2021-2022学年江苏省泰州中学高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省泰州中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设复数，则的虚部是　　

A． B． C．1 D．

2．（5分）已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是　　

A．， B．， C．， D．，

3．（5分）如图，在等腰梯形中，，，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为，若，则的值为　　

A．1 B．2 C．4 D．8

5．（5分）已知非零向量，满足，，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知内角，，所对的边分别为，，，面积为．若，，则的形状是　　

A．等腰三角形 B．直角三角形 

C．正三角形 D．等腰直角三角形

7．（5分）如果复数满足，则的最小值为　　

A．1 B． C．2 D．

8．（5分）当时，取得最大值，则　　

A．3 B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知复数，在复平面上对应的点关于实轴对称，则下列说法一定正确的是　　

A．是实数 B．是纯虚数 

C．是实数 D．是纯虚数

10．（5分）下列各式中，值为的是　　

A． B． 

C． D．

11．（5分）的内角，，的对边分别为，，，，则　　

A． B． 

C． D．外接圆的面积为

12．（5分）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形，其中，，点在弧上．　　

A． 

B．若，则 

C．若，则 

D．的最小值为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接现写在答题卡相应位置上．

13．（5分）若复数，为虚数单位）是纯虚数，则　　．

14．（5分）如果，是方程的两根，则　　．

15．（5分）设是平面内两个不共线的向量，，，，．若，，三点共线，则的最小值是　 　．

16．（5分）已知中，角、、所对应的边分别为、、，且，若的面积为，则的取值范围为 　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在中，角，，所对的边长为，，，，．

（1）若，求的面积；

（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

18．（12分）已知．

（1）求的值；

（2）已知，，，求的值．

19．（12分）北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保、舒适、温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，，且，，．

（1）求氢能源环保电动步道的长；

（2）若_____；求花卉种植区域总面积．

从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

20．（12分）如图，在中，已知，，，为边上的中点，点在线段上，且．

（1）求线段的长度；

（2）设与相交于点，求的余弦值．

21．（12分）已知函数．

（1）求在，上的单调递增区间；

（2）求函数在，上的所有零点之和．

22．（12分）同时定义在上的函数，，如果满足对任意，，恒成立，且，具有相同的单调性，则乘积函数也是上的单调函数．

已知函数，．

（1）试判断函数在区间，上的单调性，并求出其值域；

（2）若函数在，上满足不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）已知是关于的方程的实数根，求的值．

2021-2022学年江苏省泰州中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设复数，则的虚部是　　

A． B． C．1 D．

【解答】解：，

故，其的虚部是，

故选：．

2．（5分）已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：，，，，．

与向量的方向相反的单位向量．

故选：．

3．（5分）如图，在等腰梯形中，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

又，

，，

；

故选：．

4．（5分）公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为，若，则的值为　　

A．1 B．2 C．4 D．8

【解答】解：因为，，

所以，

则．

故选：．

5．（5分）已知非零向量，满足，，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，设与的夹角为，，则，

若，则，

解可得，

又由，则，

故选：．

6．（5分）已知内角，，所对的边分别为，，，面积为．若，，则的形状是　　

A．等腰三角形 B．直角三角形 

C．正三角形 D．等腰直角三角形

【解答】解：因为，

所以，

由正弦定理可得，

因为，可得，

因为，，，

所以可得，可得，可得，

又，可得，即，

因为，可得，

所以，则的形状是正三角形．

故选：．

7．（5分）如果复数满足，则的最小值为　　

A．1 B． C．2 D．

【解答】解：设复平面上的点，，复数在复平面上的对应点为，

则，

点的轨迹是以和对应的点为端点的线段．

表示与的距离，显然点到直线的距离最小，最小值为1，

故选：．

8．（5分）当时，取得最大值，则　　

A．3 B． C． D．

【解答】解：因为，

因为时，函数取得最大值，

故，

所以，

故，

所以，

所以，

解得．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知复数，在复平面上对应的点关于实轴对称，则下列说法一定正确的是　　

A．是实数 B．是纯虚数 

C．是实数 D．是纯虚数

【解答】解：由题意可设，，且，，且，

对于，，故正确，

对于，，故正确，

对于，，故正确，

对于，，

当时，不为纯虚数，故错误．

故选：．

10．（5分）下列各式中，值为的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：，

，

，

，

故选：．

11．（5分）的内角，，的对边分别为，，，，则　　

A． B． 

C． D．外接圆的面积为

【解答】解：因为，

由余弦定理得，，

所以，正确，

由正弦定理得，

所以，，，

所以外接圆的面积，正确，错误，正确．

故选：．

12．（5分）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形，其中，，点在弧上．　　

A． 

B．若，则 

C．若，则 

D．的最小值为

【解答】解：，错误；

由知，为弧的中点，又，由平行四边形刧则可知则，故，正确．

由知，，设，

则

解得故，正确．

，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为，正确．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接现写在答题卡相应位置上．

13．（5分）若复数，为虚数单位）是纯虚数，则　8　．

【解答】解：为纯虚数，

，解得．

故答案为：8．

14．（5分）如果，是方程的两根，则　　．

【解答】解：由已知得，，

．

故答案为：．

15．（5分）设是平面内两个不共线的向量，，，，．若，，三点共线，则的最小值是　4　．

【解答】解：，．若，，三点共线，

设，

即，

是平面内两个不共线的向量，

，解得，，

即，

则，

当且仅当，即，即，时，取等号，

故最小值为4，

故答案为：4；

16．（5分）已知中，角、、所对应的边分别为、、，且，若的面积为，则的取值范围为 　　．

【解答】解：由，可得，①

由的面积为，可得，即，②

由①②消去，可得，

即有，

因为，所以，解得，，

设，，，

所以，

由，可得，，

则，．

故答案为：，．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在中，角，，所对的边长为，，，，．

（1）若，求的面积；

（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1），

根据正弦定理可得，

，，

，，，

在中，运用余弦定理可得，

，

，

．

（2），

为钝角三角形时，角必为钝角，

，

，

，

，

三角形的任意两边之和大于第三边，

，即，即，

，

为正整数，

．

18．（12分）已知．

（1）求的值；

（2）已知，，，求的值．

【解答】解：（1）因为，所以，所以．

又因为，

所以．

（2）因为，所以．

因为，所以．

又因为，，所以，

所以，

由，得，

所以．

19．（12分）北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保、舒适、温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，，且，，．

（1）求氢能源环保电动步道的长；

（2）若_____；求花卉种植区域总面积．

从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

【解答】解：（1）．，，

，，由余弦定理得，

，．

（2）选①：，在中，由正弦定理得，．

，由（1）知．代入上式可得，解得，

，

，

，，故，

花卉种植区域总面积为．

选②：，在中，由余弦定理得，解得或（舍去），

．，，

，，故，

花卉种植区域总面积为．

20．（12分）如图，在中，已知，，，为边上的中点，点在线段上，且．

（1）求线段的长度；

（2）设与相交于点，求的余弦值．

【解答】解：（1）设，，则，，，

，

，

，

则，即；

（2），则，

，

，

，．

21．（12分）已知函数．

（1）求在，上的单调递增区间；

（2）求函数在，上的所有零点之和．

【解答】解：（1）

，

由，

得，

故的单调递增区间为，

当时，，当时，，

故在，上的单调递增区间为和．

（2），得，

在，上的图象如图所示：

因为，

所以在区间，上，函数的图象与直线共有8个交点，

即有8个零点，设这8个零点分别为，，，，

由，得，所以函数的图象关于直线对称，

所以，

故在，上的所有零点之和为．

22．（12分）同时定义在上的函数，，如果满足对任意，，恒成立，且，具有相同的单调性，则乘积函数也是上的单调函数．

已知函数，．

（1）试判断函数在区间，上的单调性，并求出其值域；

（2）若函数在，上满足不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）已知是关于的方程的实数根，求的值．

【解答】解：（1）由题意知，

当，时，及均单调递增，且，，

故单调递增，

而单调递增，且，

故在，上单调递增，

而（1），（2），（1），（2），

且在，上连续，

故的值域为；

（2）由已知当，时，等价于，

即当，时，恒成立，

记，则由，，得，，

由知的最小值为0，

故；

（3）由知满足，

即，

即，

即，

令，则，

上式等价于，

由知单调递增，

所以，

故满足原方程的一定满足，

即，，

所以．

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