2024全国一轮数学（基础版）第30讲 等比数列及其前n项和课件PPT

这是一份2024全国一轮数学（基础版）第30讲 等比数列及其前n项和课件PPT，共37页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，激活思维，基础回归，同一常数，G2＝ab，a1qn－1，na1，研题型·融会贯通，举题说法，随堂内化等内容，欢迎下载使用。

1. (人A选必二P29例1改)若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，则a5等于(　 　)A. 24 B. －24C. 24或－24 D. 384或－384
因此，{an}的第5项是24或－24.
2. 已知数列{an}是等比数列，函数y＝x2－5x＋6的零点分别是a2，a8，则a5等于(　 　)A. 2 B. －2
【解析】 因为函数y＝x2－5x＋6的零点分别是a2，a8，所以a2·a8＝6，a2＋a8＝5，所以a2＞0，a8＞0.
4. (人A选必二P31练习3改)在等比数列{an}中，已知a1a3＝36，a2＋a4＝60，则a1＋q＝________.
5. (多选)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)
1. 等比数列的有关概念(1) 定义如果一个数列从第______项起，每一项与它的前一项的比等于____________ (不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q表示，定义的表达为_____________________________.(2) 等比中项如果a，G，b成等比数列，那么______叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔______________.
2. 等比数列的有关公式(1) 通项公式：an＝_____________；
3. 等比数列几个常用结论已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)．
例1　(1) (2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6等于(　 　)A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，q≠0.若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾，所以q≠1，
(2) (2022·汕头一模)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,4a1,2a3，a5成等差数列，则a1等于(　 　)
解决等比数列基本问题的常用思想：(1) 方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解；
　　　(1) (2022·淄博一模)已知等比数列{an}，其前n项和为Sn.若a2＝4，S3＝14，则a3＝__________.
(2) 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，则这个数列为__________________________________________.
2或820,40,80,96,112或180,120,80,16，－48
【解答】 由an＋1＋an＝4×3n，得an＋1－3n＋1＝－(an－3n)．
例2　(2022·深圳一模)已知数列{an}的首项a1＝2，且满足an＋1＋an＝4×3n.(1) 求证：{an－3n}是等比数列；
【解答】 由(1)可知an－3n＝(－1)n，所以an＝3n＋(－1)n，
(2) 求数列{an}的前n项和Sn.
(3) 通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列；(4) 前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．前两种方法是常用方法，用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．
＝21＋21＋20＋1＋23＋22＋21＋1＋…＋22n－1＋2n＋2n－1＋1＝(21＋23＋…＋22n－1)＋(21＋22＋…＋2n)＋(20＋21＋…＋2n－1)＋n
【解析】 因为正项等比数列{an}满足a2a9＋a4a7＝16，所以a4a7＝8，则lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2a10＝lg2(a4·a7)5＝5lg2(a4·a7)＝5lg28＝5×3＝15.
例3　(1) 已知正项等比数列{an}满足a2a9＋a4a7＝16，则lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2a10等于(　 　)A. 15 B. 14 C. 13 D. 12
【解析】 因为{an}是等比数列，所以S5，S10－S5，S15－S10也成等比数列．
1. (2022·沈阳三模)在等比数列{an}中，设a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两个根，则a3a5a7的值为(　 　)
【解析】 由{an}是等比数列，且S10＝1＞0，S30＝13＞0，得S20＞0，S40＞0，且1＜S20＜13，S40＞13，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，即1，S20－1,13－S20，S40－13构成等比数列，所以(S20－1)2＝1×(13－S20)，解得S20＝4或S20＝－3(舍去)，所以(13－S20)2＝(S20－1)(S40－13)，即92＝3×(S40－13)，解得S40＝40.
2. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝13，S40等于(　 　)A. －51 B. －20 C. 27 D. 40
【解析】 由lg2an＋1＝1＋lg2an，可得lg2an＋1＝lg22an，所以an＋1＝2an，所以数列{an}是以2为公比的等比数列．又a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)×2100＝2100，所以lg2(a101＋a102＋…＋a110)＝lg22100＝100.
3. 已知数列{an}满足lg2an＋1＝1＋lg2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，则lg2(a101＋a102＋…＋a110)＝__________.
1. 已知等比数列{an}的各项都是正数,若a1＝81,a5＝16，则其前5项和是(　 　)A. 179 B. 211 C. 243 D. 275
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A. －3 B. 5 C. －31 D. 33
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯．”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　 　)A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
4. (多选)已知在数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝2n，n∈N*，则下列说法正确的是(　　　　)A. a4＝4 B. {a2n}是等比数列C. a2n－a2n－1＝2n－1 D. a2n－1＋a2n＝2n＋1
【解析】 因为a1＝1，an·an＋1＝2n，所以a2·a1＝2，即a2＝2.a2n－a2n－1＝2n－2n－1＝2n－1，故C正确；a2n＋a2n－1＝2n＋2n－1＝3×2n－1，故D不正确．
5. 在等比数列{an}中，已知2a3－a2a4＝0，若数列{bn}为等差数列，且b3＝a3，则数列{bn}的前5项和等于________.