2021-2022学年江苏省常州一中高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省常州一中高一（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）

1．（5分）设全集，集合，集合，则　　

A． B． C． D．，

2．（5分）已知集合，，，若，则实数的值为　　

A． B．1 C．5或 D．或1

3．（5分）设，则“”是“”的　　

A．充要条件 B．充分不必要条件 

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）若函数，则该函数的单调递减区间是　　

A． B． C．， D．

5．（5分）函数的图象大致为　　

A． 

B． 

C． 

D．

6．（5分）已知，，，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

8．（5分）已知，，，则的最小值为　　

A． B． C． D．

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9．（5分）若非零实数，满足，则下列不等式不一定成立的是　　

A． B． C． D．

10．（5分）下列四个命题是真命题的是　　

A．函数与函数表示同一个函数 

B．奇函数的图像不一定通过直角坐标系的原点 

C．函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到 

D．若函数，则

11．（5分）已知函数，下面几个结论，其中正确的结论是　　

A．等式对恒成立 

B．存在，使得 

C．函数的值域为 

D．若对任意实数，都有，则实数的取值范围是

12．（5分）若非零函数对任意实数，均有，且当时，，则　　

A． 

B．对任意实数，都有 

C．为是增函数 

D．当时，对，时恒有，则实数，，

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡相应的位置上.）

13．（5分）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围为 　　．

14．（5分）设，，则（2）　　．

15．（5分）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，，则　　，　　．

16．（5分）设函数．若函数恰有两个不同的零点，，则的取值范围是 　　．

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（10分）（1）；

（2）．

18．（12分）已知集合是函数的定义域，集合，其中．

（1）若，求；

（2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围．

19．（12分）已知函数．

（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；

（2）当时，解关于的不等式．

20．（12分）已知函数，．

（1）证明：函数是奇函数；

（2）判断在区间上的单调性并证明；

（3）当时，若对任意的，，都有，求实数的取值范围．

21．（12分）某小微企业去年某产品的年销售量为1万只，每只销售价为10元，成本为8元．今年计划投入适当的广告费进行促销，预计年销售量（万只）与投入广告费（万元）之间的函数关系为，且当投入广告费为4万元时，销售量3.4万只．现每只产品的销售价为“原销售价”与“年平均每只产品所占广告费的”之和．

（1）当投入广告费为1万元时，要使得该产品年利润不少于4.25万元，则的最大值是多少？

（2）若，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？

22．（12分）已知幂函数满足（2）（4）．

（1）求函数的解析式；

（2）若函数，，的最小值为，求的最大值；

（3）若函数，是否存在实数，，使函数在，上的值域为，？

若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由．

2021-2022学年江苏省常州一中高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）

1．（5分）设全集，集合，集合，则　　

A． B． C． D．，

【解答】解：全集，集合，

集合，

，

则，．

故选：．

2．（5分）已知集合，，，若，则实数的值为　　

A． B．1 C．5或 D．或1

【解答】解：集合，，，，

当时，即时，此时，故不满足题意，

当时，解得（舍去）或，

当时，此时，满足题意，

故．

故选：．

3．（5分）设，则“”是“”的　　

A．充要条件 B．充分不必要条件 

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：或，

“”是“”的充分不必要条件．

故选：．

4．（5分）若函数，则该函数的单调递减区间是　　

A． B． C．， D．

【解答】解：设，由，可得或，

则，

由在，递减，

由复合函数的单调性：同增异减，

要求函数，则该函数的单调递减区间，

只需求的增区间．

而在，递增，

所以函数的单调递减区间是，．

故选：．

5．（5分）函数的图象大致为　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：恒成立，故排除，

故选：．

6．（5分）已知，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，，

，

故选：．

7．（5分）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：要满足已知题意，只需，

解得，

故选：．

8．（5分）已知，，，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，所以，

又，，所以，

，

因为，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

故选：．

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9．（5分）若非零实数，满足，则下列不等式不一定成立的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：对于选项，当，此时不成立；

对于选项，当，此时不成立；

对于选项，，，，所以成立；

选项，

．

因为，所以，不可能同时为0，则，

所以．所以成立．

故选：．

10．（5分）下列四个命题是真命题的是　　

A．函数与函数表示同一个函数 

B．奇函数的图像不一定通过直角坐标系的原点 

C．函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到 

D．若函数，则

【解答】解：对于，函数与函数的定义域不同，不表示同一个函数，故错；

对于，奇函数的图象不一定通过直角坐标系的原点，如，故正确；

对于，函数的图象可由的图象向右平移一个单位得到，故正确；

对于，设，则，则，即，

所以，

所以．

故选：．

11．（5分）已知函数，下面几个结论，其中正确的结论是　　

A．等式对恒成立 

B．存在，使得 

C．函数的值域为 

D．若对任意实数，都有，则实数的取值范围是

【解答】解：函数的定义域为，关于原点对称，

，故正确；

由可得为奇函数，

当时，，由在，递减，

可得在，递增，由于在上是奇函数，

所以在上递增，故不存在，使得，故错误；

由在，上递增，可得，，

由奇函数的性质可得时，，，

所以的值域为，故正确；

由的值域为，

若对任意实数，都有，可得，解得，故错误．

故选：．

12．（5分）若非零函数对任意实数，均有，且当时，，则　　

A． 

B．对任意实数，都有 

C．为是增函数 

D．当时，对，时恒有，则实数，，

【解答】解：因为，

令得，

即，

又因为，

所以，故正确；

当时，，则，

所以，

故对于，恒有，故正确；

令且，，则，

又，故，

又，所以，

故在是减函数，故错误；

，故（2），

对任意，，恒有（2），

依题意有对，恒成立，

所以，故正确；

故选：．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡相应的位置上.）

13．（5分）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围为 　，，　．

【解答】解：命题“，”是真命题，

△，

解得：，或．

则实数的取值范围为，，，

故答案为：，，，

14．（5分）设，，则（2）　105　．

【解答】解：根据题意，，（2），

（2）（5）；

故答案为：105．

15．（5分）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，，则　　，　　．

【解答】解：由，，得，，

所以，

所以．

故答案为：，1．

16．（5分）设函数．若函数恰有两个不同的零点，，则的取值范围是 　　．

【解答】解：函数，

令，可得，，，

由于当时，，，

，故把舍去．

故

，

，，

故，

故答案为：．

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（10分）（1）；

（2）．

【解答】解：（1）原式．

（2）原式．

18．（12分）已知集合是函数的定义域，集合，其中．

（1）若，求；

（2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围．

【解答】解：若函数表达式有意义，则解得，，，

（1）当时，，，，；

（2） “”是“”的必要条件，

集合，，

若，则且，解得，．

19．（12分）已知函数．

（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；

（2）当时，解关于的不等式．

【解答】解：（1）函数的定义域为，

时，恒成立．

时，不等式化为：，解得，不符合题意，舍去；

时，时，恒成立，则，

解得：，

综上可得：实数的取值范围是，．

（2）当时，关于的不等式，

，

化为：，

对分类讨论：时，，不等式的解集为，，；

时，，不等式的解集为；

时，，不等式的解集为，，．

综上可得：时，不等式的解集为，，；

时，不等式的解集为；

时，不等式的解集为，，．

20．（12分）已知函数，．

（1）证明：函数是奇函数；

（2）判断在区间上的单调性并证明；

（3）当时，若对任意的，，都有，求实数的取值范围．

【解答】（1）证明：定义域为，，，

，

所以函数是奇函数．

（2）解：在区间上单调递减，证明过程如下：

，

任取，，且，

则，

因为，

所以，，，

所以，即，

故在区间上单调递减．

（3）解：当时，，

若对任意的，，都有，则，

因为在上单调递减，

所以在，上单调递减，

所以（2），

因为在，上单调递减，

所以（5），

所以，即，

解得或，

故实数的取值范围为，，．

21．（12分）某小微企业去年某产品的年销售量为1万只，每只销售价为10元，成本为8元．今年计划投入适当的广告费进行促销，预计年销售量（万只）与投入广告费（万元）之间的函数关系为，且当投入广告费为4万元时，销售量3.4万只．现每只产品的销售价为“原销售价”与“年平均每只产品所占广告费的”之和．

（1）当投入广告费为1万元时，要使得该产品年利润不少于4.25万元，则的最大值是多少？

（2）若，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？

【解答】解：（1）当投入广告费为4万元时，销售量3.4万只，

，解得，

，

故当时，，

现每只产品的销售价为，

，解得，

故的最大值为4．

（2），当时，现每只产品的销售价为，

，

当且仅当，即时，等号成立，

故当投入2万元广告费时，该产品可获最大年利润，最大利润为万元．

22．（12分）已知幂函数满足（2）（4）．

（1）求函数的解析式；

（2）若函数，，的最小值为，求的最大值；

（3）若函数，是否存在实数，，使函数在，上的值域为，？

若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）因为是幂函数，所以，即，解得或，

当时，，在为减函数，不满足（2）（4），

当时，，在为增函数，满足（2）（4），

所以；

（2），

令，因为，，所以，，

则令，，，开口向上，对称轴为，

①当，即时，函数在，为增函数，；

②当，即时，；

③当，即时，函数在，为减函数，（3）；

所以；

当时，在，上递增，则；

当时，；，则；

当时，在，上递减，则；

综上可知：，

所以，且；

（3），易见在定义域范围内为减函数，

若存在实数，，使函数在，上的值域为，，

则，

②①得：，

所以，而，

则③．

将③代入②得：，

令，由，知，得，即，

所以，在区间单调递减，

所以，

故存在实数，，使函数在，上的值域为，，实数的取值范围为．

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