2022版高三全国统考数学（文）大一轮备考课件：第6章第2讲 等差数列及其前n项和

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考点1 等差数列考点2 等差数列的前n项和考点3 等差数列的性质
考法1 等差数列的判定与证明考法2 等差数列的基本运算考法3 等差数列的性质的应用考法4 等差数列的前n项和及其最值
考点1 等差数列
1.等差数列的概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,公差通常用字母d表示.定义的表达式为an+1-an=d,d为常数.规律总结　　　　等差数列的单调性当d>0时,数列{an}为递增数列;当d<0时,数列{an}为递减数列;当d=0时,数列{an}为常数列.
考点2 等差数列的前n项和
考点3 等差数列的性质
1.等差数列的常用性质(1)若{an}是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an,特别地,若p+q=2m,则ap+aq=2am.反之不一定成立.(2)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.(3)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}(p,q∈N*)也是等差数列.(4)若{an}是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列.即下标成等差数列,则相应的项也成等差数列.(5)等差数列{an}中,若am=n,an=m,则am+n=0(m≠n).
考法1 等差数列的判定与证明
示例1 [新课标全国Ⅰ,12分]已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.(1)证明:an+2-an=λ.(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.解析 (1)由题意知,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1.两式相减,得an+1(an+2-an)=λan+1.由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.
(2)由题设知,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在λ=4,使得{an}为等差数列.
方法技巧　　　 等差数列的判定与证明的方法
注意 1.用定义法或等差中项法证明等差数列时,易忽视定义中从第2项起,以后每一项与前一项的差是同一常数,即易忽视验证a2-a1=d这一关键条件.2.要判定一个数列不是等差数列,只需找出an,an+1,an+2,使得这三项不满足2an+1=an+an+2即可.
考法2 等差数列的基本运算
方法技巧 1.等差数列基本运算中常用的数学思想
2.等差数列基本运算中常用的技巧(1)a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用技巧.(2)减少运算量设元技巧:若三个数成等差数列,可将三个数设为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可将四个数设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.
考法3 等差数列的性质的应用
考法4 等差数列的前n项和及其最值