2021-2022学年江苏省常州市六校高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省常州市六校高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合，，，0，，则　　

A．，，0， B．，0， C．， D．，，

2．（5分）命题，的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

3．（5分）函数的定义域为　　

A． B．，， C．，， D．，

4．（5分）已知条件：点在函数的图象上；条件．则是的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（5分）函数的图象大致是　　

A． B． 

C． D．

6．（5分）已知是上的偶函数，在，上单调递增，且（2），则不等式的解集为　　

A．，， B．，， 

C． D．，，

7．（5分）设，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

8．（5分）数学里有一种证明方法叫做，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为　　

A． B． 

C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．（5分）命题“，则”的一个必要不充分条件是　　

A． B． C． D．

10．（5分）具有性质的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数，其中满足“倒负”变换的函数是　　

A． 

B． 

C． 

D．

11．（5分）若，，，下列正确的有　　

A． B． C． D．

12．（5分）下列命题中，正确的是　　

A．若，则 

B．若，则的最大值为 

C．，，使得 

D．若、，，则最小值为1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）若函数，则　　．

14．（5分）二次不等式的解集是，则　　．

15．（5分）已知函数，，，且，则（2）　　．

16．（5分）当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”．对于集合，，，若与构成“全食”，或构成“偏食”，则的取值集合为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）设为实数，集合，．

（1）若，求，；

（2）若，求实数的取值范围．

18．（12分）计算：

（1）；

（2）．

19．（12分）已知命题，命题，．

（1）若命题为真，求集合；

（2）若命题是命题成立的充分条件，求实数的取值范围．

20．（12分）已知函数．

（1）若函数在区间，上的最小值为，求的表达式；

（2）已知为奇函数，当时，，若对，恒成立，求实数的取值范围．

21．（12分）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元与月处理量（吨之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

22．（12分）已知函数，，函数，，其中．

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）若，

①求使得成立的的取值范围；

②求在区间，上的最大值．

2021-2022学年江苏省常州市六校高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合，，，0，，则　　

A．，，0， B．，0， C．， D．，，

【解答】解：，，，0，，

，，．

故选：．

2．（5分）命题，的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题，的否定是：，．

故选：．

3．（5分）函数的定义域为　　

A． B．，， C．，， D．，

【解答】解：要使函数有意义，必须：

解得，，．

函数的定义域是，，．

故选：．

4．（5分）已知条件：点在函数的图象上；条件．则是的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：条件：点在函数的图象上，

，解得，

不能推出，

条件，，

此时满足条件：点在函数的图象上，

即，

是的必要不充分条件．

故选：．

5．（5分）函数的图象大致是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：，

即当，，函数为增函数，

当，，函数为减函数，

故选：．

6．（5分）已知是上的偶函数，在，上单调递增，且（2），则不等式的解集为　　

A．，， B．，， 

C． D．，，

【解答】解：是上的偶函数，在，上单调递增，且（2），

在，上为单调递减，

不等式等价为（2），

即，

解不等式可得或．

故选：．

7．（5分）设，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：，，，

则，

当且仅当，，，上式取得等号，

由不等式恒成立，可得，

故选：．

8．（5分）数学里有一种证明方法叫做，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由题意得，，，

中，，

因为，

所以，当且仅当时取等号，

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．（5分）命题“，则”的一个必要不充分条件是　　

A． B． C． D．

【解答】解：四个选项中范围比大的符合题意，

故选：．

10．（5分）具有性质的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数，其中满足“倒负”变换的函数是　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：对于选项，

，，故满足“倒负”变换；

对于选项，

，，故不满足“倒负”变换；

对于选项，

当时，，，

当时，（1），成立，

当时，，，

故满足“倒负”变换；

对于选项，

，，故不满足“倒负”变换；

故选：．

11．（5分）若，，，下列正确的有　　

A． B． C． D．

【解答】解：若，，，

则，，，

所以，选项正确；

，选项错误；

由，当且仅当时取等号，又，，

所以等号不成立，即，选项正确；

由，选项正确．

故选：．

12．（5分）下列命题中，正确的是　　

A．若，则 

B．若，则的最大值为 

C．，，使得 

D．若、，，则最小值为1

【解答】解：对于：由于，所以，故，故正确；

对于：由于，所以，所以，当且仅当时等号成立，故正确；

对于：当时，选项错误；

对于：若、，，则，整理得，即，所以，故的最大值为1，故错误；

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）若函数，则　10　．

【解答】解：函数，

则，

（8），

故答案为：10．

14．（5分）二次不等式的解集是，则　　．

【解答】解：不等式的解集是，

方程的解是和1，

由根与系数的关系得，

解得，；

．

故答案为：．

15．（5分）已知函数，，，且，则（2）　5　．

【解答】解：根据题意，函数，其定义域为，

有，，

所以，，

（2），

故答案为：5．

16．（5分）当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”．对于集合，，，若与构成“全食”，或构成“偏食”，则的取值集合为 　，，　．

【解答】解：当与构成“全食”即时，

当时，；

当时，，

又，

；

与构成构成“偏食”时，且，

．

故的取值为：0，，，

故答案为：，，．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）设为实数，集合，．

（1）若，求，；

（2）若，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）集合，时，，

所以，

又因为，

所以或，

（2）由得或，

即或，

所以实数的取值范围是，，．

18．（12分）计算：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）原式．

（2）原式．

19．（12分）已知命题，命题，．

（1）若命题为真，求集合；

（2）若命题是命题成立的充分条件，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）若命题为真，则，即，

解集为．

（2）命题为真，则，即，

又因为，所以集合，

因为命题是命题成立的充分条件，可以列出方程组，

解得，

的取值范围为．

20．（12分）已知函数．

（1）若函数在区间，上的最小值为，求的表达式；

（2）已知为奇函数，当时，，若对，恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）函数的对称轴方程为，

当，即时，在，上单调递增，

所以；

当，即时，在，上单调递减，

所以（2）；

当，即时，在，上先减后增，

所以．

综上所述，；

（2）当时，，

令，则，

所以，

又函数为奇函数，

所以，

故，

所以，

则函数在上单调递减，

因为对，恒成立，

则对，恒成立，即对，恒成立，

所以，解得，

所以的取值范围为，．

21．（12分）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元与月处理量（吨之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

【解答】解：（1）由题意可知：，

所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为，

由基本不等式可得：（元，

当且仅当时，即当时，等号成立，

因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．

（2）令

，

，函数在区间，上单调递减，

当时，函数取得最大值，即．

所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损．

22．（12分）已知函数，，函数，，其中．

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）若，

①求使得成立的的取值范围；

②求在区间，上的最大值．

【解答】解：（1）由题知，对任意恒成立，

即恒成立，可得△，

解得；

（2）①当时，，又因为，可得，，

当时，，

因为，，所以，，

，原不等式无解，

综上，的取值范围是，；

②由①可知，，

当时，；

当时，（2），（6），，

综上，．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/30 15:20:59；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367