2022-2023学年江苏省连云港市锦屏重点中学四校高二（下）期中联考数学试卷

2022-2023学年江苏省连云港市锦屏重点中学四校高二（下）期中联考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  正方体中，化简(    )

A.  B.  C.  D.

2.  连镇高铁沿线共设连云港、淮安、扬州、镇江等个客运站，则铁路部门需要准备种不同的车票．(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在的二项展开式中与第项二项式系数相同的项是(    )

A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项

4.  已知直线，且直线的方向向量为，平面的法向量为，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为，，，且三家工厂的次品率分别为，，，则市场上该品牌产品的次品率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知点，，，若点满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  随机变量的分布列如表所示，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知正四面体中，，则直线与所成角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知，分别为随机事件，的对立事件，则下列结论正确的是(    )

A.
B. 若，则，独立
C. 若事件，独立，则
D.

10.  下列说法正确的是(    )

A. 男女站成一排，若名女生相邻，有种排法
B. 男女站成一排，若名女生不相邻，有种排法
C. 个不同的球放入个不同的盒中，有种不同的放法
D. 个不同的球放入个不同的盒中恰有个空盒，有种不同的放法

11.  已知，则(    )

A.  B.
C. 除以所得的余数是 D.

12.  在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法错误的是

A. 当且时，有
B. 当且时，有
C. 当时，的周长为定值
D. 当时，三棱锥的体积为定值
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  端午节思原煮了个粽子，其中个甜茶粽和个艾香粽思原随机取出两个，事件为“取到的两个为同一种馅”，事件为“取到的两个都是艾香粽”，则 ______ ．

14.  的展开式中的系数为          用数字作答．

15.  某学校安排名高三教师去个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有______ 种

16.  已知向量满足，且，则 ______ ，在上的投影向量的坐标为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知空间中三点，，，设，．
若，且，求向量；
已知向量与互相垂直，求的值．

18.  本小题分
用，，，，，这个数字可组成多少个．
没有重复数字的四位数？
比大且没有重复数字的自然数？
没有重复数字且被整除的四位数？

19.  本小题分
如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，，分别是，的中点．
求证：平面；
求点到平面的距离；
求二面角的余弦值．

20.  本小题分
本市某制药企业有甲、乙两个研发小组，甲组有名女性和名男性成员，乙组有名女性和名男性成员为公平竞争，现从甲组任选名成员加入乙组．
记随机变量表示从甲组选出的男性成员个数，求的概率分布与数学期望；
调整后从乙组任选名成员，求他们均为男性成员的概率．

21.  本小题分
已知在的展开式中第项为常数项．
求展开式中所有项的二项式系数和；
求展开式中所有项的系数和；
求展开式中所有的有理项．

22.  本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为的等边三角形，点在棱上，．
证明：；
当时，求点到直线的距离；
若二面角的大小为，求三棱锥的体积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用空间向量的线性运算法则求解．
本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：连镇高铁沿线共设连云港、淮安、扬州、镇江等个客运站，
则铁路部门需要准备种不同的车票．
故选：．
整个线路共个站点，每两个站点需要一个车票，再根据排列即可得解．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：二项式的展开式的第项的二项式系数为，
根据组合数的性质可得，
所以与第项的二项式系数相同的项为第项，
故选：．
二项式的展开式的第项的二项式系数为，据组合数的性质可得，由此即可判断．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，直线的方向向量为，平面的法向量为，
设，，
若直线，则，解可得．
故选：．
根据题意，由直线与平面平行的判断方法，分析可得关于的方程，解可得答案．
本题考查平面的法向量与直线的方向向量，涉及直线与平面平行的判断，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设，，分别表示买到一件甲、乙、丙的产品；表示买到一件次品，
由题意有，，，
，，
所以
．
故选：．
利用全概率公式求解即可．
本题主要考查全概率公式，考查运算求解能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设，则，，
由题意有，解得，，，
，故．
故选：．
由空间向量的坐标运算先求出点的坐标，再计算的坐标及模．
本题考查空间向量的坐标运算，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据随机变量的分布列可得到，
，
，，
，
则．
故选：．
本题根据离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出的值．
本题考查的是离散型随机变量的数学期望和方差公式，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：在正四面体中，设正四面体的棱长为，则，
所以

，
设直线与所成的角为，则，
故直线与所成角的余弦值为．
故选：．
设正四面体的棱长为，求出，然后将转化为正四面体棱上的向量表示，利用数量积的定义求解，再运用向量的夹角求解异面直线所成的角即可．
本题考查了异面直线所成的角，解题的关键是将异面直线所成的角转化为两个向量的夹角求解，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于选项A，因为与对立，则，即选项A正确；
对于选项B，因为，则，独立，即选项B正确；
对于选项C，因为事件，独立，则，即选项C错误；
对于选项D，，即选项D正确．
故选：．
由独立事件与对立事件，结合条件概率逐一判断即可得解．
本题考查了独立事件与对立事件，重点考查了条件概率，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，将名相邻女生看成一个元素，与名男生共个元素排成一排，共有种排法，
又因为名相邻女生有种排法，因此不同的排法种数是种，故A正确；
对于，分两步完成：第一步，将名男生排成一排，有种排法；
第二步，排名女生．由于名女生不相邻，
故可在名男生之间及两端的个位置中选出个排名女生，有种排法．
根据分步计数原理，不同的排法种数是种，故B错误；
对于，每个小球放入盒子时，都有种放法，
因此种不同的放法，故C正确；
对于，第一步，先选一个不放球的盒子有种情况，
第二步，在放球的个盒子中选一个用来放两个球有种情况，
第三步，四个球中选个放进第二步选中的盒子有种，
第四步，把剩下的两个球放进剩下的两个盒子里，一个球一个盒子，有种情况，
所以共有种不同的放法，故D错误．
故选：．
利用捆绑法可判断；利用插空法可判断；每个小球放入盒子时，都有种放法，利用分步计数原理可判断；先选一个不放球的盒子，在放球的个盒子中选一个用来放两个球，利用分步计数原理可判断．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
令，可得，故A正确．
再令，可得，
由于，即展开式各项系数和系数和，
故，，故B错误．
由题意，，
显然，除了最后一项外，其余各项均能被整除，除以所得的余数是，故C正确．
把函数两边同时对求导数，可得，
再令，可得，故D正确．
故选：．
通过给赋值、求导数，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求函数的导数，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：当且时，为的中点，取的中点，连接，则，则不成立，故A错误，

B.当且时，为的中点，取的中点，
则平面，即，
若，则，则，
四边形长方形，不成立，故AB不成立，故B错误，

C.当时，在线段上，当为的中点时，，，，
则的周长，
当在处时，，，则的周长，则的周长不是定值，故C错误，

D.当时，在线段上，，
则的面积是定值，到平面的距离是定值，则是定值，即三棱锥的体积为定值，故D正确．

故选：．
A.且时，为的中点，根据直线平行的判定定理进行判断即可．
B.当且时，为的中点，根据线面垂直的判定定理得到矛盾．
C.当时，在线段上，分别取两个特殊位置，计算出周长进行判断即可．
D.利用三棱锥的体积公式，利用体积相等，进行转化判断即可．
本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据条件判断的位置，利用线面平行或垂直的判定定理进行判断是解决本题的关键，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可得：事件“取到的两个为同一种馅”的基本事件的个数为，
事件“取到的两个都是艾香粽”的基本事件的个数为，
则．
故答案为：．
由古典概型，结合条件概率求解即可．
本题考查了古典概型，重点考查了条件概率，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．
由题意依次求出中，项的系数，进而即可得解．

【解答】

解：的展开式通项公式为，
当时，，当时，，
的展开式中的系数为．
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】解：第一个学校去名教师第二个学校去名教师，有种方法；
第一个学校去名教师第二个学校去名教师，有种方法；
第一个学校去名教师第二个学校去名教师，有种方法，
则共有种不同的安排方式．
故答案为：．
分种情况分类讨论，第一个学校去名教师第二个学校去名教师；第一个学校去名教师第二个学校去名教师；第一个学校去名教师第二个学校去名教师，计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 

16.【答案】  

【解析】解：，
，
则两边平方可得，，即，解得，
，
故在上的投影向量的坐标为．
故答案为：；．
将两边同时平方，即可求解第一空，再结合投影向量的公式，即可求解第二空．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
 

17.【答案】解：，，，
则，
，且，
则存在非零实数，使得，
故，解得，
所以或；
，，
则，
向量与互相垂直，
，解得． 

【解析】根据已知条件，结合向量共线的性质，以及向量模公式，即可求解；
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量平行、垂直的性质，属于基础题．
 

18.【答案】解：没有重复数字的四位数，首位从，，，，中任选一个，有种，
后面的三位从剩下的个数中任意选共有种，共有个；
比大且没有重复数字的自然数，
当这个数为四位数时，首位从，，，中选一个有种选法，
再从剩下的个数中任选个，有种选法，
共有种；
当这个数为五位数时，共有种选法；
当这个数为六位数时，共有种选法；
故共有种，
所以比大的自然数有个；
没有重复数字的能被整除的四位数，
能被整除，分两种情况；
当后两位为时，有种；
当后两位为时，不能在首位，共有种，
共有，
故没有重复数字的能被整除的四位数有个． 

【解析】注意首位不能为，然后由分步计数原理求解即可；
分这个数为四位数，五位数，六位数讨论，然后由加法原理得解；
能被整除，分两种情况；当后两位为时以及当后两位为时，然后由加法原理得解．
本题考查排列组合的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

19.【答案】证明：平面，平面，
，
，为的中点，
，又，，平面，
平面，
如图，以所在直线为轴，平面内过作的垂线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，
，，，
，，
即，，又，，平面，
平面．
解：，由知平面的一个法向量为，
则到平面的距离为．
解：平面的一个法向量为，
设为平面的法向量，
由得，，
，即，
取，则平面的法向量，
，
由图可知二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为． 

【解析】以所在直线为轴，过作的垂线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，确定向量坐标，利用数量积为，即可证得结论；
，平面的法向量取，利用距离公式可求点到平面的距离；
分别求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得二面角的余弦值．
本题考查向量知识的运用，考查线面垂直，考查面面角，考查点到面的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题可知，的可能取值为，，，
，
的分布列为：

．
设表示“乙组选出的名成员均为男性成员”，表示“甲组选出名女性成员”，表示“甲组选出名女性成员和名男性成员”，表示“甲组选出名男性成员”，
则，，，
，，，
则
． 

【解析】随机变量可能的取值有，，，从而得出其分布列，再计算期望即可；
根据条件概率和全概率的公式计算即可．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查全概率公式，是中档题．
 

21.【答案】解：因为在的展开式中第项为常数项，所以为常数项，所以，
所以展开式中所有项的二项式系数和为；
令，得到展开式中所有项的系数和为；
展开式中通项为，
令为整数，，得到，，，
所以展开式中所有的有理项有，，． 

【解析】本题考查了二项式定理的运用；关键是利用展开式的通项正确确定值；属于基础题．
由已知得到值然后由展开式的通项分别解答即可．
 

22.【答案】证明：因为，为的中点，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以；
解：取的中点，
因为为正三角形，所以，
过作与交于点，则，
所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
，是边长为的等边三角形，点在棱上，．
，，，
又，
所以，，
则，
所以点到直线的距离．
解：设，则，
因为平面，故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，又，
所以由，得，
令，则，，故，
因为二面角的大小为，
所以，
即，即，
得，即，得，所以，
又，所以，
故． 

【解析】根据线面垂直的性质定理进行证明即可．
建立坐标系，利用点到直线的距离公式进行求解即可．
求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
本题主要考查空间直线和直线垂直的判断，空间点到直线的距离以及空间几何体体积的计算，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题．