2025版高考数学一轮总复习第6章数列第2讲等差数列及其前n项和课件

这是一份2025版高考数学一轮总复习第6章数列第2讲等差数列及其前n项和课件，共60页。PPT课件主要包含了同一个常数，a1＋n－1d，ap＋aq，归纳拓展，－10，ABC，n2－2n，名师点拨，变式训练等内容，欢迎下载使用。

知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理知识点一　等差数列的有关概念1．等差数列的定义如果一个数列从第______项起，每一项与它的前一项的差等于____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_____，通常用字母____表示，定义的表达式为__________________.
an＋1－an＝d(n∈N*)
2．等差中项如果a，A，b成等差数列，那么______叫做a与b的等差中项且________.3．通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝____________________＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).4．前n项和公式：Sn＝_______________＝________________.
知识点二　等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和.1．若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝__________.2．am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为________.3．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
5．n为奇数时，Sn＝na中，S奇＝______a中，S偶＝_______a中，∴S奇－S偶＝________.
6．数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.
2．点列(n，an)共线，可知道等差数列的某两项，求任一项，如{an}为等差数列，an＝m，am＝n，则am＋n＝0.
4．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d.若公差d>0，则为递增数列，若公差d<0，则为递减数列.
如{an}为等差数列，Sn为前n项和，d>0，若S5＝S13，则当n＝9时，Sn最小，S18＝0.
5．在遇到三个数成等差数列时，可设其为a－d，a，a＋d；四个数成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a－d，a，a＋d，a＋2d.
双 基 自 测题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( )(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( )(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( )(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
[解析]　(1)同一个常数.(2)因为在等差数列{an}中，当公差d>0时，该数列是递增数列，当公差d<0时，该数列是递减数列，当公差d＝0时，该数列是常数数列，所以命题正确.(3)常数列的前n项和公式为一次函数.(4)由定义知an＋2－an＋1＝an＋1－an(n∈N＋)故正确.
题组二　走进教材2．(选修2P15例2改编)已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为__________.[解析]　依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.
3．(选修2P24T1改编)设Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＝5，a7＝20，则S8＝( )A.90 B．100 C．120 D．200
题组三　走向高考5．(2023·全国甲文，5,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝( )A.25 B．22 C．20 D．15
6．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3＝3S2＋6，则公差d＝______.[解析]　因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得3d＝6，得d＝2.
7．(2019·北京，10,5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝______，Sn的最小值为__________.[解析]　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵a2＝－3，S5＝－10，
∵n∈N*，∴n＝4或5时，Sn取得最小值，最小值为－10.
考点突破 · 互动探究
等差数列的基本运算——自主练透
1.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，其公差d>1，且a7＋a9＝16，则( )A.a8＝8 　B．S15＝120C.a1<1 D．a2>2
2．(2023·内蒙古模拟)已知等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，S4＝24，S9＝99，则a7＝( )A.13 B．14 C．15 D．16
则a7＝a1＋6d＝15.故选C.
3．(2020·新高考Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为______________.[解析]　解法一：(观察归纳法)数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则an＝1＋6(n－1)＝6n－5.
解法二：(引入参变量法)令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数.令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…).at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.以下同方法一.
名师点拨：等差数列基本量的求法1．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想.2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
等差数列性质的应用——多维探究
角度1　等差数列项的性质
A.14 　B．15C.16 D．17
2．(多选题)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有( )A.a7 B．a8 C．S15 D．S16
2．利用等差数列性质(特别是感觉条件不够时)求解既简捷，又漂亮.
角度2　等差数列前n项和性质
[解析]　解法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
解法二：设等差数列前n项和为Sn＝An2＋Bn，
A.－2 023 B．－2 022C.－2 021 D．－2 020
所以S2 023＝－2 023.故选A.
【变式训练】1．(角度1)(2024·昆明模拟)若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5－a6－a10＋a14＝( )A.2 B．3 C．4 D．5
∴a1＋a15＝4，∴2a8＝4，∴a8＝2.∴2a5－a6－a10＋a14＝a4＋a6－a6－a10＋a14＝a4－a10＋a14＝a10＋a8－a10＝a8＝2.
2．(角度1)(2024·辽宁鞍山模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝3，Sn－4＝12，Sn＝17，则n的值为( )A.17 B．15 C．13 D．11
4．(角度2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝__________.[解析]　因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3.又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114.
等差数列的判定与证明——师生共研
(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式.
[解析]　(1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，
名师点拨：等差数列的四个判定方法1．定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数.2．等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.3．通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列.4．前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列.
(2)求an的表达式.
[解析]　(1)证明：因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，所以Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.
名师讲坛 · 素养提升
与等差数列前n项和Sn有关的最值问题 1.(2024·吉林市调研)设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，且a1>0，若S5＝S9，则当Sn最大时，n＝( )A.6 B．7 C．10 D．9[分析]　由S5＝S9可求得a1与d的关系，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解.
[解析]　解法一：由S5＝S9得a6＋a7＋a8＋a9＝0，即a7＋a8＝0，∴2a1＋13d＝0，又a1>0，∴d<0.∴a7>0，a8<0，∴a1>a2>…>a7>0>a8>a9>…，∴Sn最大时，n＝7，故选B.
∵a1>0，∴d<0.
∵n∈N*，∴当n＝7时，Sn最大.
A.11 B．19 C．20 D．21[分析]　利用Sn>0⇔a1＋an>0求解.
[引申](1)本例1中若将“S5＝S9”改为“S5＝S10”，则当Sn取最大值时n＝__________；(2)本例1中，使Sn<0的n的最小值为________；(3)本例2中，使Sn取最大值时n＝________.
(2)由a7＋a8＝a1＋a14＝0知S14＝0，又a8<0，∴2a8＝a1＋a15<0，即S15<0，∴使Sn<0的n的最小值为15.
名师点拨：求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法：
【变式训练】1．(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且满足a1>0，S11＝S18，则对Sn描述正确的有( )A.S14是唯一最大值B．S15是最大值C.S29＝0 D．S1是最小值[解析]　由S11＝S18可知a12＋a13＋…＋a18＝0，又{an}是等差数列，所以a15＝0，故S29＝29a15＝0.又a1>0，故S14＝S15，所以S14，S15都是最大值，且公差d<0，Sn无最小值，结合选项可知B，C正确，故选BC.