2021-2022学年江苏省泰州中学高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省泰州中学高一（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）假设集合，2，，，，那么等于　　

A．，2， B．， C．， D．

2．（5分）已知命题，，则它的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

3．（5分）已知幂函数的图象经过点，则等于　　

A． B． C．2 D．3

4．（5分）设，则关于的不等式的解集是　　

A．或 B． C．或 D．

5．（5分）在　　

A．，，上是增函数 

B．，，上是减函数 

C．，分别是增函数 

D．，分别是减函数

6．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

7．（5分）已知正数，满足，则的最小值为　　

A．5 B． C． D．2

8．（5分）函数，则满足的所有实数的和为　　

A． B．6 C．8 D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为　　

A． B． C． D．

10．（5分）下面命题正确的是　　

A．“”是“”的必要不充分条件 

B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 

C．设，，则“”是“且”的充分不必要条件 

D．“”是“”的必要不充分条件

11．（5分）若，，都是正数，且，那么　　

A． B． C． D．

12．（5分）已知函数，下列结论正确的是　　

A．对于任意实数， 

B．对于任意实数，函数图象为轴对称图形 

C．存在实数，使得在单调递减 

D．存在实数，使得关于的不等式的解集为，，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）函数的定义域为　　．（表示成区间）

14．（5分）已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 　　．

15．（5分）太阳光通过一层普通玻璃时，其中的紫外线只会损失原来强度的，而通过某型号的防紫外线玻璃则能将其中的紫外线过滤为原来强度的．设太阳光中原来的紫外线的强度为，则要达到上述型号的防紫外线玻璃的过滤效果，至少需要的普通玻璃层数为 　　．（参考数据：．

16．（5分）设函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）（1）；

（2）．

18．（12分）已知函数是定义在上的函数．

（Ⅰ）判断函数的奇偶性（不需证明）；

（Ⅱ）用定义法证明函数在上是增函数；

（Ⅲ）解不等式．

19．（12分）已知．

（1）若（1）（2），求实数的取值范围；

（2）请在①，恒成立，②，使得，这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，并解答问题．若_______，求实数的取值范围．

20．（12分）某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：百台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完．

（1）求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润销售额投入成本固定成本）；

（2）当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润．

21．（12分）已知，函数．

（1）判断函数的奇偶性，请说明理由；

（2）设，求函数在区间，上的最小值；

（3）设，函数在区间上既有最大值又有最小值，请分别求出，的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）

22．（12分）已知函数是奇函数，其中为常数．

（1）求函数的解析式；

（2）若关于的方程在，上有解，求实数的最大值；

（3）若关于的不等式在，恒成立，求实数的取值范围．

2021-2022学年江苏省泰州中学高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）假设集合，2，，，，那么等于　　

A．，2， B．， C．， D．

【解答】解：，2，，，，

则，，

故选：．

2．（5分）已知命题，，则它的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题，，则它的否定是：，．

故选：．

3．（5分）已知幂函数的图象经过点，则等于　　

A． B． C．2 D．3

【解答】解：幂函数的图象经过点，

，解得，，

则．

故选：．

4．（5分）设，则关于的不等式的解集是　　

A．或 B． C．或 D．

【解答】解：原不等式可化为，

由，可知，

所以原不等式的解集为．

故选：．

5．（5分）在　　

A．，，上是增函数 

B．，，上是减函数 

C．，分别是增函数 

D．，分别是减函数

【解答】解：

，

由函数在，均为增函数，

则将的图象向右平移1个单位，可得的图象，

再向下平移1个单位，即可得到的图象，

则有在，上均为增函数，

则有函数的增区间为，．无减区间．

故选：．

6．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：函数为偶函数，故选项，错误；

又，故选项错误，选项正确．

故选：．

7．（5分）已知正数，满足，则的最小值为　　

A．5 B． C． D．2

【解答】解：，所以，，

则，

所以，，

当且仅当，即当时，等号成立，

因此，的最小值为，

故选：．

8．（5分）函数，则满足的所有实数的和为　　

A． B．6 C．8 D．

【解答】解：，

函数为上的偶函数，

设，，且，

则

，，

，，

，

函数为上的单调递增函数，

由，可得或，

当时，即，△，方程有两个不相等的实根，，

当时，即，△，方程有两个不相等的实根，，

所以满足的所有实数的和为，

故选：．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设，

，

，

，解得或，

或，

故选：．

10．（5分）下面命题正确的是　　

A．“”是“”的必要不充分条件 

B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 

C．设，，则“”是“且”的充分不必要条件 

D．“”是“”的必要不充分条件

【解答】解：对于：“”是“”的必要不充分条件，故正确；

对于”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故正确；

对于：“”是“且”的必要不充分条件，故错误；

对于：由，解得：且，

故“”是“”的必要不充分条件，正确；

故选：．

11．（5分）若，，都是正数，且，那么　　

A． B． C． D．

【解答】解：依题意设，，则，，，

对于，即，因为，故正确错误；

对于，，故错误；

对于，，故正确；

故选：．

12．（5分）已知函数，下列结论正确的是　　

A．对于任意实数， 

B．对于任意实数，函数图象为轴对称图形 

C．存在实数，使得在单调递减 

D．存在实数，使得关于的不等式的解集为，，

【解答】解：函数，

设，都关于直线对称，

故的图象关于对称，故正确；

当时，，，

所以，当时，选项错误；

由于函数的图象关于对称，且函数和函数都为开口方向向上的曲线，

所以在，上单调递减，故正确；

对于：由于函数的图象关于对称，在，上单调递减，在，上单调递增，

当时，函数，解得，故存在的数使成立，

当时，函数，解得，故存在的数使成立，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）函数的定义域为　，，　．（表示成区间）

【解答】解：由题意得：，

解得：且，

故函数的定义域是，，，

故答案为：，，．

14．（5分）已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 　，　．

【解答】解：由，则或，得或，即，，

若是的充分不必要条件，

则，

即实数的取值范围是，．

故答案为：，．

15．（5分）太阳光通过一层普通玻璃时，其中的紫外线只会损失原来强度的，而通过某型号的防紫外线玻璃则能将其中的紫外线过滤为原来强度的．设太阳光中原来的紫外线的强度为，则要达到上述型号的防紫外线玻璃的过滤效果，至少需要的普通玻璃层数为 　11　．（参考数据：．

【解答】解：设至少需要的普通玻璃层数为，，

由题意可得，，即，

所以，

故至少需要的普通玻璃层数为11．

故答案为：11．

16．（5分）设函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为 　，　．

【解答】解：二次函数的开口向上，对称轴为，

所以，即的值域为，，

要使不等式的解集为空集，则恒成立，

所以，即，解得，

所以实数的取值范围为，．

故答案为：，．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）（1）；

（2）．

【解答】解：（1）原式．

（2）．

18．（12分）已知函数是定义在上的函数．

（Ⅰ）判断函数的奇偶性（不需证明）；

（Ⅱ）用定义法证明函数在上是增函数；

（Ⅲ）解不等式．

【解答】解：（Ⅰ），则为奇函数．

（Ⅱ）证明：对于任意的，，且，

，

，，

，．

，即．

函数在上是增函数．（7分）

（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）知，是奇函数且在上递增，

（11分）

不等式的解集为．（12分）

19．（12分）已知．

（1）若（1）（2），求实数的取值范围；

（2）请在①，恒成立，②，使得，这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，并解答问题．若_______，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）由题意，（1）（2），即，

解得或，实数的取值范围为，，；

（2）选①：因为，恒成立，

所以，恒成立，即

当时，，当且仅当时，等号成立，所以，

的取值范围为；

选②：因为，使得，

所以，使得，即，

当时，，当且仅当时，等号成立，所以，

的取值范围为．

20．（12分）某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：百台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完．

（1）求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润销售额投入成本固定成本）；

（2）当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润．

【解答】解：（1）当时，，

当时，，

．

（2）当时，，

当时，取得最大值，

当时，，

当且仅当，即时，等号成立，

当时，取得最大值，

综上所述，当年产量为8000台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元．

21．（12分）已知，函数．

（1）判断函数的奇偶性，请说明理由；

（2）设，求函数在区间，上的最小值；

（3）设，函数在区间上既有最大值又有最小值，请分别求出，的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）

【解答】解：（1）当时，，则，是上的奇函数；

当时，（a），，则有（a），且（a），

即既不是奇函数，也不是偶函数，

所以，当时，是奇函数；当时，是非奇非偶函数；

（2）因，，则当时，，当且仅当时取“”，即（a）．

当时，，显然，即在，上递增，（1），

当时，，对称轴，

当时，（3）；当时，（1）．

综上得，；

（3）当时，函数，函数在区间上既有最大值又有最小值，

当时，函数图象如上左图，由，解得，

则有，

当时，函数图象如上右图，由解得：，

则有．

22．（12分）已知函数是奇函数，其中为常数．

（1）求函数的解析式；

（2）若关于的方程在，上有解，求实数的最大值；

（3）若关于的不等式在，恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）因为函数为奇函数，且定义域为，

所以，解得．

此时，

所以，

所以函数为奇函数．

所以函数的解析式为；

（2）令，因为，，

所以，在，上有解，

在，上有解，

在有解，

因为，，

所以，所以实数的最大值为；

（3）设，则

即，所以函数在上单调递减，

因为，

所以（1），

令，则由，，得，

令，

则结合题设及，得，，，

所以，

所以实数的取值范围为．

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