人教A版高中数学必修第一册第1章集合与常用逻辑用语测评习题含答案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第1章集合与常用逻辑用语测评习题含答案，共9页。
第一章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.给出下列四个关系式:①∈R;②Z∈Q;③0∈⌀;④⌀⊆{0},其中正确的个数是(　　)A.1 B.2 C.3 D.42.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有(　　)A.2个 B.4个 C.6个 D.8个3.[2023广西南宁月考]设集合A={x∈N|0≤x≤9},B={-1,2,3,6,9,10},则∁A(A∩B)=(　　)A.{0,1,4,5,7,8} B.{1,4,5,7,8}C.{2,3,6,9} D.⌀4.[2023河南郑州期末]已知A⫋B⊆R,则(　　)A.A∪B=R  B.(∁RA)∪B=RC.(∁RA)∩(∁RB)=⌀ D.A∪(∁RB)=R5.[2023山东青岛模拟]若命题“∀x∈R,ax2+1≥0”为真命题,则实数a的取值范围为(　　)A.{a|a>0} B.{a|a≥0} C.{a|a≤0} D.{a|a≤1}6.已知命题p:∀x∈R,≤1,则(　　)A.¬p:∃x∈R,≥1B.¬p:∀x∈R,≥1C.¬p:∃x∈R,>1D.¬p:∀x∈R,>17.满足“a∈A,且8-a∈A,a∈N”的有且只有2个元素的集合A的个数是(　　)A.5 B.2 C.3 D.48.[2023河南开封模拟]下列说法正确的是(　　)A.“a>1”是“<1”的必要不充分条件B.命题“∃x∈R,x2+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+1>0”C.∀x∈R,2x<x2D.“a>1,b>1”是“ab>1”成立的充分不必要条件二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.对任意实数a,b,c,在下列命题中,假命题是(　　)A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件10.已知全集U=R,集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k∈N*}之间关系的Venn图如图所示,则阴影部分表示的集合中的元素有(　　)A.-1 B.0 C.1 D.311.设集合A={x|a-1<x<a+1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R},则下列选项中,满足A∩B=⌀的实数a的取值范围可以是(　　)A.{a|0≤a≤6} B.{a|a≤2或a≥4}C.{a|a≤0} D.{a|a≥8}12.设全集为U,在下列选项中,是B⊆A的充要条件的有(　　)A.A∪B=B B.(∁UA)∩B=⌀C.(∁UA)⊆(∁UB) D.A∪(∁UB)=U三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.命题:存在一个实数对(x,y),使2x+3y+3<0成立的否定是　　　　　　　. 14.若全集U={n|n是小于9的正整数},A={n∈U|n是奇数},B={n∈U|n是3的倍数},则(∁UA)∩B=　　　　　,∁U(A∪B)= 　　　　　　　. 15.设集合S={x|x>5或x<-1},T={x|a<x<a+8},S∪T=R,则a的取值范围是　　　　　.16.[2023陕西西安期末]定义:实数a,b,c,若满足a+c=2b,则称a,b,c是等差的;若满足,则称a,b,c是调和的.已知集合M={x||x|≤2 023,x∈Z},集合P是集合M的三元子集,即P={a,b,c}⊆M,若集合P中的元素a,b,c既是等差的,又是调和的,称集合P为“好集”,则集合P为“好集”的个数是　　　　　. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知集合A={x|-4≤x≤-2},集合B={x|x+3≥0}.求:(1)A∩B;(2)A∪B;(3)∁R(A∩B). 18.(12分)写出下列命题的否定,并判断其真假性.(1)∀x∈Z,|x|∈N;(2)每一个平行四边形都是中心对称图形;(3)有些三角形是直角三角形;(4)∃x∈R,x+1≤0;(5)∃x∈R,x2+2x+3=0. 19.(12分)已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求符合下列条件的a的值.(1)9∈(A∩B);(2){9}=A∩B. 20.(12分)[2023重庆开州期末]已知集合A={x|m-1≤x≤m},B={x|-1≤x≤2}.在①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件;②A∪B=B;③A∩B=⌀这三个条件中任选一个,补充到本题第(2)问的横线处,求解下列问题:(1)当m=1时,求A∪B;(2)若选　　　　　,求实数m的取值范围. (注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分) 21.(12分)求证:-<m<0是方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根的充要条件. 22.(12分)设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0},(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围. 答案：1.B　①④正确;对于②,Z与Q的关系是集合间的包含关系,不是元素与集合的关系;对于③,⌀是不含任何元素的集合,故③错误,故选B.2.B　易知P=M∩N={1,3},P中有2个元素,故P的子集共有22=4个.3.A　集合A={x∈N|0≤x≤9}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},B={-1,2,3,6,9,10},∴A∩B={2,3,6,9},则∁A(A∩B)={0,1,4,5,7,8}.4.B　∵A⫋B⊆R,∴A∪B=B,故A错误;(∁RA)∪B=R,故B正确;(∁RA)∩(∁RB)=∁RB,故C错误;A∪(∁RB)=∁R(B∩∁RA),故D错误.5.B　由题知,命题“∀x∈R,ax2+1≥0为真命题”,即不等式ax2+1≥0恒成立,当a=0时,不等式为1≥0,恒成立.当a≠0时,有解得a>0.综上,a≥0.6.C　根据全称量词命题的否定方法得,¬p:∃x∈R,>1.故选C.7.D　由题意可知,满足题设条件的集合A有{0,8},{1,7},{2,6},{3,5},共4个.8.D　若“<1”成立,则“a>1”或“a<0”,故“a>1”是“<1”的充分不必要条件,故A错误;命题“∃x∈R,x2+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+1≥0”,故B错误;当x=时,2x=1,x2=,2x>x2,所以∀x∈R,2x<x2不正确,故C错误;由“a>1,b>1”可得到“ab>1”,但由“ab>1”不一定能推出“a>1,b>1”,如a=b=-2.所以“a>1,b>1”是“ab>1”成立的充分不必要条件,故D正确.9.ACD　当c<0时,“ac>bc”既不是“a>b”的必要条件,也不是充分条件,故A,C为假命题.a=b⇒a-b=0⇒(a-b)c=0⇒ac=bc,∴“ac=bc”是“a=b”的必要条件,即B为真命题,易知D为假命题.10.CD　∵M={x|-1≤x≤3},N={x|x=2k-1,k∈N*},∴M∩N={1,3},故选CD.11.CD　因为A∩B=⌀,所以a+1≤1或a-1≥5,即{a|a≤0或a≥6},故选CD.12.BCD13.对任意实数对(x,y),2x+3y+3≥0恒成立14.{6}　{2,4,8}　由题得,U={1,2,3,4,5,6,7,8},则A={1,3,5,7},B={3,6},所以∁UA={2,4,6,8},A∪B={1,3,5,6,7},所以(∁UA)∩B={6},∁U(A∪B)={2,4,8}.15.{a|-3<a<-1}　借助数轴可知∴-3<a<-1.16.1 010　由“好集”的定义得a+c=2b且,则,化简得(a-b)(a+2b)=0,解得a=-2b或a=b.由P={a,b,c}⊆M得a≠b,故a=-2b,c=4b,∴P={-2b,b,4b}⊆M,且b≠0.∵|4b|>|-2b|>|b|,∴|4b|≤2 023且b∈Z,解得b∈-505,505.故集合P为“好集”的个数为2×505=1 010.17.解由已知得B={x|x≥-3},(1)A∩B={x|-3≤x≤-2}.(2)A∪B={x|x≥-4}.(3)∁R(A∩B)={x|x<-3或x>-2}.18.解(1)∃x∈Z,|x|∉N,假命题.(2)有些平行四边形不是中心对称图形,假命题.(3)所有三角形都不是直角三角形,假命题.(4)∀x∈R,x+1>0,假命题.(5)∀x∈R,x2+2x+3≠0,真命题.19.解(1)因为9∈(A∩B),所以9∈B且9∈A,所以2a-1=9或a2=9,所以a=5或a=3或a=-3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9};当a=3时,a-5=1-a=-2,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},所以a=5或a=-3.(2)由(1)可知,当a=5时,A∩B={-4,9},不符合题意,当a=-3时,A∩B={9},所以a=-3.20.解(1)当m=1时,集合A={x|0≤x≤1},B={x|-1≤x≤2},所以A∪B={x|-1≤x≤2}.(2)选择①:因为①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A⫋B.因为A={x|m-1≤x≤m},所以A≠⌀,又因为B={x|-1≤x≤2},所以(等号不同时成立),解得0≤m≤2,因此实数m的取值范围是[0,2].选择②:因为A∪B=B,所以A⊆B.因为A={x|m-1≤x≤m},所以A≠⌀.又因为B={x|-1≤x≤2},所以解得0≤m≤2,因此实数m的取值范围是[0,2].选择③:因为A∩B=⌀,而A={x|m-1≤x≤m},且A≠⌀,B={x|-1≤x≤2},所以m-1>2或m<-1,解得m>3或m<-1.所以实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).21.证明(1)充分性:∵-<m<0,∴方程x2-2x-3m=0的判别式Δ=4+12m>0.∴方程x2-2x-3m=0有两个不相等的实根.设两根为x1,x2,当-<m<0时,x1+x2=2,x1x2=-3m>0,∴方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根.(2)必要性:若方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根,设两根为x1,x2,则有解得-<m<0.综上可知,-<m<0是方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根的充要条件.22.解(1)由题得A={1,2}.∵A∩B={2},∴2∈B,代入B中方程,得a2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3.当a=-1时,B={-2,2},满足条件;当a=-3时,B={2},也满足条件.综上可知,实数a的值为-1或-3.(2)∵A∪B=A,∴B⊆A.①当Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3)<0,即a<-3时,B=⌀满足条件;②当Δ=0,即a=-3时,B={2},满足条件;③当Δ>0,即a>-3时,B=A={1,2}才能满足条件,经检验不可能成立.综上可知,a的取值范围是{a|a≤-3}.