2024全国一轮数学（基础版）第29讲 等差数列及其前n项和课件PPT

这是一份2024全国一轮数学（基础版）第29讲 等差数列及其前n项和课件PPT，共37页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，激活思维，基础回归，第2项，同一个常数，an＋1－an＝d，a1＋n－1d，研题型·融会贯通，举题说法，例32等内容，欢迎下载使用。

1. (人A选必二P15例2改)等差数列－5，－9，－13，…的第100项是(　 　)A. －393 B. －397 C. －401 D. －405
【解析】 由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5－4(n－1)＝－4n－1，所以a100＝－4×100－1＝－401.
2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7＝5，S9＝27，则a20等于(　 　)A. 17 B. 18 C. 19　 D. 20
4. (人A选必二P15第4题改)(多选)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则(　　　　)A. a6＝10 B. 公差d＝2C. an＝2n D. S10＝90
【解析】 设等差数列{an}的公差为d，因为a4＋a8＝2a6＝20，所以a6＝10，所以A正确；因为d＝a7－a6＝12－10＝2，所以B正确；由a7＝a1＋6d＝a1＋6×2＝12，得a1＝0，an＝a1＋(n－1)d＝0＋(n－1)×2＝2(n－1)，所以C错误；
5. (多选)已知等差数列{an}中，|a4|＝|a10|，公差d<0，则使其前n项和Sn取得最大值的自然数n的值是(　　　)A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【解析】 因为d<0，则数列{an}为递减数列，由|a4|＝|a10|可得a4＝－a10，则a4＋a10＝2a7＝0，所以a1＋6d＝0，则a1＝－6d，
1. 等差数列的有关概念(1) 定义：如果一个数列从__________起，每一项与它的前一项的差都等于______________，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为__________________ (n∈N*，d为常数)． (2) 等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是_____________，其中A叫做a，b的等差中项．
2. 等差数列的有关公式(1) 通项公式：an＝________________； (2) 前n项和公式：Sn＝________________＝____________.3. 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1) 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d (n，m∈N*)；(2) 若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an；(3) 若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d；(4) 若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列；(5) 数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
例1　(1) (2022·深圳一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝3，S5＝25，则数列{an}的公差d＝______.
【解答】 设等差数列{an}的公差为d，根据等差中项的性质可得a2与a8的等差中项为a5，所以a5＝8.又因为a3a7＝28，即(a5－2d)(a5＋2d)＝28，所以d2＝9，d＝±3.因为公差为正数，所以d＝3，则a5＝a1＋4d＝8，解得a1＝－4，所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝－4＋3(n－1)＝3n－7(n∈N*)．
(2) (2022·日照二模)已知等差数列{an}的公差为正数，a2与a8的等差中项为8，且a3a7＝28.①求{an}的通项公式；
【解答】 结合①可知b1＝a3＝2，b2＝a6＝11，b3＝a9＝20，…，bn＝a3n＝9n－7(n∈N*)．令938＝9n－7，即n＝105∈N*，符合题意，即b105＝938，所以938是数列{bn}中的项．
②从{an}中依次取出第3项，第6项，第9项，…，第3n项，按照原来的顺序组成一个新数列{bn}，判断938是不是数列{bn}中的项，并说明理由．
(1) 等差数列基本量问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解；(2) 等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
　　　(1) (2022·泰安期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S10＝100，则a7＝________.
(2) 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a3＝10，S8＝0.①求{an}的通项公式；
②求Sn，并求Sn的最大值．
证明数列为等差数列的方法中最常用的有两种，一是定义法，二是等差中项法．
例3　(1) (2022·广州二模)已知数列{an}是等差数列，且a2＋a5＋a8＝π，则tan(a1＋a9)等于(　 　)
(2) (2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　 　)A. 3 699块B. 3 474块C. 3 402块D. 3 339块
【解析】 设第n环天心石块数为an，第一层共有n环，则{an}是以9为首项，9为公差的等差数列，an＝9＋(n－1)×9＝9n.
A. 2 023 B. －2 023 C. －2 024 D. 2 024
2. (2022·漳州二模)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，a2＝2，a3＝3，记bn＝an＋an＋1＋an＋2且bn＋1－bn＝2，则S31等于(　 　)A. 171 B. 278 C. 351 D. 395
【解析】 由bn＋1－bn＝2，bn＋1－bn＝an＋1＋an＋2＋an＋3－(an＋an＋1＋an＋2)＝　an＋3－an＝2，可知a1，a4，a7，…是首项为1，公差为2的等差数列，a2，a5，a8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a3，a6，a9，…是首项为3，公差为2的等差数列，
1. 已知数列{an}是等差数列，若a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝3，则a7＋a8＋a9等于(　 　)A. 5 B. 4 C. 9 D. 7
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【解析】 设等差数列{an}的公差为d，则a4＋a5＋a6＝a1＋a2＋a3＋9d＝3,9d＝2，故a7＋a8＋a9＝a4＋a5＋a6＋9d＝5.
2. 若数列{an}满足am＋n＝am＋an(m，n∈N*)，a1＝1，则a20＋a22＋a24＋…＋a40等于(　 　)A. 300 B. 330 C. 630 D. 600
【解析】 若数列{an}满足am＋n＝am＋an(m，n∈N*)，则当m＝1时，an＋1－an＝1，于是得数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
3. (多选)下列关于等差数列的选项中正确的是(　　　　)A. 若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列B. 若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列C. 若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列
【解析】 对于A，取a＝1，b＝2，c＝3⇒a2＝1，b2＝4，c2＝9，可判断A错误；对于B，a＝b＝c⇒2a＝2b＝2c，可判断B正确；对于C，因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b，所以(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，故C正确；
【解析】 在等差数列{an}中，2a5＝a4＋a6，因为a4＝2a5，所以a6＝0.
5. 已知数列{an}为递增数列，前n项和Sn＝n2＋n＋λ，则实数λ的取值范围是(　 　)A. (－∞，2] B. (－∞，2) C. (－∞，0] D. (－∞，0)
【解析】 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋λ－[(n－1)2＋(n－1)＋λ]＝2n，故可知当n≥2时，{an}递增，故{an}为递增数列只需满足a2>a1，即4>2＋λ⇒λ<2.