2021-2022学年江苏省苏州市吴县中学高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省苏州市吴县中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，每题只有一个选项是符合题目要求的．

1．（5分）复数的虚部是　　

A．1 B． C． D．

2．（5分）已知平面向量，，，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知一个粮食仓储容器为圆锥体形状，它的体积为（容器的厚度不计），且它的侧面展开图是半圆形状，则它的母线长为　　

A．4 B．3 C．2 D．1

4．（5分）已知为任意角，若满足，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）斜二测画法是画一个水平放置的平面图形直观图的常用方法之一．现在有高一年级班的某学生用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中，则原平面图形的面积为　　

A． B． C． D．

6．（5分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则的值为　　

A． B． C． D．

7．（5分）计算：　　

A． B． C． D．

8．（5分）在中，已知点在线段的延长线上，且，点在线段上（与点，不重合）．若，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，每题至少有两个选项是符合题目要求的．

9．（5分）对于任意向量，，，下列命题中不正确的是　　

A．若，则与中至少有一个为 

B．若，则 

C．向量与向量夹角的范围是， 

D．

10．（5分）设为复数，则下列命题中正确的是　　

A． B． 

C．若，则的最大值为2 D．若，则

11．（5分）生活中台灯的灯罩、喝水的水杯常常设计成圆台的形状．已知某圆台的上底半径为1，下底半径为3，球与圆台的两个底面和侧面都相切．则下列命题中正确的是　　

A．圆台的母线长为4 B．圆台的高为4 

C．圆台的表面积为 D．球的表面积为

12．（5分）已知为整数，若函数在上有零点，则满足题意的可以是下列哪些数　　

A．0 B．2 C．4 D．6

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，请将答案填写到答题纸上相应横线上．

13．（5分）已知，复平面内表示复数的点所对应的数为纯虚数，则　　．

14．（5分）已知，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 　　．

15．（5分）如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛与小岛相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．则小岛与小岛之间的距离为 　　海里；小岛与小岛之间的距离为 　　海里．

16．（5分）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出　　．

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，后面每题12分，请将答案写到答题纸上，并写全解答过程．

17．（10分）已知向量与向量的夹角为，，，记向量，．

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值．

18．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，．若，且．

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积．

19．（12分）已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）求函数的值域．

20．（12分）如图，在中，设，，，，已知，，，与交于点．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

21．（12分）已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形．

（1）若该三棱锥的侧棱长为2，且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面的表面移动，环绕一周直至回到出发点，求质点移动路程的最小值；

（2）若该三棱锥的所有棱长均为2，试求以为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积．

22．（12分）如图所示的毕达格拉斯树画是由图（ⅰ）利用几何画板或者动态几何画板做出来的图片，其中四边形，，都是正方形．如果改变图（ⅰ）中的大小会得到更多不同的“树形”．

（1）在图（ⅰ）中，，，且，求的值；

（2）在图（ⅱ）中，，，设，求的最大值．

2021-2022学年江苏省苏州市吴县中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，每题只有一个选项是符合题目要求的．

1．（5分）复数的虚部是　　

A．1 B． C． D．

【解答】解：的虚部是，

故选：．

2．（5分）已知平面向量，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由，，，

则，

解得，

则，，，，

故选：．

3．（5分）已知一个粮食仓储容器为圆锥体形状，它的体积为（容器的厚度不计），且它的侧面展开图是半圆形状，则它的母线长为　　

A．4 B．3 C．2 D．1

【解答】解：一个粮食仓储容器为圆锥体形状，它的体积为（容器的厚度不计），且它的侧面展开图是半圆形状，设底面半径为，高为，可得，，

解得，，

圆锥的母线长为：．

故选：．

4．（5分）已知为任意角，若满足，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

．

故选：．

5．（5分）斜二测画法是画一个水平放置的平面图形直观图的常用方法之一．现在有高一年级班的某学生用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中，则原平面图形的面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，在直观图中，，，，

则有，，则直观图的面积，

则原图的面积；

故选：．

6．（5分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，

由正弦定理得，

又，，

由余弦定理得．

故选：．

7．（5分）计算：　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为

，

所以原式的值为．

故选：．

8．（5分）在中，已知点在线段的延长线上，且，点在线段上（与点，不重合）．若，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，

，

，点在线段上（与点、不重合），

，

，

，

故选：．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，每题至少有两个选项是符合题目要求的．

9．（5分）对于任意向量，，，下列命题中不正确的是　　

A．若，则与中至少有一个为 

B．若，则 

C．向量与向量夹角的范围是， 

D．

【解答】解：对于选项，若，则与中至少有一个为或，即选项错误；

对于选项，若，则，即选项正确；

对于选项，向量与向量夹角的范围是，，即选项错误；

对于选项，，即选项正确，

故选：．

10．（5分）设为复数，则下列命题中正确的是　　

A． B． 

C．若，则的最大值为2 D．若，则

【解答】解：对于，设，则，故错误，

对于，设，则，则，故错误，

对于，若，设，

，故正确，

对于，设，

则，

问题等价于复数表示的点在以为圆心，以1为半径的圆上，

故，故错误，

故选：．

11．（5分）生活中台灯的灯罩、喝水的水杯常常设计成圆台的形状．已知某圆台的上底半径为1，下底半径为3，球与圆台的两个底面和侧面都相切．则下列命题中正确的是　　

A．圆台的母线长为4 B．圆台的高为4 

C．圆台的表面积为 D．球的表面积为

【解答】解：画出轴截面图如图，

由已知得：圆台的上底半径，下底半径，

设球的半径为，由圆的切线的性质，可得，

又，由射影定理可得，，则．

圆台的高为，母线长为，

圆台的表面积为，

球的半径为，表面积为，故正确．

故选：．

12．（5分）已知为整数，若函数在上有零点，则满足题意的可以是下列哪些数　　

A．0 B．2 C．4 D．6

【解答】解：函数在上有零点，

即，

令，则，

因为，，，

所以，，

所以在，上有零点，

结合二次函数的性质可知在，上单调递增，且时，函数值为，时，函数值为2，

所以，

所以．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，请将答案填写到答题纸上相应横线上．

13．（5分）已知，复平面内表示复数的点所对应的数为纯虚数，则　6　．

【解答】解：若复数的点所对应的数为纯虚数，

则，解得，

故答案为：6．

14．（5分）已知，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 　　．

【解答】解：因为在方向上的投影为，与同向的单位向量为，

所以在方向上的投影向量为，

故答案为：．

15．（5分）如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛与小岛相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．则小岛与小岛之间的距离为 　　海里；小岛与小岛之间的距离为 　　海里．

【解答】解：圆的内接四边形对角互补，，

为锐角，，

在三角形中，由正弦定理得，可得，

在三角形中，由余弦定理得，

整理得，解得（负根舍去）．

故答案为：，．

16．（5分）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出　　．

【解答】解：在中，由题意可知，，

设，

由余弦定理可得：

，，

则，

又，

则，

即，①

同理，

又，

即，

即，②

由①②得：，

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，后面每题12分，请将答案写到答题纸上，并写全解答过程．

17．（10分）已知向量与向量的夹角为，，，记向量，．

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值．

【解答】解：（1）向量与向量的夹角为，，，

由，则，

，

解得；

（2），则存在实数使得，即，整理得：，

又与不共线，则，解得：．

18．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，．若，且．

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积．

【解答】解：（1）由及正弦定理，

得，整理得，

所以由余弦定理得．

又，所以．

（2）设外接圆半径为，

由，，，，

可得，所以，

所以，所以．

由正弦定理，得，则．

因为，所以，所以，

所以是以为直角的直角三角形，

所以的面积为．

19．（12分）已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）求函数的值域．

【解答】解：（Ⅰ）函数

，

令，，解得，，

所以函数的单调递增区间为，，．

（Ⅱ）函数

，其中，

因为，，

所以，，

即函数的值域为，．

20．（12分）如图，在中，设，，，，已知，，，与交于点．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

【解答】解：（1），，

则．

所以；

（2）设，，

在中，有，

则，

即，

则，

即，

即，

则，

又，

则．

21．（12分）已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形．

（1）若该三棱锥的侧棱长为2，且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面的表面移动，环绕一周直至回到出发点，求质点移动路程的最小值；

（2）若该三棱锥的所有棱长均为2，试求以为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积．

【解答】解：（1）沿侧棱将正三棱锥的侧面展开，如图，则即为质点移动路程的最小值，

依题意，，且，

由余弦定理得，，

所以质点移动路程的最小值为．

（2）正三棱锥的所有棱长均为2，则为正四面体，

设其高为，正内切圆的半径为，

由，解得，

正四面体的斜高为，，依题意，圆锥的高为，

所以圆锥的体积为．

22．（12分）如图所示的毕达格拉斯树画是由图（ⅰ）利用几何画板或者动态几何画板做出来的图片，其中四边形，，都是正方形．如果改变图（ⅰ）中的大小会得到更多不同的“树形”．

（1）在图（ⅰ）中，，，且，求的值；

（2）在图（ⅱ）中，，，设，求的最大值．

【解答】解：（1）当时，，则

在中，由余弦定理可得．

（2）在中，由余弦定理知，，

所以

在中，由正弦定理知，可得，

在中，由余弦定理可得，

所以当时，的取最大值．

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