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新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第5章 章末检测试卷(五) (含解析)
展开章末检测试卷(五)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.若扇形的面积为16 cm2,圆心角为2 rad,则该扇形的弧长为( )
A.4 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm
答案 B
解析 S=αr2=r2=16,∴r=4,l=αr=2×4=8,故选B.
2.sin 40°sin 50°-cos 40°cos 50°等于( )
A.0 B.1 C.-1 D.-cos 10°
答案 A
解析 sin 40°sin 50°-cos 40°cos 50°=-cos(40°+50°)=0.
3.已知角θ终边经过点(3,-4),则等于( )
A. B.- C. D.-
答案 C
解析 由三角函数的定义可得tan θ=-,
因此,==-=.
4.下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线x=对称的是( )
A.y=sin B.y=sin
C.y=sin D.y=sin
答案 A
解析 ∵最小正周期为π,∴ω=2,
又图象关于直线x=对称,
∴f =±1,故只有A符合.
5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
答案 A
解析 易得周期T满足T=-=π,故T=π.且图中最高点横坐标x=-T=-×π=.故一个单调递减区间为=.又函数周期为T=π.故单调递减区间为,k∈Z.
6.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,0≤x<,则f(x)的最大值为( )
A.1 B.2 C.+1 D.+2
答案 B
解析 因为f(x)=cos x
=cos x+sin x=2sin,0≤x<,
所以当x=时,f(x)取得最大值2.
7.若把函数y=f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度,沿y轴向下平移1个单位长度,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数y=sin x的图象,则y=f(x)的解析式为( )
A.y=sin+1 B.y=sin+1
C.y=sin-1 D.y=sin-1
答案 B
解析 把函数y=sin x图象上每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标保持不变),得到y=
sin 2x,沿y轴向上平移1个单位长度,得到y=sin 2x+1,图象沿x轴向右平移个单位长度,得到函数y=sin+1=sin+1.
8.若0<α<<β<π,且cos β=-,sin(α+β)=,则sin α的值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题设<β<π,cos β=-⇒sin β=,又0<α<<β<π⇒<α+β<,则cos(α+β)
=-=-,所以sin α=sin[(α+β)-β]
=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=×+×=.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.给出下列函数:①y=cos|2x|;②y=|cos x|;③y=cos;④y=tan.其中最小正周期为π的有( )
A.① B.② C.③ D.④
答案 ABC
解析 ①中,y=cos|2x|=cos 2x,其最小正周期为π;②中,知y=|cos x|是y=cos x将x轴下方的部分向上翻折得到的,故周期减半,即y=|cos x|的最小正周期为π;③中,y=cos的最小正周期T==π;
④中,y=tan的最小正周期T=.
10.已知函数f(x)=2sin+1,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的图象关于点对称
B.函数f(x)图象的一条对称轴是x=-
C.若x∈,则函数f(x)的最小值为+1
D.若0<x1<x2<π,则f(x1)<f(x2)
答案 BC
解析 A项,令2x-=kπ(k∈Z)知函数f(x)关于点(k∈Z)对称,所以A不成立;
B项,令2x-=+kπ(k∈Z)知函数f(x)关于x=+(k∈Z)对称,所以B成立;
C项,若x∈,2x-∈,
则函数f(x)的最小值为+1,C成立;
D项,由于当0<x1<x2<π,f(x)不具有单调性,所以D不成立.
11.若cos 2θ+cos θ=0,则sin 2θ+sin θ等于( )
A.0 B.
C.- D.
答案 ABC
解析 由cos 2θ+cos θ=0得2cos2θ-1+cos θ=0,
所以cos θ=-1或.
当cos θ=-1时,有sin θ=0;
当cos θ=时,有sin θ=±.
于是sin 2θ+sin θ=sin θ(2cos θ+1)=0或或-.
12.对于函数f(x)=下列说法中不正确的是( )
A.该函数的值域是[-1,1]
B.当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,函数取得最大值1
C.当且仅当x=2kπ-(k∈Z)时,函数取得最小值-1
D.当且仅当2kπ+π<x<2kπ+(k∈Z)时,f(x)<0
答案 ABC
解析 画出函数f(x)的图象如图所示,由图象容易看出:该函数的值域是;当且仅当x=2kπ+或x=2kπ,k∈Z时,函数取得最大值1;当且仅当x=2kπ+,k∈Z时,函数取得最小值-;当且仅当2kπ+π<x<2kπ+,k∈Z时,f(x)<0,可知A,B,C不正确.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知cos(45°+α)=,则cos(135°-α)=________.
答案 -
解析 cos(135°-α)=cos[180°-(45°+α)]
=-cos(45°+α)=-.
14.若tan α=,则tan=________,tan 2α=________.(本题第一空2分,第二空3分)
答案
解析 由题意知tan===,tan 2α===.
15.设函数f(x)=2cos2x+sin 2x+a,已知当x∈时,f(x)的最小值为-2,则a=________.
答案 -2
解析 f(x)=1+cos 2x+sin 2x+a
=2sin+a+1.
∵x∈,∴2x+∈.
∴sin∈,
∴f(x)min=2×+a+1=a.∴a=-2.
16.函数f(x)=cos(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象向左平移φ个单位长度,所得图象关于原点对称,则φ的值为________.
答案
解析 ∵函数f(x)=cos(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,
∴ω==2,即f(x)=cos(x∈R),
将y=f(x)的图象向左平移φ个单位长度,
所得函数为g(x)=cos
=cos,
又所得图象关于原点对称,
∴2φ+=kπ+,k∈Z,
即φ=+,k∈Z,又0<φ<,
∴φ=.
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知<α<π,sin α=.
(1)求的值;
(2)求cos 2α+sin的值.
解 (1)∵<α<π,且sin α=,∴cos α=-,
∴tan α=-.
=
==.
(2)cos 2α+sin=1-2sin2α+cos α=1-2×-=-.
18.(12分)已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期;
(2)求f(x)的单调递减区间.
解 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z),
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.
因为f(x)=
=2cos x(sin x-cos x)
=sin 2x-cos 2x-1
=sin-1,
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)函数y=sin x的单调递减区间为
(k∈Z).
由2kπ+≤2x-≤2kπ+,x≠kπ(k∈Z),
得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
19.(12分)已知f(x)=Asin(ωx+φ)的图象过点P,且图象上与点P最近的一个最低点是Q.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f =,且α为第三象限的角,求sin α+cos α的值.
解 (1)根据题意可知,A=2,=-=,
∴T==π,解得ω=2.
又f =0,∴sin=0,而|φ|<,
∴φ=-.
∴f(x)=2sin.
(2)由f =可得,2sin 2α=,即sin 2α=.
∵α为第三象限的角,∴sin α+cos α
=-=-=-.
20.(12分)求证:sin3αsin 3α+cos3αcos 3α=cos32α.
证明 左边=sin2αsin αsin 3α+cos2αcos αcos 3α
=sin αsin 3α+cos αcos 3α
=(sin αsin 3α+cos αcos 3α)+cos 2α(-sin αsin 3α+cos αcos 3α)
=cos(α-3α)+cos 2αcos(3α+α)
=cos 2α+cos 2αcos 4α
=cos 2α(1+cos 4α)
=cos 2α·2cos22α=cos32α=右边.
21.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)若f =,求cos的值.
解 (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,
所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.
又因为f(x)的图象关于直线x=对称,
所以2·+φ=kπ+,k∈Z,
由-≤φ<,得k=0,
所以φ=-=-.
(2)由(1)得f =sin=,
所以sin=.
由<α<得0<α-<,
所以cos=
==.
因此cos=sin α
=sin
=sincos +cossin
=×+×=.
22.(12分)如图,将一块圆心角为120°,半径为20 cm的扇形铁片裁成一块矩形,有两种裁法,让矩形一边在扇形的半径OA上(如图①)或让矩形一边与弦AB平行(如图②),请问哪种裁法得到的矩形的最大面积最大?请求出这个最大值.
解 对于题干图①,MN=20sin θ,ON=20cos θ,
所以S1=ON·MN=400sin θcos θ=200sin 2θ.
所以当sin 2θ=1,即θ=45°时,S1max=200 cm2.
对于题干图②,MQ=40sin(60°-α),
MN=20cos(60°-α)-=sin α,
所以S2=.
因为0°<α<60°,
所以-60°<2α-60°<60°.
所以当cos(2α-60°)=1,即2α-60°=0,
即α=30°时,S2max= cm2.
因为>200,
所以用图②这种裁法得到的矩形的最大面积最大,为 cm2.