2021-2022学年江苏省连云港市东海县高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省连云港市东海县高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．

1．（5分）若复数满足，其中是虚数单位，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知向量，，当取最大值时，锐角的值为　　

A． B． C． D．

3．（5分）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　

A． B． C．3 D．

4．（5分）已知，，，，则的值为　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知，，是三个非零向量，则下列结论正确的有　　

A．若，则 B．若，，则 

C．若，则 D．若，则

6．（5分）函数，，则的最大值为　　

A．0 B． C．1 D．2

7．（5分）如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进若干米后到达处，又测得山顶的仰角为，已知山的高度为千米，则斜坡　　

A．千米 B．千米 C．1千米 D．1.5千米

8．（5分）在中，点为边上靠近的四等分点，，，，则　　

A．5 B．3 C． D．

二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．

9．（5分）已知复数，则下列结论正确的是　　

A．是实数 B． C．是纯虚数 D．

10．（5分）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是　　

A． B．若，则 

C．若，则 D．

11．（5分）在平面直角坐标系中，已知，，为坐标原点，下列说法正确的是　　

A．与平行的一个单位向量 

B．是与垂直的一个单位向量 

C．到的距离为 

D．在上的投影向量为

12．（5分）已知函数，则下列说法正确的是　　

A．是的一个周期 

B．的图象关于原点对称 

C．是图象的一条对称轴 

D．的最大值为

三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）中，角，，对的边为，，，若，则的形状为 　　．

14．（5分）复数，，其中是虚数单位，则的最大值为 　　．

15．（5分）在边长为3的等边中，，则　　．

16．（5分）已知，写出满足条件的的一个值 　　．

四、解答题：共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知复数满足（其中是虚数单位），且复数在复平面内对应的点在第一象限．

（1）求复数及；

（2）若，且是纯虚数，求实数的值．

18．（12分）在平行四边形中，与交于点，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

19．（12分）已知向量，，，，，且．

（1）求实数的值；

（2）若，且，求的值．

20．（12分）已知中，角，，的对边为，，，且．

（1）求；

（2）若，为边上的一点，，且，求的面积．

①是的平分线；

②为线段的中点．

（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）

21．（12分）国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于海里时，就会被警告．如图，设，是相距海里的两个观察站，满足，一外轮在点，测得，．

（1）当，时，该外轮是否被警告？

（2）当时，问处于什么范围内外轮不被警告？

22．（12分）在中，，，，为内一点，．

（1）若，求；

（2）若，求．

2021-2022学年江苏省连云港市东海县高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．

1．（5分）若复数满足，其中是虚数单位，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

则．

故选：．

2．（5分）已知向量，，当取最大值时，锐角的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

当时，，取最大值2，

故选：．

3．（5分）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　

A． B． C．3 D．

【解答】解：，

则，

故，解得．

故选：．

4．（5分）已知，，，，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，，，

，，

，

故选：．

5．（5分）已知，，是三个非零向量，则下列结论正确的有　　

A．若，则 B．若，，则 

C．若，则 D．若，则

【解答】解：对于选项，，即与同向，所以正确；

对于选项，对于三个非零向量，由平面向量共线定理可知，

存在非零实数和，若，则；若，则，所以，所以，即正确；

对于选项，左边，右边，

若左边右边，则，与无关系，即错误；

对于选项，对式子两边平方、化简得，即，所以正确；

故选：．

6．（5分）函数，，则的最大值为　　

A．0 B． C．1 D．2

【解答】解：因为

，

，，则，

所以当，即时，，

故选：．

7．（5分）如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进若干米后到达处，又测得山顶的仰角为，已知山的高度为千米，则斜坡　　

A．千米 B．千米 C．1千米 D．1.5千米

【解答】解：如图，延长交于，则，，

在中，，

所以，因为，所以所以，

在中，，所以，

在中，，，所以．

故选：．

8．（5分）在中，点为边上靠近的四等分点，，，，则　　

A．5 B．3 C． D．

【解答】解：设，则，，

，公用，则，

所以，解得，，

又，所以，

，

，

解得（负数舍去），．

故选：．

二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．

9．（5分）已知复数，则下列结论正确的是　　

A．是实数 B． C．是纯虚数 D．

【解答】解：设，，，则，

对于，，故正确，

对于，，，故正确，

对于，，当时，为实数，故错误，

对于，令，则，，故错误．

故选：．

10．（5分）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是　　

A． B．若，则 

C．若，则 D．

【解答】解：根据正弦定理对各项进行分析：

对，在，因为，由正弦定理得，，故正确；

对，若，由正弦定理知，在三角形中，大边对大角，小边对小角，所以，故正确；

对，若，根据余弦函数的单调性，得，故错误；

对，由正弦定理得，可得，故正确．

故选：．

11．（5分）在平面直角坐标系中，已知，，为坐标原点，下列说法正确的是　　

A．与平行的一个单位向量 

B．是与垂直的一个单位向量 

C．到的距离为 

D．在上的投影向量为

【解答】解：，，

，，则，且，则是与平行的一个单位向量，故正确；

记，且，与不垂直，故错误；

，，，则，可得到的距离为，故正确；

，在上的投影向量为，故正确．

故选：．

12．（5分）已知函数，则下列说法正确的是　　

A．是的一个周期 

B．的图象关于原点对称 

C．是图象的一条对称轴 

D．的最大值为

【解答】解：由题可知，函数，

，

．

设，

则，

则，是关于的二次函数．

项，的周期即的周期为，故项正确；

项，因为，则，

又，

故函数的图象不关于原点对称，故项错误；

项，由题可知，，

令，故，

，对称轴为，

，对称轴为，

故与存在公共对称轴，即．

故的对称轴为，当时，，故项正确；

项，因为，故在的范围内，的值域为，故项正确．

故选：．

三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）中，角，，对的边为，，，若，则的形状为 　直角三角形　．

【解答】解：利用正弦定理，边角转换得，

又因为，

所以，

所以，

因为中，，

所以，

所以为直角三角形，

故答案为：直角三角形．

14．（5分）复数，，其中是虚数单位，则的最大值为 　　．

【解答】解：，，

，

当时，则的最大值为．

故答案为：．

15．（5分）在边长为3的等边中，，则　　．

【解答】解：

，

故答案为：．

16．（5分）已知，写出满足条件的的一个值 　或，　．

【解答】解：，

，

，

或，，

满足条件的的一个值可为，

故答案为：或，．

四、解答题：共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知复数满足（其中是虚数单位），且复数在复平面内对应的点在第一象限．

（1）求复数及；

（2）若，且是纯虚数，求实数的值．

【解答】解：（1）由题设，，，

由得，

即，，

得，

所以，．

（2）由于，则，

因为是纯虚数，

所以，解得，

故实数的值为1．

18．（12分）在平行四边形中，与交于点，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【解答】解：（1）因为在平行四边形中，与交于点，

由向量的加减运算法则可知，，，

所以，

因为，，

所以，即；

（2）由（1）知，

因为，所以，

又因为，

即，

所以，

解得：，

即的值为10．

19．（12分）已知向量，，，，，且．

（1）求实数的值；

（2）若，且，求的值．

【解答】解：（1）因为，所以，得．

因为向量，，

所以，

即．

因为，所以，

又，则．

（2）由（1）得，

因为，所以，即．

又，，

则，所以，即．

因为，所以，

则，

所以．

20．（12分）已知中，角，，的对边为，，，且．

（1）求；

（2）若，为边上的一点，，且，求的面积．

①是的平分线；

②为线段的中点．

（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）

【解答】解：（1）因为，

在中由正弦定理，得，

据此可得，

结合三角形的性质和同角三角函数基本关系可得，

所以．

（2）由（1）知且，

在中利用余弦定理，得，

整理变形即．

若选择条件①，解析如下：

结合为角平分线可得，

则有，

即，

则，即，

将式代入得，

即或（负值需要舍去），

故三角形的面积．

若选择条件②，解析如下：

由为线段的中点得，

即，

则，即，

又，解得

故三角形的面积．

21．（12分）国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于海里时，就会被警告．如图，设，是相距海里的两个观察站，满足，一外轮在点，测得，．

（1）当，时，该外轮是否被警告？

（2）当时，问处于什么范围内外轮不被警告？

【解答】解：设外轮到我国海岸线的距离，

（1）在中，，，则，

所以，

在中，，

因为，

所以，

因为当外轮与我国海岸线的距离小于或等于海里时，就会被警告，

故该向外轮发出警告，令其退出我国海域；

（2）因为设，是相距海里的两个观察站，满足，一外轮在点，测得，，

所以当时，，

在中，由正弦定理得：，

代入数据解得，

，

因为当外轮与我国海岸线的距离小于或等于海里时，就会被警告，

所以要使不被警告，则，即，

解得，

又因为，

所以，

由得，

解得，

所以，当时外轮不被警告．

22．（12分）在中，，，，为内一点，．

（1）若，求；

（2）若，求．

【解答】解：（1）在中，，，，

由余弦定理得：，

即，

则即，

所以．

在中，由正弦定理得：，

即，

解得，所以，

所以，

所以，

在中，由余弦定理得：，

即，

所以．

（2）因为，，

所以，

设，则，

所以，

在中，，

在中，由正弦定理得：，

即，

所以，，

解得：．

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