2022-2023学年江苏省连云港市锦屏高级中学等四校高二下学期期中联考数学试题含解析

江苏省连云港市锦屏高级中学等四校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．正方体中，化简（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.

【详解】.

故选：C.

2．连镇高铁沿线共设连云港、淮安、扬州、镇江等11个客运站，则铁路部门需要准备（    ）种不同的车票．

A．22 B．55 C．121 D．110

【答案】D

【分析】整个线路共个站点，每两个站点需要一个车票，再根据排列即可得解.

【详解】连镇高铁沿线共设连云港、淮安、扬州、镇江等11个客运站，

则铁路部门需要准备种不同的车票．

故选：D.

3．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是（　　）

A．第8项 B．第7项

C．第9项 D．第10项

【答案】C

【分析】由二项式展开式的性质，分别与首末项等距离的两项的二项式系数相等，即可知与第3项二项式系数相同的项

【详解】由知：二项展开式共11项，第3项二项式系数为，

∴根据对称性，与第3项二项式系数相同的项系数为，即为第9项.

故选：C

4．已知直线，且l的方向向量为，平面的法向量为，则（    ）

A．1 B． C． D．8

【答案】C

【分析】利用直线与平面平行的方向向量与平面法向量的关系及向量共线定理即可求解.

【详解】设直线的方向向量为，平面的法向量为，

由，可得，即，解得.

故选：C.

5．市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为，且三家工厂的次品率分别为，则市场上该品牌产品的次品率为（    ）

A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.05

【答案】B

【分析】利用全概率公式求解即可.

【详解】设分别表示买到一件甲、乙、丙的产品；表示买到一件次品，

由题意有，

由全概率公式，得

.

故选：B.

6．已知点，若点P满足，则（    ）．

A．37 B． C．57 D．

【答案】B

【分析】通过条件，利用空间向量的坐标运算得到，从而得到，再利用空间向量的模长公式即可求出结果.

【详解】设，

因为，

所以， ，

又因，

所以，得到，

所以，，

所以，

故选：B.

7．随机变量X的分布列如表所示，若，则（    ）

A．3 B． C．5 D．9

【答案】C

【分析】由，利用随机变量X的分布列列出方程组，求出，，由此能求出，再由，能求出结果．

【详解】，由随机变量X的分布列得：

，解得，

，

.

故选：C．

8．已知正四面体中， ，则直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设正四面体的棱长为4，选定空间的一组基底，由它表示出与，利用空间向量的数量积即可得解.

【详解】设正四面体的棱长为4，令，则，且，如图：

，由余弦定理可得，

，，

显然，同理，，

，

设直线与所成角为，则，

所以直线与所成角的余弦值为.

故选：B

二、多选题

9．已知分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论正确的是（    ）

A． B．若，则A，B独立

C．若A，B独立，则 D．

【答案】ABD

【分析】根据随机事件的概率、独立事件、条件概率等知识确定正确答案.

【详解】A选项，根据随机事件的概率的知识可知，A选项正确.

B选项，根据独立事件的知识可知，，则相互独立，B选项正确.

C选项，若独立，则，C选项错误.

D选项，表示在事件发生的情况下事件发生的概率，

表示在事件发生的情况下事件发生的概率，

所以，所以D选项正确.

故选：ABD

10．下列说法正确的是（    ）

A．4男2女站成一排，若2名女生相邻，有240种排法．

B．4男2女站成一排，若2名女生不相邻，有240种排法．

C．4个不同的球放入4个不同的盒中，有256种不同的放法．

D．4个不同的球放入4个不同的盒中（恰有1个空盒），有216种不同的放法．

【答案】AC

【分析】利用捆绑法可判断A；利用插空法可判断B；每个小球放入盒子时，都有4种放法，利用分步计数原理可判断C；先选一个不放球的盒子，在放球的3个盒子中选一个用来放两个球，利用分步计数原理可判断D.

【详解】对于A，将2名相邻女生看成一个元素，与4名男生共5个元素排成一排，共有种排法，又因为2名相邻女生有种排法，因此不同的排法种数是种，故A正确；

对于B，分两步完成：第一步，将4名男生排成一排，有种排法；第二步，排2名女生．由于2名女生不相邻，故可在4名男生之间及两端的5个位置中选出2个排2名女生，有种排法．根据分步计数原理，不同的排法种数是种，故B错误；

对于C，每个小球放入盒子时，都有4种放法，因此4×4×4×4＝256种不同的放法，故C正确；

对于D，第一步：先选一个不放球的盒子有4种情况，第二步：在放球的3个盒子中选一个用来放两个球有3种情况，第三步：四个球中选2个放进第二步选中的盒种有＝6种，第四步：把剩下的两个球放进剩下的两个盒子里，一个球一个盒子，有2种情况，所以共有4×3×6×2＝144种不同的放法，故D错误.

故选：AC.

11．已知，则（    ）

A． B．

C．除以5所得的余数是1 D．

【答案】ACD

【分析】对于选项A，通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项B，通过展开式的通项公式，得到，再通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项C，通过，再利用二项展开式展开即可判断出结果的正误；对于选项D，通过对等式两边同时求导，再进行赋值即可得出结果的正误.

【详解】选项A，因为，令，得到，所以选项A正确；

选项B，因为二项展开式的通项公式为，

由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数，所以，

由，令，得到，

令，得到，

所以，所以选项B错误；

选项C，因为，

所以除以5所得的余数是1，选项C正确；

对于选项D，因为，

两边同时对求导，得到，

令，得到，所以选项D正确.

故选：ACD.

12．在正三棱柱中，，点P满足，其中，则下列说法错误的是（    ）

A．当且时，有

B．当且时，有

C．当时，的周长为定值

D．当时，三棱锥的体积为定值

【答案】ABC

【分析】当且时，点为棱的中点，可判定是异面直线，即可判断A；当且时，点是棱中点，计算可判断B；当时，点在棱上，分别计算，时的周长，即可判断C；当时，点在棱上，利用线面平行的性质以及棱锥的体积公式，即可判断D.

【详解】对于A，当且时，，则点为棱的中点，如图，

因为平面，平面，，平面，所以是异面直线，故A错误；

对于B，当且时，，则点是棱中点，如图，

因为

，

所以与不垂直，故B错误；

对于C，当时，，则，点在棱上，周长为，如图，

当时，点为棱中点，，

当时，点与点重合，，

从而可知的周长不是定值，故C错误；

对于D，当时，，则，点在棱上，如图，

因平面平面，则平面，因此点到平面距离为定值，

而面积是定值，即有三棱锥的体积为定值，故D正确.

故选：ABC.

三、填空题

13．端午节思原煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽．思原随机取出两个，事件A“取到的两个为同一种馅”，事件B“取到的两个都是艾香粽”，则____________．

【答案】

【分析】由题意求出，利用条件概率的公式求解.

【详解】思原煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽，思原随机取出两个，共有种取法，

又事件“取到的两个为同一种馅”，事件“取到的两个都是艾香粽”，

，

所以.

故答案为：.

14．的展开式中的系数为________________（用数字作答）．

【答案】-28

【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】因为，

所以的展开式中含的项为，

的展开式中的系数为-28

故答案为：-28

15．某学校安排6名高三教师去2个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有2名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有_____________种．

【答案】50

【分析】分3种情况分类讨论，第一个学校去2名教师第二个学校去4名教师；第一个学校去3名教师第二个学校去3名教师；第一个学校去4名教师第二个学校去2名教师，计算可得答案.

【详解】第一个学校去2名教师第二个学校去4名教师，有种方法；

第一个学校去3名教师第二个学校去3名教师，有种方法；

第一个学校去4名教师第二个学校去2名教师，有种方法，

则共有种不同的安排方式.

故答案为：50．

16．已知向量满足，且，则_________，在上的投影向量的坐标为______________．

【答案】         

【分析】对两边平方后得到，代入投影向量的公式进行求解即可得投影向量的坐标.

【详解】两边平方化简得：，①

因为，所以，

又，代入①得：，解得：，

，

所以，在上的投影向量坐标为

．

故答案为：2，．

四、解答题

17．已知空间中三点，，，设，.

(1)若，且，求向量；

(2)已知向量与互相垂直，求的值.

【答案】(1)或；

(2).

【分析】（1）由可得存在非零实数，使得，根据向量的坐标运算结合，即可求解；

（2）根据向量垂直的条件即可解答.

【详解】（1）∵，，，

∴，

又，且，

∴存在非零实数，使得，

∴，

∴，

∴或；

（2），，

∴，

∵向量与互相垂直，

∴，解得，

故.

18．用0，1，2，3，4，5这6个数字可组成多少个：

(1)没有重复数字的四位数？

(2)比2000大且没有重复数字的自然数？

(3)没有重复数字且被25整除的四位数？

【答案】(1)个

(2)个

(3)个

【分析】（1）首位从，，，，中任选一个，后面的三位从剩下的个数中任意选，求解即可；

（2）分三种情况讨论：四位数，五位数，六位数，分别求解再相加；

（3）分两种情况：后两位为时；后两位为时，分别求解再相加.

【详解】（1）用，，，，，可组成没有重复数字的四位数，

首位从，，，，中任选一个，有种，

后面的三位从剩下的个数中任意选共有种，

所以，没有重复数字的四位数有个；

（2）比大且没有重复数字的自然数，

当四位数时，首位从，，，中选一个有种选法，再从剩下的个数中任选个，有种选法，共有种，  

当五位数时，共有种选法，                       

当六位数时，共有种选法，  

故共有种，所以比大的自然数有个．

（3）没有重复数字的能被整除的四位数，分两种情况：

当后两位为时，有种；

当后两位为时，不能在首位，共有种，

共有，故没有重复数字的能被整除的四位数有个．

19．如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，，分别是，的中点．

（）求证：平面．

（）求二面角的余弦值．

（）求点到平面的距离．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【详解】（）证明：∵平面，平面，∴，

∵是等边三角形，∴，又，

∴平面，

以为原点建立空间直角坐标系如图所示：

则，，，，，

∴，，，

∴，，∴，，

又，∴平面．

（），，

设平面的法向量为，则，∴，

令得，又为平面的法向量，

∴二面角的余弦值为 ．

（），，

∴直线与平面所成角的正弦值为，

∴点到平面的距离为．

20．本市某制药企业有甲、乙两个研发小组，甲组有3名女性和4名男性成员，乙组有1名女性和2名男性成员．为公平竞争，现从甲组任选2名成员加入乙组．

(1)记随机变量X表示从甲组选出的男性成员个数，求X的概率分布与数学期望；

(2)调整后从乙组任选2名成员，求他们均为男性成员的概率．

【答案】(1)分布列见解析，

(2)

【分析】（1）随机变量 可能的取值有 ，从而得出其分布列，再计算期望即可；

（2）根据条件概率和全概率的公式计算即可.

【详解】（1）由题可知，随机变量 可能的取值有 ，

所以    

 的分布列为

所以 ．

（2）设表示“名成员均为男性成员”，表示“甲组选出的2名女性成员”，表示“甲组选出的1名女性成员和1名男性成员”，表示“甲组选出的2名女性成员”，

则，，，

，，，

则

．

21．已知在的展开式中第6项为常数项．

(1)求展开式中所有项的二项式系数和；

(2)求展开式中所有项的系数和；

(3)求展开式中所有的有理项．

【答案】(1)

(2)

(3)，，

【分析】（1）根据题意求出，再根据二项式系数的性质即可得解；

（2）令，即可得解；

（3）求出二项展开式的通项，令的指数为整数，即可得出答案.

【详解】（1）解：因为在的展开式中第项为常数项，

所以为常数项，所以，

所以展开式中所有项的二项式系数和为；

（2）解：令，得到展开式中所有项的系数和为；

（3）解：展开式中通项为，

令为整数，，得到，

时，；

时，；

时，；

所以展开式中所有的有理项有，，．

22．如图，在三棱锥中，平面平面，O为的中点，是边长为1的等边三角形，点E在棱上，．

(1)证明：；

(2)当时，求点E到直线的距离；

(3)若二面角的大小为，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）由平面平面，证得平面，进而证得；

（2）取的中点，过作与交于点，可得，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求出，可得，点到直线的距离为，计算即可；

（3）设，求出平面和平面的法向量，由二面角的大小为求出的值，进而可求出三棱锥的体积.

【详解】（1）因为，为的中点，所以，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，又平面，

所以；

（2）取的中点，因为为正三角形，所以，

过作与交于点，则，

所以，，两两垂直，

以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，

，，，

又，

所以，则，

所以点到直线的距离为；

（3）设，则，

因为平面，故平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，又

所以由，得，

令，则，，故，

因为二面角的大小为，

所以，

解得，所以，         

又，所以，

故三棱锥的体积．