2021-2022学年江苏省南京市浦口区江浦高级中学高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省南京市浦口区江浦高级中学高一（下）期中数学试卷

一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）的值为　　

A． B． C． D．

2．（5分）设，则　　

A．2 B． C． D．1

3．（5分）已知，，，则　　

A． B．1 C．3 D．

4．（5分）随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长．浦口区的张先生计划在住的小区内开一家菜鸟驿站，为了确定驿站规模的大小，他统计了隔壁小区的菜鸟驿站和快宝驿站一周的日收件量（单位：件），得到折线图如下，则下列说法不正确的是　　

A．菜鸟驿站一周的日收件量的极差小于快宝驿站一周的日收件量的极差 

B．菜鸟驿站星期三的日收件量小于快宝驿站星期六的日收件量 

C．菜鸟驿站日收件量的平均值大于快宝驿站的日收件量的平均值 

D．菜鸟驿站和快宝驿站的日收件量的方差分别记为，，则

5．（5分）在中，，，，则　　

A． B． C．或 D．

6．（5分）已知，则的值是　　

A． B． C． D．

7．（5分）圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为，则表高（即的长）为　　

A． B． 

C． D．

8．（5分）若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当，时，，若函数在区间恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是　　

A． B． C．， D．，

二、选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．（5分）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是　　

A．若，则或 

B．若，则的虚部为 

C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 

D．若，则点的集合所构成的图形的面积为

10．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是　　

A．若，则 

B．若，，，则为钝角三角形 

C．若，则一定是等腰三角形 

D．若，则符合条件的三角形不存在

11．（5分）若不共线向量、满足，则下列结论中正确的是　　

A．向量、的夹角恒为锐角 B． 

C． D．

12．（5分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则　　

A． B．角的取值范围是 

C．的取值范围是 D．的取值范围是

三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）设一组样本数据，，，的方差为0.01，则数据，，，的方差为 　　．

14．（5分）已知是单位向量，与的夹角是，且，则　　．

15．（5分）在菱形中，，为菱形所在平面内的一点，则的最小值为 　　．

16．（5分）已知函数．当时，关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是 　　．

四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）若复数，当实数为何值时

（1）是实数；

（2）是纯虚数；

（3）对应的点在第二象限．

18．（12分）在中，内角、、的对边分别为、、，已知．

（1）求角的大小；

（2），求周长的取值范围．

19．（12分）南京市某报社发起过建党100周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，打算从众多文章中选取60篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在，之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这60篇文章中抽出20篇文章，并邀请相应作者参加座谈会．求从年龄在，的作者中选出参加座谈会的人数；

（3）根据频率分布直方图，求这60位作者年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和80百分位数（结果保留一位小数）．

20．（12分）如图，在边长为4的正中，为的中点，为中点，，令，．

（1）试用、表示向量；

（2）延长线段交于，求的值．

21．（12分）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为5 ，与小岛相距为．为钝角，且．

（1）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；

（2）记为，为，求的值．

22．（12分）已知平面向量，，，函数，．

（1）若，求方程的实数解；

（2）若在上有两个零点、，求实数的取值范围，并证明：．

2021-2022学年江苏省南京市浦口区江浦高级中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：

．

故选：．

2．（5分）设，则　　

A．2 B． C． D．1

【解答】解：由，得．

故选：．

3．（5分）已知，，，则　　

A． B．1 C．3 D．

【解答】解：，，且，

，解得．

故选：．

4．（5分）随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长．浦口区的张先生计划在住的小区内开一家菜鸟驿站，为了确定驿站规模的大小，他统计了隔壁小区的菜鸟驿站和快宝驿站一周的日收件量（单位：件），得到折线图如下，则下列说法不正确的是　　

A．菜鸟驿站一周的日收件量的极差小于快宝驿站一周的日收件量的极差 

B．菜鸟驿站星期三的日收件量小于快宝驿站星期六的日收件量 

C．菜鸟驿站日收件量的平均值大于快宝驿站的日收件量的平均值 

D．菜鸟驿站和快宝驿站的日收件量的方差分别记为，，则

【解答】解：对于，菜鸟驿站一周的日收件量的极差为：，

快宝驿站一周的日收件量的极差为，

菜鸟驿站一周的日收件量的极差小于快宝驿站一周的日收件量的极差，故正确；

对于，菜鸟驿站星期三的日收件量为130，快宝驿站星期六的日收件量为160，

菜鸟驿站星期三的日收件量小于快宝驿站星期六的日收件量，故正确；

对于，菜鸟驿站日收件量的平均值为：，

宝驿站的日收件量的平均值为：，

菜鸟驿站日收件量的平均值大于快宝驿站的日收件量的平均值，故正确；

对于，菜鸟驿站和快宝驿站的日收件量的方差分别记为，，

，

，

，故错误．

故选：．

5．（5分）在中，，，，则　　

A． B． C．或 D．

【解答】解：由，可得，

有正弦定理可知，，

即，

，

，

或，

故选：．

6．（5分）已知，则的值是　　

A． B． C． D．

【解答】解：设．

故选：．

7．（5分）圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为，则表高（即的长）为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由题可知：，

在中，由正弦定理可知：，即，

则，

又在中，，

所以，

故选：．

8．（5分）若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当，时，，若函数在区间恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是　　

A． B． C．， D．，

【解答】解：由题意，令，，则，，

．

．

对任意，都有，

令，则，，

是以2为周期的周期函数．

故函数在区间上的大致图象如下：

函数在区间恰有3个不同的零点，

的图象与在区间恰有3个不同的交点．

根据图，当经过点时，有两个交点，

此时（1），解得．

当经过点时，有4个交点，

此时（3），解得．

当时，恰有3个不同的交点，

即函数在区间恰有3个不同的零点．

故选：．

二、选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．（5分）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是　　

A．若，则或 

B．若，则的虚部为 

C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 

D．若，则点的集合所构成的图形的面积为

【解答】解：由，可得，且，故错误；

若，则的虚部为，故错误；

若点的坐标为，则对应的点的坐标为，在第三象限，故正确；

若，则点的集合所构成的图形的面积为，故正确．

故选：．

10．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是　　

A．若，则 

B．若，，，则为钝角三角形 

C．若，则一定是等腰三角形 

D．若，则符合条件的三角形不存在

【解答】解：对于，，又，，故正确；

对于，若，，，则，最大角为锐角，则为锐角三角形，故错误；

对于，若，则，即，

或，即或，则是等腰三角形或直角三角形，故错误；

对于，若，由正弦定理得，，

符合条件的三角形不存在，故正确．

故选：．

11．（5分）若不共线向量、满足，则下列结论中正确的是　　

A．向量、的夹角恒为锐角 B． 

C． D．

【解答】解：对于，因为不共线向量满足，所以由向量组成的三角形是等腰三角形，

且向量是底边，所以向量的夹角恒为锐角，正确；

对于，，

，所以不正确；

对于，，

即，故，

又，

，，故正确；

对于，若，类似中，平方后化简可得，

所以有，即，

而不一定成立，

例如，所以不正确．

故选：．

12．（5分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则　　

A． B．角的取值范围是 

C．的取值范围是 D．的取值范围是

【解答】解：因为，所以，

所以或．

因为，所以，

所以，则，故正确．

因为，所以．

因为是锐角三角形，

所以，

即，解得，

所以，

利用正弦定理：，故错误，正确．

因为，所以，

所以，则正确．

故选：．

三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）设一组样本数据，，，的方差为0.01，则数据，，，的方差为 　1　．

【解答】解：因为样本数据，，，的方差为0.01，

所以数据，，，的方差为．

故答案为：1．

14．（5分）已知是单位向量，与的夹角是，且，则　2　．

【解答】解：是单位向量，与的夹角是，

由，得，

，

所以，

或（舍去）．

故答案为：2．

15．（5分）在菱形中，，为菱形所在平面内的一点，则的最小值为 　　．

【解答】解：建立如图所示直角坐标系，

则，，，

所以

，，

，

故答案为：．

16．（5分）已知函数．当时，关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是 　，　．

【解答】解：由，有，，

则，

而原方程可化为，可得，或，

所以有一个实数解且有两个不同的实数解或有一个实数解且有两个不同的实数解．当或时，无解，不符合题意；当时，则，有一个实数解，有两个不同实数解，符合题意；当时，则，有两个不同的实数解，有一个实数解，符合题意；当时，则，有一个实数解，至多有一个实数解，不符合题意．综上所述，的取值范围为：，．故答案为：，．

四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）若复数，当实数为何值时

（1）是实数；

（2）是纯虚数；

（3）对应的点在第二象限．

【解答】解：（1）由题意可得：，

解得：或2；

（2）由题意可得：，且，

或，且且，

；

（3）由题意可得：，

解得：．

18．（12分）在中，内角、、的对边分别为、、，已知．

（1）求角的大小；

（2），求周长的取值范围．

【解答】解：（1），

由正弦定理，得，

，

，，得；

（2）根据（1）中所求，，又，

由余弦定理可得，

则，即，

当且仅当时取得等号，又，，

周长的取值范围为，．

19．（12分）南京市某报社发起过建党100周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，打算从众多文章中选取60篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在，之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这60篇文章中抽出20篇文章，并邀请相应作者参加座谈会．求从年龄在，的作者中选出参加座谈会的人数；

（3）根据频率分布直方图，求这60位作者年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和80百分位数（结果保留一位小数）．

【解答】解：（1）频率分布直方图知：，

．

（2）按分层抽样抽出的20篇最佳文章的作者，

年龄落在，的有2人，

年龄落在，的有3人，共5人．

（3）样本平均数岁，

参赛作者年龄的第80百分位数为．

20．（12分）如图，在边长为4的正中，为的中点，为中点，，令，．

（1）试用、表示向量；

（2）延长线段交于，求的值．

【解答】解：（1）

；

（2）设，

，

由与共线，可知存在使得，即，

即，则，解得，即，

，

所以

．

21．（12分）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为5 ，与小岛相距为．为钝角，且．

（1）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；

（2）记为，为，求的值．

【解答】解：（1），且为钝角，，

在中，由余弦定理可得，

，即，

解得：或（舍去）．

小岛与小岛之间的距离为2 ．

、、、四点共圆，与互补，则，

．

在中，由余弦定理得：，

，得，

解得（舍去）或．

（平方；

（2）在中，由正弦定理得：，

即，解得．

，为锐角，则，

又，

，

．

22．（12分）已知平面向量，，，函数，．

（1）若，求方程的实数解；

（2）若在上有两个零点、，求实数的取值范围，并证明：．

【解答】解：（1），，

若，则，得方程，

当或时，解方程，得或（舍，

当时，解方程，得（舍，

综上所述，；

（2）证明：当时，，

当，时，是单调函数，至多只有一个零点，

当时，假设有两个零点、，则，出现矛盾，

因此必有，

由，得，所以，

由，得，

显然函数在上递减，故，

故实数的取值范围是，

又由以及，消去，整理得，

即，

由于，故．

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