2021-2022学年江苏省连云港市锦屏高级中学等四校高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省连云港市锦屏高级中学等四校高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知向量，，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）函数的最小正周期是　　

A． B． C． D．

3．（5分）　　

A． B． C． D．

4．（5分）　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知平面向量，，若，则等于　　

A． B． C．8 D．

6．（5分）“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（5分）已知向量，，向量在方向上的投影向量为　　

A． B．， C．， D．，

8．（5分）若，则　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）下列说法错误的是　　

A．若，，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

10．（5分）下列等式成立的是　　

A． B． 

C． D．

11．（5分）设向量，，则　　

A． B． 

C． D．与的夹角为

12．（5分）已知函数，则　　

A．的最小正周期为 

B．，是曲线的一个对称中心 

C．是曲线的一条对称轴 

D．在区间，上单调递增

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知，，则　　．

14．（5分）若，则　　．

15．（5分）已知向量，，若，则的值为 　　．

16．（5分）已知单位向量，满足，则与夹角的大小为 　　；的最小值为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知平面向量，，，，且与的夹角为．

（1）求；

（2）求．

18．（12分）已知，，，均为第二象限角．

（1）求的值；

（2）求的值．

19．（12分）平面内给定三个向量，，．

（1）求满足的实数，；

（2）若，求实数的值．

20．（12分）在①，②，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．

已知，______，．

（1）求的值；

（2）求．

21．（12分）在边长为2的菱形中，，，分别为边，的中点．

（1）用、表示；

（2）求的值．

22．（12分）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形．其中在半径上，记．

（1）当时，求矩形的面积；

（2）求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大值．

2021-2022学年江苏省连云港市锦屏高级中学等四校高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知向量，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，，，，

故选：．

2．（5分）函数的最小正周期是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由正弦函数的周期公式可得：；

故选：．

3．（5分）　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

故选：．

4．（5分）　　

A． B． C． D．

【解答】解：．

故选：．

5．（5分）已知平面向量，，若，则等于　　

A． B． C．8 D．

【解答】解：向量，

，，，

故选：．

6．（5分）“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：若，则，即，

若，则，解得，

故”是“”的充分不必要条件，

故选：．

7．（5分）已知向量，，向量在方向上的投影向量为　　

A． B．， C．， D．，

【解答】解：，，

在方向上的投影为，

在方向上的投影向量为，．

故选：．

8．（5分）若，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，

所以

．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）下列说法错误的是　　

A．若，，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

【解答】解：对于选项，若，，当，则；当时，与的关系不确定，即选项错误；

对于选项，若，则，即选项正确；

对于选项，若，但与不能比较大小，即选项错误；

对于选项，若，则，即或，即选项错误，

故选：．

10．（5分）下列等式成立的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：对于，故正确；

对于，故错误；

对于，故错误；

对于，故正确．

故选：．

11．（5分）设向量，，则　　

A． B． 

C． D．与的夹角为

【解答】解：，错误；

，，，错误，正确；

，且，的夹角为，正确．

故选：．

12．（5分）已知函数，则　　

A．的最小正周期为 

B．，是曲线的一个对称中心 

C．是曲线的一条对称轴 

D．在区间，上单调递增

【解答】解：，

可得的最小正周期为，正确；

，可得，是曲线的一个对称中心，错误；

令，，解得，，时，，可得是曲线的一条对称轴，正确；

由，可得，可得在，上单调递增，正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知，，则　　．

【解答】解：，，

，，，

故答案为：．

14．（5分）若，则　　．

【解答】解：因为

所以

故答案为：

15．（5分）已知向量，，若，则的值为 　2　．

【解答】解：向量，，，

，，

则，

故答案为：2．

16．（5分）已知单位向量，满足，则与夹角的大小为 　　；的最小值为 　　．

【解答】解：，且，

与夹角的大小为；

，

时，取最小值．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知平面向量，，，，且与的夹角为．

（1）求；

（2）求．

【解答】解：（1）由平面向量，，，，且与的夹角为，

则；

（2）．

18．（12分）已知，，，均为第二象限角．

（1）求的值；

（2）求的值．

【解答】解：（1）因为，，，均为第二象限角，

所以，，

所以．

（2）由（1）可得，，

所以．

19．（12分）平面内给定三个向量，，．

（1）求满足的实数，；

（2）若，求实数的值．

【解答】解：（1），，，，．

，解得，．

（2），，，．

，，，．

，解得．

20．（12分）在①，②，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．

已知，______，．

（1）求的值；

（2）求．

【解答】解：（1）因为，所以，，

若选①：，

由，可得，，

所以；

若选②：，

则，

，，，

所以；

若选③：，则，

由，则，，

所以．

（2）因为，所以，所以，

因为，所以，

所以

，

所以．

21．（12分）在边长为2的菱形中，，，分别为边，的中点．

（1）用、表示；

（2）求的值．

【解答】解：（1）由题，在中，（7分）

（2）在，（9分）

同理，在，（11分）

所以（14分）

22．（12分）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形．其中在半径上，记．

（1）当时，求矩形的面积；

（2）求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大值．

【解答】解：（1）在中，，．

在中，，

所以，

所以．（2分）

设矩形的面积为，则．（4分）

（2）在中，，．

在中，，

所以，

所以．（6分）

设矩形的面积为，

则

．（8分）

由，得，

所以当，即时．（10分）

．

因此，当时，矩形的面积，最大面积为（12分）

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