2020江苏省震泽中学高二下学期自主测试二数学试题含答案

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2019~2020学年第二学期江苏省震泽中学高二自主测试二 数学（满分130分 考试时间 90 分钟） 命题人： 审题人： 一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）已知复数是虚数单位，则的共轭复数是A. B. C. D. 已知在R上可导，，则A. B. C. 0 D. 4从1，3，5中取2个数，从0，2，4中取1个数，则组成没有重复数字的三位数的个数为A. 24 B. 36 C. 48 D. 60在的展开式中，含项的系数是 B. C. 5 D. 10定义域为R的函数且，且的导函数，则实数a的取值范围为A. B. C. D. 体育课的排球发球考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发球到3次为止设学生发球1次成功的概率为，记发球次数为X，若，则p的取值范围是A. B. C. D. 斜三棱柱中，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，已知1,，则与平面所成角的正弦值为    B. C. D. 8．已知函数，则方程恰有两个不同的 实根时，实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D．二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知复数其中i为虚数单位，复数z的共轭复数为，则    B. C. 复数z的虚部为 D. 10．的展开式中各项系数的和为2，则其中正确命题的序号是（ ）A． B．展开式中含项的系数是-32C．展开式中含项 D．展开式中常数项为40如图，设分别是正方体的棱DC上两点，且，，其 中正确的命题为    A. 三棱锥的体积为定值B. 异面直线与EF所成的角为C. 平面D. 直线与平面所成的角为12. 已知函数，则下列结论正确的是     A. 函数存在两个不同的零点B. 函数既存在极大值又存在极小值C. 当时，方程有且只有两个实根D. 若时，，则t的最小值为2三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数，则的极大值为          ．14. 为庆祝新中国成立70周年，某班举办了歌唱比赛，共有5名学生报名参加，其中3 名女生，2名男生如果2名男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出 场顺序共有          种用数字作答．15. 直角三角形ABC的两条直角边，，平面ABC，，则点P 到斜边AB的距离是          ．16. 已知方程有4个不同的实数根，則实数的取值范围是________四、解答题（本大题共4小题，共50.0分）17.某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的 次数统计如表所示：从这40名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相 等的概率；从这40名学生中任选2名，用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望．天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为，至少有一个地方降雨的概为, 已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响． 分别求甲、乙两地降雨的概率； 在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X，求X的分布列和数学期望与方差．19．如图，在四棱锥中，平面平面， （1）证明：平面；（2）求二面角的大小．20．已知函数，其中是自然对数的底数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）设，求函数的单调区间；（3）设，求证：当时，函数恰有2个不同零点.答案和解析1-8 BCCDD BAB9.BCD 10.AD 11.AD 12.ABC13.【答案】【解析】【分析】本题考查利用导数求函数的极值，考查用导数判断函数的单调性，属于基础题．对求导，再把代入求得，从而得，再对函数求导，判断导函数的正负即可得到极大值．【解答】解：，，，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，取得极大值．14.【答案】60【解析】【分析】本题考查计数原理和排列组合的运用，属于中档题．女生甲不能排在第一个，则可分为两类：第一个为男生；第一个女生除女生甲以外分别进行计算再相加即可得出答案．【解答】解：女生甲不能排在第一个，可分为两类：当第一个为男生时，则第二个必为女生，后面任意，此时排法种数为当第一个为女生女生甲除外时，则先排剩下的女生，再在产生的三个空中安排男生，此时排法种数为．因此出场顺序的种数为．15.【答案】3【解析】【分析】本题考查了向量的运算，点到直线的距离，属于基础题．写出向量和的坐标，求出在上的投影，然后利用勾股定理求解即可．【解答】解：以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，3，，0，，所以3，，0，所以在上的投影为，所以点P到斜边AB的距离．故答案为3．16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，构造函数，研究函数的单调性和极值，借助数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．根据函数与方程的关系，利用参数分离式进行转化，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由，得，，方程等价为，设，则函数是偶函数，当时，，则，由得，得，即，得，此时函数单调递增，由得，得，即，得，此时函数单调递减，即当，时，函数取得极大值，作出函数的图象如图：要使与有4个不同的交点，则满足，故答案为．17.【答案】解：这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率．由题意知，1，2，，，，则随机变量X的分布列为所以X的数学期望．【解析】本题主要考查了等可能事件的概率、对立事件的概率、离散型随机变量的分布列与数学期望，属于基础题．根据3名学生中至少有2名参加培训次数相等的反面是3名学生参加培训的次数各不相等，利用等可能事件概率及对立事件概率计算即可．先确定随机变量X的所有可能取值并分别算出相应概率，得到X的分布列，再用数学期望公式计算即可．18.【答案】解：设甲、乙两地降雨的事件分别为A，B，且，．由题意得，解得所以甲地降雨的概率为，乙地降雨的概率为．在甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率为 ．X的可能取值为0，1，2，3．，，，，所以X的分布列为所以．方差．【解析】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．利用相互独立事件同时发生的概率计算公式能求出甲、乙两地降雨的概率先求出甲乙两地3天假期中仅有一地降雨的概率由题意知，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出降雨量达到理想状态的地方个数的概率分布与期望．19.（1）证明：在直角梯形中，由得，由得，即．又平面平面，从而平面，所以，又，从而平面．（2）解：作，与交于点，过点作，与交于点，连接，由（1）知，则．所以是二面角的平面角．在直角梯形中，由，得，又平面平面，得平面，从而，由于平面，得．在中，由，得．在中，由，得在中，由，得，从而．在中，利用余弦定理分别可得．在中，．所以，，即二面角的大小是．20.（1）由，得，，曲线在处的切线方程为.（2），当时，，函数的单调增区间为.当时，，，令，得；令，得或，函数的单调增区间为；单调减区间为和.综上所述，函数的单调增区间为和；函数的单调减区间为和.（3）由题意知，，得，令，当时，，在上单调递增，又，，存在唯一的，使得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，故是的唯一极值点，令，当时，，在上单调递减，即当时，，即，，又，函数在上有唯一的零点，又在上有唯一的零点，函数恰有2个不同零点.培训次数123参加人数51520X012PX0123P