2025高考数学一轮复习-6.2-等差数列及其前n项和【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-6.2-等差数列及其前n项和【课件】，共58页。PPT课件主要包含了知识诊断基础夯实，等差数列的概念，同一个常数，a＋b，a1＋n－1d，等差数列的性质，n－md，常用结论，ABD，考点突破题型剖析等内容，欢迎下载使用。

ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于____________，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时____叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝________.
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝____________________.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式的推广：an＝am＋______________ (n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则_______________.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为______的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
ak＋al＝am＋an
1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).
解析　(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.(4)若公差d＝0，则前n项和不是n的二次函数.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有 2an＋1＝an＋an＋2.(　　)(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　)(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.(　　)
解析　等差数列{an}中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则d＝15－5＝10，因此a5＋a6＝(a3＋a4)＋d＝15＋10＝25.
2.在等差数列{an}中，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则a5＋a6＝(　　)A.10 B.20 C.25 D.30
解析　由等差数列性质可得a1＋a5＝2a3，a3＋a6＋a9＝3a6，所以3×2a3＋2×3a6＝18，即a3＋a6＝3，
4.已知{an}是等差数列，满足3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，则该数列的前8项和为(　　)A.36 B.24 C.16 D.12
解析　S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0，则a9＜0，又a6＋a8＝a5＋a9＝2a7＝0，∴S5＞S9，由a7＝0，a6＞0知S6，S7是Sn中的最大值.从而ABD均正确.
5.(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是(　　 )A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6与S7均为Sn的最大值
解析　设物体经过t秒降落到地面.物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.
6.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过________秒落到地面.
即4.90t2＝1 960，解得t＝20.
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
解析　设等差数列{an}的公差为d，则3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，
1.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)A.－12 B.－10 C.10 D.12
∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
解析　∵S8＝a8＝8，∴a1＋a2＋…＋a8＝a8，∴S7＝7a4＝0，则a4＝0.
解析　设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2×(－2)＋6d＝2.解得d＝1.
3.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________.
数列{3n－2}的各项为1，4，7，10，13，….现观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则an＝1＋6(n－1)＝6n－5.
4.将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为__________.
法二(引入参变量法)　令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数.令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1，2，3，…).at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.以下同法一.
解　①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
因为数列{an}的各项均为正数，
设数列{an}的公差为d，
所以n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以an＝2d2n－d2，所以an＋1－an＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{an}是等差数列.
证明　因为bn是数列{Sn}的前n项积，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，
(2)求{an}的通项公式.
角度1　等差数列项的性质
解析　∵a6＋a4＝2a5，∴a5＝4，
例2 (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于(　　)A.72 B.36 C.18 D.9
解析　由等差数列的性质知a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，则2a1·aa2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，所以lg2(2a1·2a2·…·2a10)＝lg225×4＝20.
(2)在等差数列{an}中，若a5＋a6＝4，则lg2(2a1·2a2·…·2a10)＝(　　)A.10 B.20 C.40 D.2＋lg25
解析　在等差数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.
例3 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于(　　)A.35 B.42 C.49 D.63
角度2　等差数列前n项和的性质
(2)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)A.3 699块 B.3 474块C.3 402块 D.3 339块
解析　设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成公差d＝9，a1＝9的等差数列.由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，
解　法一　设公差为d.
例4 等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？
角度3　等差数列前n项和的最值
故当n＝7时，Sn最大.
法二　易知Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数，
法四　设公差为d.由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，Sn最大.
解析　由题知a2＋a8＋a11＝a1＋d＋a1＋7d＋a1＋10d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，
训练2 (1)(多选)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数也为定值的是(　　)A.a7 B.a8 C.S13 D.S15
∴S2 023＝2 023×2＝4 046，故选C.
把a1＝1代入求得d＝2，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
解析　设数列{an}的公差为d，依题意得
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
解析　设公差为d，由已知得
a5＝a1＋4d＝5，①a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②
2.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是(　 　)A.a2＋a3＝0 B.an＝2n－5 C.Sn＝n(n－4) D.d＝－2
∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；
解析　数列{an}满足5an＋1＝25·5an，∴an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2，∴数列{an}是等差数列，公差为2.∵a2＋a4＋a6＝9，∴3a4＝9，a4＝3.∴a1＋3×2＝3，解得a1＝－3.∴a5＋a7＋a9＝3a7＝3×(－3＋6×2)＝27，
解析　令m＝1，由am＋n＝am＋an可得an＋1＝a1＋an，所以an＋1－an＝3，所以{an}是首项为a1＝3，公差为3的等差数列，an＝3＋3(n－1)＝3n，
4.在数列{an}中，a1＝3，am＋n＝am＋an(m，n∈N*)，若a1＋a2＋a3＋…＋ak＝135，则k＝(　　)A.10 B.9 C.8 D.7
整理可得k2＋k－90＝0，解得k＝9或k＝－10(舍).
解析　若{bn}是等差数列，则根据等差数列求和公式知需b1＋bn＝kn，k∈R，则{bn}为“吉祥数列”，检验A，C可知C符合题意；
根据等比数列求和公式知D不符合题意.故选BC.
解析　在等差数列中，S6，S12－S6，S18－S12成等差数列，∵S6＝1，S12＝4，∴1，3，S18－4成公差为2的等差数列，即S18－4＝5，∴S18＝9.
6.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S6＝1，S12＝4，则S18＝________.
又S12＞0，所以使不等式Sn＜0成立的最小整数n＝13.
8.设Sn为等差数列{an}的前n项和，a6＋a7＝1，则S12＝________，若a7＜0，则使得不等式Sn＜0成立的最小整数n＝________.
解　设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
10.已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
解　设公差为d.∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2a4＝65，∴a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根，又公差d＞0，∴a2＜a4，∴a2＝5，a4＝13.
11.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2a4＝65，a1＋a5＝18.(1)求数列{an}的通项公式；
12.(多选)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元5世纪.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”.其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”.已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中第n天所织布的尺数为an，bn＝2an，对于数列{an}、{bn}，下列选项中正确的为(　　)
则数列{bn}是等比数列，B正确；
解析　由题意可知，数列{an}为等差数列，设数列{an}的公差为d，
∴b10≠8b5，A错误；
a30＝a1＋29d＝5＋16＝21，∴a1b30＝5×221＞105，C错误；
解析　nan－(n－1)an＋1＝1，∴(n＋1)an＋1－nan＋2＝1，两式相减得nan－2nan＋1＋nan＋2＝0，∴an＋an＋2＝2an＋1，∴数列{an}为等差数列.当n＝1时，由nan－(n－1)an＋1＝1得a1＝1，
由a6＝11，得公差d＝2，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1，
解　∵等差数列{an}中，公差d＜0，a2＋a6＝－8，∴a2＋a6＝a3＋a5＝－8，又∵a3a5＝7，∴a3，a5是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的两个根，且a3＞a5，解方程x2＋8x＋7＝0，得a3＝－1，a5＝－7，
14.等差数列{an}中，公差d＜0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.(1)求{an}的通项公式；
∴an＝5＋(n－1)×(－3)＝－3n＋8.
(2)记Tn为数列{bn}前n项的和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值.
∵bn＝|an|，∴b1＝5，b2＝2，b3＝|－1|＝1，b4＝|－4|＝4，当n≥3时，bn＝|an|＝3n－8.当n＜3时，T1＝5，T2＝7；