2021-2022学年江苏省无锡市新吴区辅仁高级中学高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省无锡市新吴区辅仁高级中学高一（下）期中数学试卷

一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设，其中为虚数单位，，是实数，则　　

A．1 B． C． D．2

2．（5分）设，是两个不共线的向量，若与共线，则实数　　

A． B．3 C． D．

3．（5分）在锐角中，角，所对的边分别为，．若，则角等于　　

A． B． C． D．

4．（5分）下列命题中正确的个数为　　

（1）如果直线，那么平行于经过的任何平面；

（2）如果直线，和平面满足，，那么；

（3）如果直线，和平面满足，，，那么．

A．0 B．1 C．2 D．3

5．（5分）复数，且，在复平面内对应的点关于虚轴对称，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为　　

A．1 B． C． D．

8．（5分）已知为的重心（三条中线的交点），，，则的最小值为　　

A． B． C． D．

二、选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知复数，则下列结论正确的是　　

A． B．复数的共轭复数为 

C． D．

10．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

11．（5分）在中，，边上的高为2，则的取值可能是　　

A． B． C．1 D．2

12．（5分）如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为线段，上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是　　

A．存在点，使得 B．三棱锥的体积不变 

C．直线和直线异面 D．△周长的最小值为

三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知向量，，若，则实数　　．

14．（5分）已知复数，为正整数，记所有可能取值的和为复数，则　　．

15．（5分）在中，，，，则　　．

16．（5分）已知正方形的边长为2，实数，，，2，3，则的最大值　　．

四、解答题。本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知复数，，且为纯虚数．

（1）求；

（2）若，且为实数，求．

18．（12分）如图，已知菱形的边长为1，其中，且，，记，．

（1）求；

（2）．

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，，，、分别为棱、的中点．

（1）证明：平面；

（2）点为底面四边形内的一动点（包括边界），且平面平面，求的最大值．

20．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知，．

（1）求边的长；

（2）在边上取一点，使得，求的值．

21．（12分）已知，，，点为坐标原点．

（1）若，，三点共线，且，求；

（2）若，求的最小值．

22．（12分）如图，在中，角，，所对的边分别是，，．为边上一点，记，．向量，，．

（1）若，请比较与的大小；

（2）若，且，求的最小值．

2021-2022学年江苏省无锡市新吴区辅仁高级中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设，其中为虚数单位，，是实数，则　　

A．1 B． C． D．2

【解答】解：，其中为虚数单位，，是实数，

，

，，

解得，．

则，

故选：．

2．（5分）设，是两个不共线的向量，若与共线，则实数　　

A． B．3 C． D．

【解答】解：与共线，

，

，解得．

故选：．

3．（5分）在锐角中，角，所对的边分别为，．若，则角等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：，

，

，

为锐角，

．

故选：．

4．（5分）下列命题中正确的个数为　　

（1）如果直线，那么平行于经过的任何平面；

（2）如果直线，和平面满足，，那么；

（3）如果直线，和平面满足，，，那么．

A．0 B．1 C．2 D．3

【解答】解：在正方体中，，平面，平面，可知（1）错误；

由平面，平面，可知（2）错误；

过直线过平面交平面于直线，则，又，所以，又，所以，故（3）正确．

故选：．

5．（5分）复数，且，在复平面内对应的点关于虚轴对称，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，且，在复平面内对应的点关于虚轴对称，

，

则．

故选：．

6．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意知，圆柱的轴截面是面积为8的正方形，

圆柱的高为，圆柱底面圆的直径为，

底面圆的周长为，

侧面积．

故选：．

7．（5分）已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为　　

A．1 B． C． D．

【解答】解：向量与共线，存在实数使得．

，

当且仅当时取等号．

故选：．

8．（5分）已知为的重心（三条中线的交点），，，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：取的中点为，连接，如下图所示：

因为为的重心，所以，

因为，

所以，

所以，

又，当且仅当时取等号，

所以的最小值为．

故选：．

二、选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知复数，则下列结论正确的是　　

A． B．复数的共轭复数为 

C． D．

【解答】解：，，，故选项、正确；

又，故选项错误；

，选项正确，

故选：．

10．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由于，

则：，解得：．

由于：，，

利用正弦定理：，则：，整理得：，解得：，故正确；

由于，，可得，

解得：，或3，

若，则，可得，可得，矛盾，故错误，

可得，

可得，可得，故错误；

因为若，可得，可得，，由于，矛盾，

所以，

又因为，

则由，故正确．

故选：．

11．（5分）在中，，边上的高为2，则的取值可能是　　

A． B． C．1 D．2

【解答】解：如图所示，以所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，

则，，

因为边上的高为2，不妨设，

所以，

所以，

对照四个选项，的取值可能是，1，2，不可能为．

故选：．

12．（5分）如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为线段，上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是　　

A．存在点，使得 B．三棱锥的体积不变 

C．直线和直线异面 D．△周长的最小值为

【解答】解：对于，在上取，使得，

由题意得，且，又，且，

，且，四边形是平行四边形，，

，，平面，，平面，

和互为异面直线，和互为异面直线，

不存在点，使得，故错误；

对于，，其中为平面的距离，

由题意得平面，又，，

又为定值，三棱锥的体积不变，故正确；

对于，当不是中点时，

在上取，使得，与选项同理可知，

与异面，直线与直线异面，

当为中点时，、、三点共线，此时、、、四点共面，故错误；

对于，三棱锥，如图，

将其展开成平面图形，如图，

连接分别交和与、，此时△周长最短，即为，

由题意知，，

根据余弦定理得，故正确．

故选：．

三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知向量，，若，则实数　7　．

【解答】解：向量，，

，

，

，

解得实数．

故答案为：7．

14．（5分）已知复数，为正整数，记所有可能取值的和为复数，则　　．

【解答】解：，

当时，，当时，，

当时，，当时，，

依次循环，可得．

故答案为：．

15．（5分）在中，，，，则　　．

【解答】解：在中，，，，

由余弦定理可得；

故；

，

可得．

故答案为：．

16．（5分）已知正方形的边长为2，实数，，，2，3，则的最大值　10　．

【解答】解：正方形的边长为2，可得，，

，

由于，，，2，3，

则可得，，即取，时，

可得所求最大值为，

则的最大值10，

故答案为：10．

四、解答题。本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知复数，，且为纯虚数．

（1）求；

（2）若，且为实数，求．

【解答】解：（1），，

，

为纯虚数，

，解得．

（2）由（1）可知，，

设，，，，

，

，

为实数，，

，解得，

，

或．

18．（12分）如图，已知菱形的边长为1，其中，且，，记，．

（1）求；

（2）．

【解答】（1）解：，

因为，即，

可得，

由平面向量数量积的定义可得，

所以，．

（2）解：，

，

所以，．

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，，，、分别为棱、的中点．

（1）证明：平面；

（2）点为底面四边形内的一动点（包括边界），且平面平面，求的最大值．

【解答】（1）证明：取的中点，连接，，

中，，分别为，的中点，

，

、分别为、的中点，

，，，

故四边形为平行四边形，

，

平面，平面，

平面；

解：（2）取中点为，连接，

在中，，分别为，的中点，，

平面，平面，平面，

又，

平面，平面，平面，

又，且，平面，

故平面平面，

因为点为底面四边形内的一动点（包括边界），且平面平面，

点，即点在线段（包括端点）上移动，

当点运动到时，此时的最大值，最大值为2．

20．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知，．

（1）求边的长；

（2）在边上取一点，使得，求的值．

【解答】解：（1）在中，因为，

由余弦定理知，，

所以，即，

解得或（舍，

所以．

（2）在中，由正弦定理知，，

所以，解得，

因为，

所以，即为钝角，且，

又，

所以为锐角，

所以，

所以

．

21．（12分）已知，，，点为坐标原点．

（1）若，，三点共线，且，求；

（2）若，求的最小值．

【解答】解：（1），，，

，，

，，三点共线，

，，

，，

，，．

（2），，，

，，

，，

，

当且仅当，时取等号，

的最小值为．

22．（12分）如图，在中，角，，所对的边分别是，，．为边上一点，记，．向量，，．

（1）若，请比较与的大小；

（2）若，且，求的最小值．

【解答】解：（1）因为，所以，

理得，

所以由余弦定理可得，

因为，所以，

又，

所以，即，即，

记，则在，中由正弦定理可得：

，

所以，即，

又因为，所以，所以；

（2）由（1）知，

因为，所以，所以，

所以，

因为，

所以，整理可得，即，

由可得，展开整理得，

所以，所以，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为．

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