人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用第2课时课后练习题

第一章第2课时　空间中直线、平面的垂直

A级  必备知识基础练

1.已知直线l的方向向量为a=(1,1,2),平面α的法向量为n=(2,2,4),则(　　)

A.l∥α B.l⊥α

C.l⊂α D.l与α相交

2.[2023湖南永兴高二阶段练习]已知m=(-2,2,5),n=(3,-2,2)分别是平面α,β的法向量,则平面α,β的位置关系为(　　)

A.平行 B.垂直

C.相交但不垂直 D.重合

3.已知直线l的一个方向向量a=(1,2,m),平面α的一个法向量n=(-1,-2,3),若l⊥α,则m=(　　)

A.-3 B.-1

C.0 D.1

4.若空间两直线l1与l2的方向向量分别为a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3),则两直线l1与l2垂直的充要条件为(　　)

A.a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)

B.存在实数k,使得a=kb

C.a1b1+a2b2+a3b3=0

D.a·b=±|a||b|

5.(多选题)[2023广东饶平高二开学考试]已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法正确的是(　　)

A.AB⊥AC

B.与同向的单位向量是,0

C.夹角的余弦值是

D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)

6.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,若=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则下列结论正确的有(　　)

A.AP⊥AB

B.AP⊥AD

C.是平面ABCD的一个法向量

D.

7.已知三个互不相同的平面α,β,γ的法向量依次是m=(2,-4,6),n=(-1,2,-3),k=(-1,4,3),则α,β两个平面的位置关系是　　　　　,α,γ两个平面的位置关系是　　　　　,γ,β两个平面的位置关系是　　　　　. 

8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为棱C1D1的中点,M为棱BC的中点,则直线AM与PM的位置关系是　　　　　. 

B级  关键能力提升练

9.(多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=,点P是线段A1C上的动点,则下列结论正确的是(　　)

A.当=2时,B,P,D1三点共线

B.当时,

C.当=3时,D1P∥平面BDC1

D.当=5时,A1C⊥平面D1AP

10.如图,在三棱柱 ABC -A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在B1P上,则下列结论正确的是(　　)

A.当Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BD

B.当Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BD

C.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BD

D.不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD

11.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,P是AA1的中点,点M在侧面AA1B1B(含边界)内,若D1M⊥CP,则△BCM面积的最小值为　　　　　. 

12.[2023河北石家庄高二阶段练习]在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.

(1)求EF的长;

(2)证明:EF⊥平面A1CD.

13. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是棱AB,PB的中点.

(1)求证:EF⊥CD;

(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB.

参考答案

第2课时　空间中直线、平面的垂直

1.B　因为n=(2,2,4),a=(1,1,2),故可得n=2a,即n∥a,则直线l⊥α.故选B.

2.B　因为m=(-2,2,5),n=(3,-2,2),所以m·n=-2×3+2×(-2)+5×2=0,故m⊥n,所以α⊥β.故选B.

3.A　∵l⊥α,∴a∥n,则=-1,∴m=-3.故选A.

4.C　由l1⊥l2可得a⊥b,则a·b=0,即a1b1+a2b2+a3b3=0.

同理,由a1b1+a2b2+a3b3=0可得a·b=0,进一步可得l1⊥l2,所以a⊥b,所以a1b1+a2b2+a3b3=0是l1⊥l2的充要条件,C正确.故选C.

5.ABD　空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),

对于A,=(2,1,0),=(-1,2,1),∴=2×(-1)+1×2+0×1=0,∴,即AB⊥AC,故A正确;

对于B,=(2,1,0),=,0,故B正确;

对于C,=(2,1,0),=(-3,1,1),

∴夹角的余弦值cos<>==-,故C错误;

对于D,设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则取x=1,则y=-2,z=5,得n=(1,-2,5),故D正确.故选ABD.

6.ABC　∵=-2-2+4=0,∴,

∴AP⊥AB,故A正确;

∵=-4+4+0=0,

∴,∴AP⊥AD,故B正确;

∵AP⊥AB,AP⊥AD,AB∩AD=A,∴AP⊥平面ABCD,

∴是平面ABCD的一个法向量,故C正确;

=(2,3,4),设=λ,

即方程组无解,故D错误.故选ABC.

7.α∥β　α⊥γ　β⊥γ　三个互不相同的平面α,β,γ的法向量依次是m=(2,-4,6),n=(-1,2,-3),k=(-1,4,3),

所以m=-2n,即m∥n,所以α∥β.又m·k=(2,-4,6)·(-1,4,3)=-2-16+18=0,则m⊥k,所以α⊥γ.

同理,n·k=(-1,2,-3)·(-1,4,3)=1+8-9=0,则n⊥k,所以β⊥γ.

8.PM⊥AM　以D点为原点,所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.可得D(0,0,0),P(0,1,),C(0,2,0),A(2,0,0),M(,2,0),

∴=(,1,-),=(-,2,0).

=(,1,-)·(-,2,0)=-+1×2+0×(-)=0,即,可得AM⊥PM.

9.ACD　如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

令AB=,则AD=AA1=1,则D(0,0,0),C(0,,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,,0),C1(0,,1),则=(1,0,0),=(0,0,1).

设=k=(-1,,-1),则=-,-,可得=1-,-,=-,1-.

对于A,当=2时,则点P为对角线A1C的中点,

根据长方体性质可得B,P,D1三点共线,故A正确;

对于B,当时,-1=0,解得k=5,

所以=-,=,-,则=-·,-=-≠0,

因此不垂直,故B错误;

对于C,当=3时,=,-.

设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),

因为=(1,,0),=(0,,1),

所以

当y=-1时,x=,z=,故n=(,-1,),

所以n·=0,所以n⊥.

又D1P⊄平面BDC1,所以D1P∥平面BDC1,故C正确;

对于D,当=5时,可得=-,=(1,0,-1).

设平面D1AP的法向量为m=(a,b,c),

则

取a=-1,则b=,c=-1,所以m=(-1,,-1),

而=(-1,,-1),所以∥m,所以A1C⊥平面D1AP,故D正确.故选ACD.

10.D　以点A1为坐标原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),D,P(0,2,0),

则=(1,0,1),=(-1,2,0),.

设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),

则取z=-2,则x=2,y=1,

所以平面A1BD的一个法向量为n=(2,1,-2).

假设DQ⊥平面A1BD,且=λ=λ(-1,2,0)=(-λ,2λ,0),则.

因为也是平面A1BD的一个法向量,

所以n=(2,1,-2)与=1-λ,-1+2λ,-共线,

则成立,

所以但此关于λ的方程组无解.

故不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD.故选D.

11.　以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图.

则P(4,0,2),C(0,4,0),D1(0,0,4),B(4,4,0).设M(4,a,b)(0≤a≤4,0≤b≤4),则=(4,a,b-4),=(4,-4,2).

∵D1M⊥CP,∴=16-4a+2b-8=0,得b=2a-4,∴M(4,a,2a-4),

∴|BM|=

=,

当a=时,|BM|取最小值,

易知|BC|=4,∴S△BCM的最小值为×4×.

12.(1)解以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),D(0,0,0).

∵E,F分别为AB,A1C的中点,∴E(2,1,0),F(1,1,1),则=(-1,0,1),∴||=,即EF的长为.

(2)证明由(1)可得=(0,-2,0),=(-2,0,-2).

∵=0,=0,∴EF⊥CD,EF⊥A1D.

又CD∩A1D=D,CD,A1D⊂平面A1CD,∴EF⊥平面A1CD.

13.(1)证明因为PD⊥底面ABCD,DA⊂平面ABCD,DC⊂平面ABCD,所以PD⊥DA,PD⊥DC.

又底面ABCD为正方形,所以DA⊥DC.

以D为原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Ea,,0,P(0,0,a),F,

所以=-,0,,=(0,a,0),

所以=0,所以,即EF⊥CD.

(2)解设G(x,0,z),x∈[0,a],z∈[0,a],则=x-,-,z-,=(a,0,0),=(0,-a,a),

若使GF⊥平面PCB,则需=0,且=0,

由=x-,-,z-·(a,0,0)=ax-=0,解得x=.

由=x-,-,z-·(0,-a,a)=+az-=0,解得z=0.

所以G点坐标为,0,0,即G为棱AD的中点.