2021-2022学年江苏省苏州市昆山市经开高级中学高一（下）调研数学试卷（4月份）（含答案解析）

2021-2022学年江苏省苏州市昆山市经开高级中学高一（下）调研数学试卷（4月份）

1.  已知向量，，若，则实数的值为(    )

A. 0 B.  C. 1 D.

2.  设复数z满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列说法中，正确的个数为(    )
有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体；
棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥；
底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．

A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0

4.  (    )

A.  B.  C. 1 D.

5.  已知，且，则(    )

A.  B. 12 C.  D.

6.  已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  设，则a，b，c大小关系正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在平行四边形ABCD中，分别是AB，AD上的点，且，其中，，且若线段EF的中点为M，则当取最小值时，的值为(    )

A. 36 B. 37 C. 21 D. 22

9.  已知下列命题中，正确的是(    )

A. 若与平行，则
B. 若，且，则或
C. 若，则或
D.

10.  已知z，，，则下列命题为假命题的是(    )

A. 若，则或 B. 若，则或
C. 若，则 D. 若，则

11.  的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是(    )

A. 若，，，则符合条件的有一个
B. 若，，则角B的大小为
C. 若，则是钝角三角形
D. 若为斜三角形，则

12.  已知中，，，，D在BC上，AD为的角平分线，E为AC中点下列结论正确的是(    )

A.
B. 的面积为
C.
D. P在的外接圆上，则的最大值为

13.  已知，则______.

14.  已知菱形ABCD的边长为4，，点P在BC上包括端点，则的取值范围是______.

15.  设点P是的中线AM上一个动点，的最小值是，则中线AM的长是______.

16.  已知满足，，则______；若，则______.

17.  已知复数是虚数单位
若z对应的点在虚轴上，求实数a的值；
设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围．

18.  已知不共线的向量，，其中
若向量与反向，求实数的值；
若，求

19.  在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，满足_______.
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
求A的大小；
若AE是角平分线，且，，求的面积．

20.  已知
若，求的值域；
若且满足，求的值．

21.  今年2月底俄罗斯与乌克兰冲突爆发以来，大量的乌克兰人民离开故土开启了逃亡之路，截止3月底，联合国难民事务高级专员表示，乌克兰难民人数已经超过400万，其中大多数逃往波兰、匈牙利、摩尔多瓦、罗马尼亚和斯洛伐克等邻国．各邻国都在陆续建立难民收容所，波兰某地准备在一个废弃的汽车停车场，临时建一处形状为矩形的收容所供乌克兰难民所用．已知停车场是近似如图所示半径为50米，圆心角为的扇形区域AOB，C为弧的中点，设，
用来表示矩形PQRS的面积，并指出的取值范围；
为多少时，取得最大值，并求出此最大值．

22.  在锐角中，，点O为的外心．
若，求的最大值；
若
求证：；
求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：向量，，，
，，，
故选：
由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得实数的值．
本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：由题意可知，
故选：
利用复数的运算公式，即可解出．
本题考查了复数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：对于，如图，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱延长后有可能不相交于一点，

有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，故错误；
对于，由多面体的定义得由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体，故正确；
对于，正六边形中心与各顶点连线，构成6个全等的小正三角形，
正六棱锥的侧棱长不可能与底面多边形的边长相等，故错误；
对于，如图，三棱锥中，，满足底面是等边三角形，

三个侧面，，都是等腰三角形，
但AC长不一定等于AD，即三条侧棱不一定全相等，故错误．
故选：
利用棱台的定义判断；利用多面体的定义判断；利用正六棱锥的定义判断；利用正三棱锥的定义判断
本题考查棱台、多面体、正六棱锥、正三棱锥的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：因为，
所以原式，
故选：
由诱导公式将余弦转化为的正弦，由，由两角和的正弦公式展开，代入原式中，整理可得其值．
本题考查诱导公式及两角和的正弦公式的应用，属于基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：因为，
所以，即，
由，可知，，
所以，
所以，
所以
故选：
根据同角三角函数的平方关系，求出，再求出，由三角恒等变换化简后代入求解即可．
本题考查了三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：，为互相垂直的单位向量，，，
，，
，
，，
，
，
，，
当，解得，此时与的夹角为0，不是锐角，
综上，的范围是
故选：
利用向量数量积的运算律，结合向量数量积公式及向量夹角为锐角，列不等式，注意排除夹角为0的情况，能求出结果．
本题考查向量的运算，考查向量的运算法则、数量积公式、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】A 

【解析】解：，
，
，
因为，所以
故选：
利用两角差的正弦公式化简a，结合同角三角函数的基本关系式和二倍角公式化简b，利用二倍角公式化简c，再根据正弦函数的单调性，得解．
本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角差的正弦公式，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：在平行四边形ABCD中，分别是AB，AD上的点，且，
则，
又，
则，
则，
又，，，
则，
显然当时，取最小值，即取最小值，
此时，
即，
故选：
由平面向量数量积运算，结合平面向量线性运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了运算能力，属中档题．
 

9.【答案】BD 

【解析】解：对于A，若与平行，则或，
，故A错误；
对于B，若，且，则或，故B正确；
若，则或或与垂直，故C错误；
设，，
则
，故D正确．
故选：
由与平行，求得判断A；由向量的数乘判断B；由，可得或或与垂直判断C；由数量积的运算性质判断
本题考查命题的真假判断与应用，考查平面向量数量积的性质及运算，考查向量的有关概念，是中档题．
 

10.【答案】BCD 

【解析】解：对于A：若，则，所以或至少有一个成立，所以或，故为真命题；
对于B：满足的复数有无数个，故为假命题；
对于C：若，取，满足条件，但虚数不能比较大小，故为假命题；
对于D：，取，，满足条件，但是复数不能比较大小，故为假命题．
故选：
对于A：由，得到或至少有一个成立，所以或，即可判断；
对于B：由的复数有无数个，可以判断；
对于C：取特殊值否定结论；
对于D：取特殊值，，否定结论．
本题考查了复数的基本运算，属于易做题．
 

11.【答案】ACD 

【解析】解：A中，因为，，，由两边和夹角确定一个三角形，所以A正确；
B中，若，，则，由正弦定理可得：，即，在三角形中，可得，所以B不正确；
C中，，由正弦定理可得，所以，可得C为钝角，所以C正确；
D中，在三角形中，，
而，所以，
所以，所以D正确；
故选：
A中，由题意两边和夹角有且仅有一个三角形，判断A正确；B中由正弦定理可得的值，再由B角的范围，可得B角的大小，判断B正确；C中，由正弦定理可得a，b，c边的关系，再由余弦定理可得，判断C正确；D中，由三角形内角和为，将C角用A，B角表示，再由两角和的正切公式，整理可得D正确．
本题考查正余弦定理的应用，两角和的正切公式的应用，属于中档题．
 

12.【答案】ACD 

【解析】解：在三角形ABC中，由余弦定理，
，故，故B错误；
在中，由余弦定理得：，
，故A正确；
由余弦定理可知：，，
平分，，
，
在三角形ACD中，由正弦定理可得：，故，故C正确；
，，，，
，
为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为1，
显然当取得最大值时，P在优弧上．
故，设，则，，
，
，，
，其中，，
当时，取得最大值，故D正确．
故选：
利用余弦定理计算，利用余弦定理计算BE，根据面积公式计算三角形ABC的面积，利用正弦定理计算AD，设，用表示出PB，PE，得出关于的三角函数，从而得到的最大值．
本题考查了正弦定理、余弦定理，考查三角恒等变换，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查诱导公式和余弦的二倍角公式，属于中档题．
因为，利用二倍角公式求得的值．
【解答】
解：因为 ，

，
故答案为  

14.【答案】 

【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
当点P在BC上时，设，，
，，
则
故答案为：
建立坐标系，设出点P的坐标，利用向量的数量积，转化求解即可．
本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及共线向量的表示，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，P为中线AM上的一个动点，设，，
为线段BC的中点，是边上的中线，即，

，
当时，取得最小值为，
解得，即AM的长为
故答案为：
设，根据三角形中线的向量表示，即可求出的最小值，由此求出AM的值．
本题考查三角形的中线的性质，考查两向量的和应用问题，考查运算求解能力，是中档题．
 

16.【答案】  

【解析】解：满足，整理得，
由，整理得，
所以，
利用余弦定理，得，
所以，故，，
故，所以；
由于，故，
则
故答案为：
首先利用向量的模求出，根据条件求出的值，进一步求出的值，再结合向量的数量积和余弦定理求出的值．
本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
由题意可知，即；
，
，
，即 

【解析】利用复数的运算公式，复数的定义，即可解出；
根据共轭复数的定义，即可解出．
本题考查了复数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：向量与反向，
设，，
则得，得，即
由，，
得，
即，
则 

【解析】根据向量共线建立方程进行求解即可．
根据向量数量积，求出，然后根据向量长度与向量数量积的关系进行转化求解即可．
本题主要考查向量共线以及向量长度的计算，根据向量数量积与长度关系进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．
 

19.【答案】解：选①：由可得：，
即，
因为，，故，
即，
由于，故；
选②：由得：，
因为，，故，即，
而，则，
故；
是角平分线，则，
所以，即，
而，，即有，，
故 

【解析】选①，利用正弦定理边化角，结合两角和差的正弦公式，即可求得答案；
选②，利用正弦定理边化角，再结合二倍角公式，即可求得答案；
由题意可得到，利用面积公式化简可得到，再利用三角形面积公式求得答案．
本题考查了正弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：




，
因为，可得，
可得
由题意可得，
又，可得，
当时，，
又，
则，则，
所以 

【解析】先化简的的解析式，再利用正弦型三角函数求值城的方法去求的值城．
根据范围可求的值，进而利用两角差的正弦公式去求的值．
本题考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

21.【答案】解：设QR，PS分别交OC于D，E，
 ，，，
，
，；
由可得，当，即时， 

【解析】设QR，PS分别交OC于D，E，根据题意得到；
由中函数知，当时取最值．
本题考查了三角函数的化简、恒等变换及最值，属于中档题．
 

22.【答案】解：点O为的外心，令外接圆半径为R，
则由，可得，
则，
，
又锐角三角形，，
则，，，，
则，整理得，
又，则，当且仅当时等号成立，
解得或舍，故的最大值为
证明：点O为的外心，
令外接圆半径为R，则，
由，可知，，




，
则





，，
，，，，
与同向，
，，

，
，，
则


，
，则，，
则，
，
的取值范围为 

【解析】构造关于的不等式去求的最大值；
转化为去证明与同方向等长度，由此能证明；
利用向量的数量积去求的取值范围．
本题考查平面向量数量积、三角函数恒等式、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．