江苏省苏州市震泽中学2021-2022学年高一(杨班)下学期期中数学试题

2021~2022学年第二学期江苏省震泽中学期中测试（杨班）

高一数学

一､单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【1题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】由写出坐标，即可得到答案.

【详解】因为

所以，复数在复平面内对应的点为，在第一象限，

故选：A

2. 每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检（    ）

A 20家 B. 10家 C. 15家 D. 25家

【2题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】确定抽样比，即可得到结果.

【详解】解：根据分层抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检（家）.

故选：A.

3. 在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（    ）

A.  B.  C.  D.

【3题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件结合余弦定理求出即可得解.

【详解】在中，因，

由余弦定理得，而，

所以.

故选：D

4. 以下数据为参加数学竞赛决赛的人的成绩：（单位：分）、、、、、、、、、、、、、、，则这人成绩的第百分位数是

A.  B.  C.  D.

【4题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】将数据由小到大依次排列，找出第个数，可得出这人成绩的第百分位数.

【详解】将这人成绩由小到大依次排列为、、、、、、、、、、、、、、，

，因此，这人成绩的第百分位数是.

故选：D.

【点睛】本题考查百分位数计算，熟悉百分位数的定义是计算的关键，考查计算能力，属于基础题.

5. 如图，在有五个正方形拼接而成的图形中，（    ）

A.  B.  C.  D.

【5题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件可得，，结合正切函数的两角差公式，即可求解．

【详解】解：由图可得，，，

，

因为，，所以

．

故选：．

6. 已知m，n，l是不重合的三条直线，，，是不重合的三个平面，则（    ）

A. 若，，则 B. 若，，，则

C. 若，，，则 D. 若，，，，则

【6题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系对四个选项逐一分析判断，即可得到答案．

【详解】解：对于，若，，则或，故选项错误；

对于，若，，，则或与相交，故选项错误；

对于，若，，则平面内各作一条直线，，且与相交，

则，，又，

则，，又与相交，，在平面，则，故选项正确；

对于，若，，，，则或与相交，故选项错误．

故选：．

7. 古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为（    ）

A. 立方丈 B. 立方丈 C. 立方丈 D. 立方丈

【7题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】先利用上下底面圆的周长分别求得圆的半径，再利用圆台体积公式计算即可.

【详解】由题意得，下底半径（丈），上底半径（丈），高（丈），

所以它的体积为

所以(立方丈).

故选：B.

【点睛】本题考查了圆台的体积公式，属于基础题.

8. 已知点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的一点，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，写出、、、的坐标，设，通过平面向量的坐标运算得，，，从而得解．

【详解】解：建立平面直角坐标系如下，

则，，，，

设，，，，，

则，，

，，，

当时，取得最小值为，

故选：．

二､多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 下列说法中正确的是（    ）

A. 若，，则

B. 对于向量，，，有

C. 向量，能作为所在平面内的一组基底

D. 设，为非零向量，则“存在负数λ，使得”是“”的充分而不必要条件

【9题答案】

【答案】CD

【解析】

【分析】对四个选项一一验证：

A：取=进行判断；

B：当两向量方向未必相同；

C：按基底的定义进行进行判断；

D：分充分性和必要性进行判断.

【详解】A：因为零向量与任何向量平行，所以为时，不一定平行；故A错误；

B：与向量平行，与平行，而两向量方向未必相同，故B错误；

C：因为向量与不平行，所以向量，能作为所在平面内的一组基底；故C正确；

D：充分性：因为，为非零向量，，存在负数λ，使得，则，故充分性满足；

必要性：若，即，所以，所以不一定“存在负数λ，使得”，故必要性不满足.故D正确.

故选：CD

10. 某位同学连续抛掷质地均匀的骰子次，向上的点数分别为，，，，，，，，，，则这个数（    ）

A. 众数为和 B. 标准差为

C. 平均数为 D. 第百分位数为

【10题答案】

【答案】AC

【解析】

【分析】根据众数、标准差、平均数、百分位数的定义逐一运算判断即可.

【详解】A：因为和出现的次数均为，且出现的次数最多，因此众数为和，所以本选项说法正确；

B：这10个数的平均数为：，

标准差为：，

因此本选项不正确；

C：由选项B可知该选项正确；

D：一共有10个数，由，上述10个数是按照从小到大排列的，

所以第百分位数为，因此本选项不正确，

故选：AC

11. 正六角星形是人们普遍知道的犹太人标志，凡是犹太人所到之处，都可看到这种标志.正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成（如图一）.如图二所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，则（ ）

A. 向量，的夹角为120°

B. 若，则

C.

D. 若，则

【11题答案】

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据正三角形的性质结合向量运算法则即可判定.

【详解】根据正三角形中心的性质可得=选项正确；

C：由平行四边形法则可知，，

则

D：由平行四边形法则可知，若以，为基底分解，若，则ABC三点共线，与题矛盾，所以该选项错误.

故选：ABC

12. 如图，点M是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是（    ）

A. 二面角的大小为45°

B. 存在点，使得异面直线与所成的角为30°

C. 点M存在无数个位置满足

D. 点M存在无数个位置满足平面

【12题答案】

【答案】ACD

【解析】

【分析】结合选项逐个分析，选项A：二面角即为二面角,求出二面角的平面角即可判断；选项B：由则为异面直线与所成角，即可判断；选项C：连接,当M在上时满足条件，可判断；选项D: 可证明平面平面，从而可判断.

【详解】选项A：二面角即为二面角

在正方体中，

所以为二面角的平面角， 由

所以二面角的大小为45°，故选项A正确.

选项B：∵，∴为异面直线与所成角，

平面, 平面, 所以

在直角三角形中，

当M在线段上移动时，M取中点，的长最小为.

此时最小，正切值为，所以选项B错误.

选项C：连接,当M在上时，满足条件.

∵，，

∴平面, 当M上时,平面, 所以

∵当M在上时，满足条件.  故选项C正确.

选项D： 连接

，平面，平面

∴平面，

∵，平面，平面

∴平面

∵, ∴平面平面

当M在时，平面

∴平面，故选项D正确

故选：ACD

三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若向量，写出一个与向量方向相反且共线的向量__________.

【13题答案】

【答案】

【解析】

【分析】由，时，方向相反且共线，根据条件对赋值可得答案.

【详解】，时，方向相反且共线，

可取，可得.

故答案为：   (答案不唯一)

14. 若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且，，则该平面图形的面积为__________.

【14题答案】

【答案】

【解析】

【分析】先在直观图求出的长，然后利用原图与直观图的关系求出原图的面积

【详解】作，，因为，，

所以，.因此.

又根据斜二测画法的特征可得，在原图中

，，即原图为直角梯形，且高为直观图中的2倍，

所以该平面图形的面积为

.

故答案为：

15. 已知，，，，则的值为___________；的值为___________.

【15题答案】

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】先求得，，则根据，结合正弦的差角公式得到结果；再利用半角公式求得.

【详解】因为，，

所以，

因为，所以，

因为，所以，

所以，

则，

所以

16. 粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长都相等的正四棱锥，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，正四棱锥的高与蛋黄半径的比值为__________.

【16题答案】

【答案】

【解析】

【分析】设正四棱锥的棱长均为，球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥的五个面都相切， 由已知求出四棱锥的高，设球半径为r，求出表面积可得体积，四棱锥的高和半径作比可得答案.

【详解】设正四棱锥的棱长均为，球的体积要达到最大，

则需要球与四棱锥的五个面都相切，

则正四棱锥底面对角线长的一半为，

正四棱锥的高，

侧面底边上的高为，

设球半径为r，四棱锥的体积，

，

，

，，

所以.

故答案为： .

四､解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 设复数，为虚数单位）.

（1）若为实数，求m的值；

（2）若，且，求m的值.

【17题答案】

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）先化简，然后令其虚部为零，可求出m的值；

（2）先求出复数，再由列方程可求出m的值

【详解】（1）由于，

所以，解得；

（2）由于，

所以，解得.

18. 4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中a的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；

（2）若采用分层抽样的方法，从样本在［60，80）［80，100]内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率.

【18题答案】

【答案】（1），58分钟；（2）.

【解析】

【分析】(1)由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可得到的值；再将各区间的中点值乘以对应的频率，并求和，即可得到答案.

(2) 样本在［60，80）［80，100]内的学生的频率为0.3,0.2，即样本在［60，80），［80，100] 采用分层抽样的比例为3:2，再结合古典概率即可求解得出答案.

【详解】（1）由可得；

这1000名学生每日的平均阅读时间，分钟；

（2）由于，因此，［60，80）抽取了3人a，b，c，抽取了2人d，e，

则再从中抽取2人共有10种不同的抽取方法，

抽取的2人来自不同组共有6种可能，因此抽取的2人来自不同组的概率为.

19. 《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”.在直四棱柱中，E，F分别为线段与上的中点.

（1）求证：平面；

（2）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：__________⊥__________，使得三棱锥为“鳖臑”；并证明你的结论.

【19题答案】

【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析.

【解析】

【分析】（1）由已知得，再由线面平行的判定定理可得答案；

（2）若，则三棱锥为“鳖臑”；且为直角三角形；

可由平面，得，均为直角三角形，可得平面可得答案.

【详解】（1）证明：在直四棱柱中，

因为E，F分别为边与的中点，所以，

又因为，所以，因为平面，

平面，所以平面；

（2）若，则三棱锥为“鳖臑”；且为直角三角形；

证明：在直四棱柱中，平面，

所以，，所以，均为直角三角形；

因，，，，平面，

所以平面；

又因为平面，所以，所以为直角三角形，

因此，三棱锥的四个面均为直角三角形，三棱锥为“鳖儒”.

20. 某企业生产两种如下图所示的电路子模块R，Q：

要求在每个模块中，不同位置接入不同种类型的电子元件，且备选电子元件为A，B，C型.假设不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影响.在电路子模块R中，当1号位与2号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作.在电路子模块Q中，当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作.

（1）若备选电子元件A，B型正常工作的概率分别为0.9，0.8，依次接入位置1，2，求此时电路子模块R能正常工作的概率；

（2）若备选电子元件A，B，C型正常工作的概率分别为0.7，0.8，0.9，试问如何接入备选电子元件，电路子模块Q能正常工作的概率最大，并说明理由.

【20题答案】

【答案】（1）；（2）1号位接入电子元件C时，电路模块Q正常工作的概率最大.

【解析】

【分析】根据随机事件的概率计算公式求解答案.

【详解】（1）假设事件A，B，C分别表示电子元件A，B，C正常工作，电路子模块R不能正常工作的概率为，由于事件A，B互相独立，所以，

因此电路子模块R能正常工作概率为

（2）由于当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块Q才能正常工作，因此，

①若1号位元件为电子元件A，则电路子模块Q正常工作的概率为

；

②若1号位元件为电子元件B，则电路子模块Q正常工作的概率为

；

③若1号位元件为电子元件c，则电路子模块Q正常工作的概率为

；

因此，1号位接入元件C时，电路子模块Q正常工作的概率最大.

21. 从①；②；③这三个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答.

已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且__________.

（1）求角A的大小；

（2）若为锐角三角形，，求的周长的取值范围.

【21题答案】

【答案】选①②③答案均相同，（1），（2）.

【解析】

【分析】(1)选①由正弦定理得：，即，得到，从而得到角A；

选②由余弦定理和三角形的面积公式可得.，即，从而得出角A ；

选③ 由条件可得，由切化弦，结合和角公式可得，由正弦定理得，从而得出角A .

(2) 由正弦定理得：，，三角形的周长为，结合(1)中,则,以及为锐角三角形，可得出角的范围，从而可得出答案.

【详解】解：（1）若选①，在中，由正弦定理得：，

因为，A，B，，所以且，

因此，又，所以；

若选②，在中，由余弦定理得.，

所以，因为，

因此，且，故；

若选③，在中，，且

由正弦定理得：，故，；

（2）因为为锐角三角形，所以，，因此

由正弦定理得：，

因为，，

所以的周长为，

，

由于，所以的周长取值范围为.

22. 如图，在三棱锥中，，，，且，，两两夹角都为.

（1）若，求三棱锥的体积；

（2）若，求三棱锥的体积.

【22题答案】

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

【分析】(1) 由条件可得平面，求出的面积，可得到体积.

(2) 在线段上取点D，使得，连接，，可证明，，从而可求出，又由于，设点到平面的距离为，则点到平面的距离为，从而可得，得出答案.

【详解】(1)因为，，，，平面

所以平面，

因此.

（2）在线段上取点D，使得，连接，，

因为，，，

由于余弦定理可得：，

则,则 ，所以

同理可得：

则,则 ，所以

又因为，，平面，所以平面，

取的中点，连接，由，

所以

在中，,则,所以

在等腰三角形中，,,,

所以，

所以三棱锥的体积为.

由于，设点到平面的距离为

则点到平面的距离为

因此.