2021-2022学年江苏省苏州市木渎中学、震泽中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省苏州市木渎中学、震泽中学高一（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省苏州市木渎中学、震泽中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（5分）复数是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为　　A．16 B．18 C．27 D．363．（5分）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，　　A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则4．（5分）如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为21，则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为14，现从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为　　A． B． C． D．5．（5分）如果平面向量，，那么下列结论中正确的是　　A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量的模为6．（5分）已知外接圆半径为1，圆心为，若，则面积的最大值为　　A．2 B． C． D．17．（5分）在锐角三角形 中，内角，，所对的边分别为，，，，，则面积的取值范围为　　A．， B．， C．， D．，8．（5分）如图将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：①；②是等边三角形；③与所成的角为；④与平面所成的角为．其中错误的结论是　　A．① B．② C．③ D．④二、多项选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。9．（5分）连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，，记，则下列说法错误的是　　A．事件“”的概率为 B．事件“”的概率为 C．事件“”与“”互为对立事件 D．事件“是奇数”与“”为互斥事件10．（5分）在中，角，，对边分别为，，，设向量，且，则下列选项正确的是　　A． B． C． D．若的面积为，则11．（5分）计算下列各式的值，其结果为1的有　　A． B． C． D．12．（5分）在棱长为2的正方体中，点，分别是棱、的中点，则　　A． B．三棱锥外接球的表面积为 C．点到平面的距离为 D．平面截正方体所得的截面面积为三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，，7，，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的第60百分位数是 　　．14．（5分）如图所示，平面平面，，，直线与平面，所成的角分别为，，过，作两平面交线的垂线，垂足分别为，，则　　．15．（5分）已知向量与的夹角为，且，，则　　．16．（5分）如图所示，要修建一个形状为等腰直角三角形的广场，，且在广场外修建一块三角形草地，满足，．①若，则　　；②欲使、之间距离最长，则　　．四、解答题。本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知角的终边与单位圆交点的横坐标为，且，，，求下列式子的值：（1）；（2）．18．（12分）为了了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，，，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示．（1）求图中的值；（2）估计这种植物果实重量的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实，若所取样本容量，从该样本分布在，和，的果实中，随机抽取2个，求都抽到优质果实的概率．19．（12分）如图，在平行四边形中，，垂足为．（1）若，求的长；（2）设，，，，求的值．20．（12分）设、、三个事件两两相互独立，事件发生的概率，、、同时发生的概率是，、、都不发生的概率是．（1）试分别求出事件和事件发生的概率；（2）试求、、只有一个发生的概率．21．（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，满足．（1）求角；（2）是的角平分线，若的面积为，求的值．22．（12分）如图，四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使与平面所成的角为？若存在，求出有的值；若不存在，说明理由．
2021-2022学年江苏省苏州市木渎中学、震泽中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（5分）复数是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：，，，其对应点位于第二象限．故选：．2．（5分）某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为　　A．16 B．18 C．27 D．36【解答】解：设老年职工有人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有，，，即由比例可得该单位老年职工共有90人，在抽取的样本中有青年职工32人，每个个体被抽到的概率是，用分层抽样的比例应抽取人．故选：．3．（5分）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，　　A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【解答】解：对于，，且，根据线面垂直的判定定理，得，正确；对于，当，，时，与可能平行，也可能垂直，错误；对于，当，且时，与可能平行，也可能相交，错误；对于，当，且，时，与可能平行，也可能异面，错误．故选：．4．（5分）如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为21，则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为14，现从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为　　A． B． C． D．【解答】解：由条件可知，要使该图形为“和谐图形”，则从从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数的和是7，任选两个数包含，，，，，，，，，，共有10种情况，其中和为7的有，两种情况，所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率．故选：．5．（5分）如果平面向量，，那么下列结论中正确的是　　A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量的模为【解答】解：对于，，，选项错误；对于，由于，故不平行，选项错误；对于，，又，则与的夹角为，选项错误；对于，在的投影向量的模为，选项正确．故选：．6．（5分）已知外接圆半径为1，圆心为，若，则面积的最大值为　　A．2 B． C． D．1【解答】解：，，为边的中点，且为的外接圆圆心，为圆的直径，，边上的高为半径时，的面积最大．且外接圆半径为1，，，的面积最大为．故选：．7．（5分）在锐角三角形 中，内角，，所对的边分别为，，，，，则面积的取值范围为　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：，，可得：，，，，，，可得：，，，，可得：，，可得：，．故选：．8．（5分）如图将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：①；②是等边三角形；③与所成的角为；④与平面所成的角为．其中错误的结论是　　A．① B．② C．③ D．④【解答】解：取的中点，则，．面．，故①正确．设正方形边长为，则，．．为等边三角形，故②正确．为与面所成的角为，故④不正确．以为坐标原点，、、分别为，，轴建立直角坐标系， 则，0，，，，，，，，，0，．，，，，，．，，，，故③正确．故选：．二、多项选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。9．（5分）连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，，记，则下列说法错误的是　　A．事件“”的概率为 B．事件“”的概率为 C．事件“”与“”互为对立事件 D．事件“是奇数”与“”为互斥事件【解答】解：连掷一枚均匀的骰子两次，共有种情况；事件“”只有一种情况，故事件“”的概率为，故选项的说法错误；事件“”只有一种情况，故事件“”的概率为，故选项的说法错误；事件“”与“”可以同时发生，故选项的说法错误；事件“是奇数”与“”不能同时发生，故事件“是奇数”与“”为互斥事件，故选项的说法正确；故选：．10．（5分）在中，角，，对边分别为，，，设向量，且，则下列选项正确的是　　A． B． C． D．若的面积为，则【解答】解：中，角，，对边分别为，，，设向量，且，所以可得：，而，所以可得：，可得，由正弦定理可得：，所以可得或，可得或（舍所以正确，不正确．，所以所以，可得，所以，可得由正弦定理可得，所以正确；，由正弦定理可得，所以，即，整理可得：，所以，可得或，进而可得或，所以不正确；故选：．11．（5分）计算下列各式的值，其结果为1的有　　A． B． C． D．【解答】解：中，，所以正确；中，，所以不正确；中，，所以正确；中，，所以正确；故选：．12．（5分）在棱长为2的正方体中，点，分别是棱、的中点，则　　A． B．三棱锥外接球的表面积为 C．点到平面的距离为 D．平面截正方体所得的截面面积为【解答】解：对于，如图，取中点，连接，，由于是的中点，，而平面，平面，又平面，，若，又，，平面，平面，又平面，，但正方形中，是中点，不可能有，故选项错误；对于，设与交于点，则是的外心，取中点，连接则，平面，是三棱锥外接球的球心，，球的表面积为，故选项正确；对于，，，在中，，则，，设到平面的距离为，则由得，，解得，故选项正确；对于，连接，，易得，平面截正方体所得的截面即为等腰梯形，且，梯形的高为，，故选项正确．故选：．三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，，7，，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的第60百分位数是 　6　．【解答】解：由题意可知，众数是4，则中位数为，则，解得，又，则第60百分位数是6．故答案为：6．14．（5分）如图所示，平面平面，，，直线与平面，所成的角分别为，，过，作两平面交线的垂线，垂足分别为，，则　　．【解答】解：连接和，设，可得与平面所成的角为，在中，有，同理可得与平面所成的角为，，在△中，，．故答案为：．15．（5分）已知向量与的夹角为，且，，则　　．【解答】解：，；；；解得．故答案为：．16．（5分）如图所示，要修建一个形状为等腰直角三角形的广场，，且在广场外修建一块三角形草地，满足，．①若，则　　；②欲使、之间距离最长，则　　．【解答】解：①在中，由，，，得，，即，在等腰直角三角形中，可得，又，，由余弦定理可得，；②设，则，，则，在中，由正弦定理可得：，在中，由余弦定理可得，．当时，取最大值，此时．四、解答题。本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知角的终边与单位圆交点的横坐标为，且，，，求下列式子的值：（1）；（2）．【解答】解：（1）由题意知，，，所以．（2）因为，，，所以，又，所以，所以．18．（12分）为了了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，，，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示．（1）求图中的值；（2）估计这种植物果实重量的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实，若所取样本容量，从该样本分布在，和，的果实中，随机抽取2个，求都抽到优质果实的概率．【解答】解：（1）由题意，，；（2）平均数，，（3）果实重量在，和，内的分别有4个和3个，分别记为，，，，和，，，从中任取2个的取法有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种取法，其中都是优质果实的取法有，，，共3种取法，故所求概率．19．（12分）如图，在平行四边形中，，垂足为．（1）若，求的长；（2）设，，，，求的值．【解答】解：（1）在平行四边形中，，垂足为，则，又，则，即，即的长为3；（2）已知，，，则，在中由余弦定理可得：，又，则，则，则，又，则，则．20．（12分）设、、三个事件两两相互独立，事件发生的概率，、、同时发生的概率是，、、都不发生的概率是．（1）试分别求出事件和事件发生的概率；（2）试求、、只有一个发生的概率．【解答】解：（1）由题意得：（B）（C）．（A）（B）（C），即（B）（C）．解得：（B），（C）或（B），（C）．（2）设、、只有一个发生的概率为当（B），（C）时．则．当（B），（C）时，同理可得：．综上：、、只有一个发生的概率为．21．（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，满足．（1）求角；（2）是的角平分线，若的面积为，求的值．【解答】解：（1）由正弦定理及，知，化简得，，由余弦定理知，，因为，所以．（2）因为的面积，所以，由角分线定理知，，因为，，三点共线，所以，所以，即，化简得，，解得，所以，由（1）知，，所以．22．（12分）如图，四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使与平面所成的角为？若存在，求出有的值；若不存在，说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）连接，，．面，，而，，又，易得．由勾股定理逆定理得则，又平面，平面，．又，平面，，平面，又平面，平面平面．（Ⅱ）取中点，连接，，故，此时四边形为矩形，则，又平面，平面，．，平面，，平面，连接，就是与平面所成的角．，，在中，，．不难求到另一个点的位置为，所以，线段上存在点，使与平面所成的角为，此时或．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/30 14:58:34；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367