.

4．已知cos(α－π)＝，则cos(π＋α)＝________.

题型一　利用诱导公式求值——微点探究

微点1　给角求值

例1　(1)sin·cos的值是(　　)

A．－  B.

C．－  D.

(2)sin2120°＋cos 180°－cos2(－330°)＋sin(－210°)＝________.

方法归纳

利用诱导公式解决给角求值问题的方法

(1)“负化正”，用－α的诱导公式；

(2)“大化小”，用2kπ＋α(k∈Z)的诱导公式将角化为0到2π间的角；

(3)“小化锐”用π±α的诱导公式将大于的角转化为锐角；

(4)“锐角求值”．微点2　给值求值

例2　(1)已知cos＝，则cos的值是________．

(2)设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a，b，α，β为非零常数．若f(2 019)＝1，则f(2 020)＝________.

方法归纳

解决条件求值问题的方法

(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

跟踪训练1　(1)cos 240°＝(　　)

A．－  B．－

C.  D.

(2)若sin＝，则sin＝________.

题型二　利用诱导公式化简——师生共研

例3　(1)化简＝(　　)

A．cos α  B．sin α

C．－sin α  D．－cos α

(2)化简：＝________.

方法归纳

三角函数式化简的关键是抓住2kπ＋α(k∈Z)，－α，α±π，π－α这几组的诱导公式，它们的特点都是同名间的关系，不同的是符号的变化．

跟踪训练2　(1)化简：1－cos(α－2π)cos(π＋α)－2cos2(－α)＝________.

(2)化简：＝________.

易错辨析　忽略讨论参数的取值致误

例4　化简(n∈Z)的结果为________．

解析：当n＝2k(k∈Z)时，

原式＝＝＝－sin α，

当n＝2k＋1(k∈Z)时

原式＝

＝＝sin α，

所以化简所得的结果为(－1)n＋1sin α(n∈Z)．

易错警示

4．3　诱导公式与对称

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

x轴　原点　y轴

要点二

－sin α　cos α　－sin α　－cos α　－sin α　－cos α　sin α　－cos α

[基础自测]

1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

2．解析：sin 600°＝sin(600°－720°)＝sin(－120°)＝－sin 120°＝－sin 60°＝－.

答案：D

3．解析：∵sin(π＋α)＝－，

∴sin α＝，sin(4π－α)＝－sin α＝－.

答案：A

4．解析：∵cos(α－π)＝－cos α＝，

∴cos(π＋α)＝－cos α＝.

答案：

题型探究·课堂解透

题型一

例1　解析：(1)sin·cos＝sin·cos＝·＝·＝.故选D.

(2)原式＝sin260°＋(－1)－cos230°＋sin 30°＝2＋(－1)－2＋＝－.

答案：(1)D　(2)－

例2　解析：(1)cos＝cos

＝－cos＝－.

(2)f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)＋2

＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2

＝－asin α－bcos β＋2＝1，

即asin α＋bcos β＝1.

∴f(2 020)＝asin(2 020π＋α)＋bcos(2 020π＋β)＋2＝asin α＋bcos β＋2＝3.

答案：(1)－　(2)3

跟踪训练1　解析：(1)cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.

(2)∵sin＝－sin＝，∴sin＝－，

∴sin＝sin＝sin＝－.

答案：(1)A　(2)－

题型二

例3　解析：(1)原式＝＝－cos α.故选D.

(2)原式＝＝＝－2.

答案：(1)D　(2)－2

跟踪训练2　解析：(1)原式＝1－cos α·(－cos α)－2cos2α＝1＋cos2α－2cos2α＝1－cos2α.

(2)原式＝＝＝2.

答案：(1)1－cos2α　(2)2