新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 期末检测试卷(一) (含解析)

期末检测试卷(一)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1.命题“∃x∈R，x3－x2＋1>0”的否定是(　　)

A.∃x∈R，x3－x2＋1<0

B.∀x∈R，x3－x2＋1≤0

C.∃x∈R，x3－x2＋1≤0

D.不存在x∈R，x3－x2＋1>0

答案　B

解析　根据命题的否定知，∃x∈R，x3－x2＋1>0的否定为∀x∈R，x3－x2＋1≤0，故选B.

2.如果a<b<0，那么下列不等式成立的是(　　)

A.<   B.ab<b2

C.－ab<－a2   D.－<－

答案　D

解析　由于a<b<0，不妨令a＝－2，b＝－1，

可得＝－，＝－1，∴>，故A不正确.

可得ab＝2，b2＝1，∴ab>b2，故B不正确.

可得－ab＝－2，－a2＝－4，∴－ab>－a2，故C不正确.

故选D.

3.若正实数a，b满足lg a＋lg b＝1，则＋的最小值为(　　)

A.  B.2  C.  D.2

答案　D

解析　由正实数a，b满足lg a＋lg b＝1，得ab＝10，

则由基本不等式有＋≥2＝2，

当且仅当即a＝2，b＝5时等号成立.

故选D.

4.已知角α终边上一点M的坐标为(1，)，则sin 2α等于(　　)

A.－  B.  C.－  D.

答案　D

解析　由角α终边上一点M的坐标为(1，)，

得sin α＝，cos α＝，

故sin 2α＝2sin αcos α＝，

故选D.

5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量低于20 mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1 mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？(　　)

(参考数据：lg 0.2≈－0.7，lg 0.3≈－0.5，lg 0.7≈－0.15，lg 0.8≈－0.1)

A.1  B.3  C.5  D.7

答案　C

解析　因为1小时后血液中酒精含量为(1－30%)mg/mL，

x小时后血液中酒精含量为(1－30%)x mg/mL，

由题意知100 mL血液中酒精含量低于20 mg的驾驶员可以驾驶汽车，

所以(1－30%)x<0.2，

0.7x<0.2，

两边取对数得，

lg0.7x<lg 0.2 ，

x>＝ ，

所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.

故选C.

6.若函数y＝a|x|＋m－1(0<a<1)的图象和x轴有交点，则实数m的取值范围是(　　)

A.[1，＋∞)  B.(0,1)  C.(－∞，1)  D.[0,1)

答案　D

解析　函数y＝a|x|＋m－1(0<a<1)的图象和x轴有交点，

等价于函数y＝a|x|的图象与y＝1－m的图象有交点，

0<a<1时，0<a|x|≤1，

即0<1－m≤1，解得0≤m<1，

即实数m的取值范围是[0,1)，

故选D.

7.已知函数f(x)＝，若f(2a2－5a＋4)<f(a2＋a＋4)，则实数a的取值范围是(　　)

A.∪(2，＋∞)   B.[2,6)

C.∪[2,6)   D.(0,6)

答案　C

解析　易知函数f(x)＝的定义域是[2，＋∞)，在定义域内是增函数，

所以由f(2a2－5a＋4)<f(a2＋a＋4)得2≤2a2－5a＋4<a2＋a＋4，

解得0<a≤或2≤a<6.

故选C.

8.已知cos α＝，cos(β－α)＝，且0<β<α<π，则cos β等于(　　)

A.－  B.－  C.  D.

答案　D

解析　∵ cos α＝，cos(β－α)＝，且0<β<α<π，

∴－π<β－α<0，

∴sin α＝＝，sin(β－α)＝－＝－，

∴cos β＝cos[(β－α)＋α]

＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α

＝×－×＝，故选D.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9.下列四个命题：其中不正确的命题是(　　)

A.函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递增，则f(x)在R上是增函数

B.若函数f(x)＝ax2＋bx＋2与x轴没有交点，则b2－8a<0且a>0

C.当a>b>c时，则有bc>ac成立

D.y＝1＋x和y＝不表示同一个函数

答案　ABC

解析　f(x)＝满足在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递增，但f(x)在R上不是增函数，A错；

a＝b＝0时，f(x)＝2，它的图象与x轴无交点，不满足b2－8a<0且a>0，B错；

当a>b>c，但c＝0时，ac＝bc，不等式bc>ac不成立，C错；

y＝＝|x＋1|，与y＝x＋1的对应关系不相同，值域也不相同，不是同一个函数，D正确.

10.已知0<a<b<1，则下列不等式成立的是(　　)

A.a>b   B.ln a>ln b

C.>   D.>

答案　ACD

解析　因为0<a<b<1，y＝x为减函数，

所以a>b，

因为0<a<b<1，y＝ln x为增函数，

所以ln a<ln b<0，

又因为y＝在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上也单调递减，

所以>，同理可得，>，

故选ACD.

11.下列选项中，值为的是(　　)

A.cos 72°cos 36°   B.sin sin 

C.＋   D.－cos215°

答案　AB

解析　对于A，cos 36°cos 72°＝＝＝＝.

对于B，sin sin ＝sin cos ＝＝＝.

对于C，原式＝＝＝＝＝4.

对于D，－cos215°＝－(2cos215°－1)

＝－cos 30°＝－.

12.已知函数f(x)＝(x∈R)的值域为[m，＋∞)，则实数a与实数m的取值可能为(　　)

A.a＝0，m＝0   B.a＝1，m＝1

C.a＝3，m＝3   D.a＝，m＝

答案　ABD

解析　f(x)＝＝＝x2＋1＋，

设x2＋1＝t，t≥1，则y＝t＋.

当a＝0时，y＝t－在[1，＋∞)上单调递增，t＝1时，y＝0，故y∈[0，＋∞)，A正确；

当a＝1时，y＝t在[1，＋∞)上单调递增，t＝1时，y＝1，故y∈[1，＋∞)，B正确；

当a＝3时，y＝t＋在[1，)上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，故ymin＝2，C错误；

当a＝时，y＝t＋在[1，＋∞)上单调递增，t＝1时，y＝，故y∈[，＋∞)，D正确.

故选ABD.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.lg 4＋lg 25－(0.5－2－2)×的值是________.

答案　－

解析　原式＝lg 100－2×＝2－＝－.

14.已知a>0，b>0，a＋2b＝4，则a＋的最小值为________，＋的最小值为________.(本题第一空2分，第二空3分)

答案　2　

解析　a＋≥2＝2，当且仅当a＝，即a＝1时“＝”成立；

＋＝(a＋2b)

＝≥＝.

当且仅当＝，即时“＝”成立.

15.已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围为________.

答案　{a|a≥2}

解析　由题意，集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，可得∁RB＝{x|x≤1或x≥2}，

又由A∪(∁RB)＝R，所以a≥2.

16.设常数a∈R，则方程|x＋a|·ex＝1的解的个数组成的集合是A＝________.

答案　{1,2,3}

解析　由题意得，|x＋a|·ex＝1⇔|x＋a|＝，设f(x)＝x，g(x)＝|x＋a|，在直角坐标系中分别画f(x)，g(x)的图象，如图所示，

所以方程解的个数可能为1或2或3.

故答案为{1,2,3}.

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.(10分)已知p：函数f(x)＝(a－m)x在R上是减函数，q：关于x的方程x2－2ax＋a2－1＝0的两根都大于1.

(1)当m＝5时，p是真命题，求a的取值范围；

(2)若p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，求m的取值范围.

解　(1)因为m＝5，所以f(x)＝(a－5)x，

因为p是真命题，所以0<a－5<1，所以5<a<6.

故a的取值范围是(5,6).

(2)若p是真命题，则0<a－m<1，解得m<a<m＋1.

关于x的方程x2－2ax＋a2－1＝0的两根分别为a－1和a＋1.

若q是真命题，则a－1>1，解得a>2.

因为p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，

所以m≥2.

18.(12分)已知函数f(x)＝sin 3x－acos 3x＋a，且f ＝3.

(1)求a的值；

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.

解　(1)因为f ＝3，

所以sin－acos＋a＝3，

所以＋＋a＝3，即＋a＝3，解得a＝1.

(2)由(1)可得f(x)＝sin 3x－cos 3x＋1

＝2sin＋1，

则f(x)的最小正周期为T＝.

令2kπ－≤3x－≤2kπ＋，k∈Z，

解得－≤x≤＋，k∈Z，

故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

19.(12分)已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ＝.

(1)试求函数f(x)的解析式；

(2)证明函数在定义域内是增函数.

(1)解　由f(0)＝0得b＝0，

由f ＝得a＝1，

所以f(x)＝.

(2)证明　任取x1，x2∈(－1,1)，x1<x2，

f(x1)－f(x2)＝－＝

＝＝，

∵－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0，(1＋x)(1＋x)>0，

∴x1x2<1，∴1－x1x2>0，

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

∴f(x)＝在定义域内是增函数.

20.(12分)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)，其中a，b均为实数.

(1)若函数f(x)的图象经过点A(0,2)，B(1,3)，求函数y＝的值域；

(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[－1,1]，求a＋b的值.

解　(1)函数f(x)的图象经过点A(0,2)，B(1,3)，

所以解得所以f(x)＝2x＋1，

因为2x>0,2x＋1>1，即f(x)>1，所以y＝∈(0,1)，

故y＝的值域为(0,1).

(2)利用指数函数的单调性建立关于a，b的方程组求解.

当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,1]上单调递增，

由题意得解得a＋b＝1，

当0<a<1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,1]上单调递减，

由题意得解得a＋b＝－1.

综上，a＋b＝±1.

21. (12分)如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y.

(1)按下列要求写出函数的关系式：

①设PN＝x，将y表示成x的函数关系式；

②设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式；

(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y的最大值.

解　(1)①因为QM＝PN＝x，所以MN＝ON－OM＝－，

所以y＝MN·PN＝x·－x2.

②当∠POB＝θ时，QM＝PN＝sin θ，则OM＝sin θ，

又ON＝cos θ，

所以MN＝ON－OM＝cos θ－sin θ，

所以y＝MN·PN＝3sin θcos θ－sin2θ.

(2)由②得，y＝sin－，

当θ＝时，y取得最大值为.

22.(12分)已知函数f(x)＝log2(4x＋1)＋mx.

(1)若f(x)是偶函数，求实数m的值；

(2)当m>0时，关于x的方程f 

＝1在区间[1,2]上恰有两个不同的实数解，求m的取值范围.

解　(1)f(x)＝log2(4x＋1)＋mx，f(－x)＝log2(4－x＋1)－mx，f(x)＝f(－x)，

即log2(4x＋1)＋mx＝log2(4－x＋1)－mx，

化简得到2x＝－2mx，∴m＝－1.

 (2)m>0，函数f(x)＝log2(4x＋1)＋mx单调递增，且f(0)＝1，

f ＝1＝f(0)，

故8(log4x)2＋2log2 ＋－4＝0，

设log2x＝t，t∈，即－2t2＋2t＋4＝，画出y＝－2t2＋2t＋4的图象，如图所示，

根据图象知4≤<，解得<m≤1，即m∈.