人教A版高中数学选择性必修第一册第3章测评习题含答案

这是一份人教A版高中数学选择性必修第一册第3章测评习题含答案，共17页。
第三章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点在直线y=2x-4上,则实数a的值为(　　)
A.8 B.-4
C.-8 D.-16
2.若双曲线x2a2-y24=1(a>0)的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则a=(　　)
A.233 B.433
C.32 D.3
3.[2023江苏徐州月考]已知点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足|PF1|+|PF2|=a+9a(a>0),则点P的轨迹为(　　)
A.椭圆 B.线段
C.椭圆或线段 D.不存在
4.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线(　　)
A.有且只有一条 B.有且只有两条
C.有且只有三条 D.有且只有四条
5.在△ABC中,点A(-5,0),B(5,0),点C在双曲线x216-y29=1上,则sinCsinA-sinB=(　　)
A.53 B.±53
C.±54 D.-54
6.已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,若以Fx为始边(即以F为起点,x轴正半轴为始边方向),FM为终边的角∠xFM=60°,则|FM|等于(　　)
A.2 B.433
C.23 D.4
7.[2023北京朝阳期末]在实际生活中,常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下:如图2,用一个与圆柱底面所成角为45°的平面截圆柱,将圆柱截成两段,再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆,若将圆柱被截开的一段(如图3)的侧面沿着圆柱的一条母线剪开,并展开成平面图形,则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象(如图4).记该正弦型函数的最小正周期为T,截口椭圆的离心率为e.若圆柱的底面直径为2,则(　　)

A.T=2π,e=12 B.T=2π,e=22
C.T=4π,e=12 D.T=4π,e=22
8.如图,椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e,F是Γ的右焦点,点P是Γ上第一象限内任意一点,且sin∠POF0),FQ·OP=0.若λ>e,则离心率e的取值范围是(　　)

A.0,62 B.63,1
C.22,1 D.0,22
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.以直线2x-y-1=0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程可以为(　　)
A.y2=2x
B.y2=-4x
C.x2=-4y
D.x2=-2y
10.已知椭圆C的对称中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,若椭圆C的长轴长为6,短轴长为4,则椭圆C的标准方程可能为(　　)
A.y29+x24=1 B.x29+y25=1
C.x29+y24=1 D.y29+x25=1
11.已知F是双曲线C:x2a2-y2a2=1(a>0)的右焦点,P是双曲线上任意一点,则∠POF的大小可能是(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.150°
12.某同学在研究一问题“设点A(-5,0),B(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-49,求点M的轨迹方程”时,将其中已知条件“斜率之积为-49”拓展为“斜率之积为常数k(k≠0)”之后,进行了探究.
则下列结论正确的有(　　)
A.当kb>0)的一个焦点为F1(0,1),离心率为22.

(1)求椭圆E的方程;
(2)过点F1作斜率为k的直线交椭圆E于A,B两点,AB的中点为M.设O为原点,射线OM交椭圆E于点C.当△ABC与△ABO的面积相等时,求k的值.

20.(12分)如图,把半椭圆Γ1:x2a2+y2b2=1(x≥0)与圆弧Γ2:(x-1)2+y2=a2(x0).

(1)若T是抛物线C的焦点,求直线l的方程;
(2)若|TE|2=|PA|·|PB|,求t的值.

22.(12分)已知椭圆Γ:x212+y28=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l交椭圆于A,B两点,交y轴于点P(0,t).
(1)若F1P⊥F2P,求t的值.
(2)若点A在第一象限,满足F1A·F2A=7,求t的值.
(3)在平面内是否存在定点Q,使得QA·QB是一个确定的常数?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

答案：
1.D　因为抛物线x2=ay(a≠0)的焦点F0,a4在直线y=2x-4上,所以a4=-4,即a=-16.
2.A　双曲线x2a2-y24=1(a>0)的渐近线方程为y=±2ax,即2x±ay=0.
因为双曲线x2a2-y24=1(a>0)的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,所以2a4+a2=1,解得a=233.
3.C　 ∵a+9a≥2×3=6=|F1F2|(a>0),当且仅当a=3时,等号成立,
∴当a+9a=6时,点P的轨迹为线段;
当a+9a>6时,由椭圆的定义得,点P的轨迹为椭圆.
故选C.
4.B　设该抛物线的焦点为F,A,B的横坐标分别为xA,xB,则|AB|=|AF|+|FB|=xA+p2+xB+p2=xA+xB+1=3>2p=2.
所以符合条件的直线有且只有两条.
5.C　由双曲线的方程x216-y29=1可得a2=16,b2=9,所以c2=a2+b2=25,
即焦点坐标恰好为点A,B的坐标,
所以|AB|=10,|BC|-|AC|=±2a=±8,
由正弦定理知sinCsinA-sinB=|AB||BC|-|CA|=10±8=±54.
6.D　如图所示,由题意得焦点F(1,0),准线方程为x=-1,

设点M的坐标为y24,y,
∵∠xFM=60°,
∴y24>1,
∴|y|=3y24-1,
整理得3y2-4|y|-43=0,
解得|y|=23(负值舍去).
又∠xFM=60°,
∴|FM|=23sin60°=4.
7.B　由圆柱的底面直径为2,
得圆柱的底面周长为2π,
则该正弦型函数的最小正周期T=2π.
由已知可得截口椭圆的短轴长2b=2,
截口椭圆的长轴长2a=2cos45°=22,
即a=2,b=1,
则c=a2-b2=1,
即截口椭圆的离心率e=ca=12=22.故选B.
8.B　因为点P是Γ上第一象限内任意一点,所以∠POF为锐角.
又sin∠POF