2021-2022学年江苏省盐城中学高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省盐城中学高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1．（5分）设集合，，，0，1，，则集合　　

A． B．，1， C．， D．

2．（5分）函数的定义域为　　

A．， B．， 

C．， D．，，

3．（5分）已知，则　　

A．27 B．18 C．15 D．25

4．（5分）若使不等式成立的任意一个，都满足不等式成立，则实数取值范围是　　

A． B．， C．， D．，

5．（5分）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知是定义在上的奇函数，当时，，则满足不等式实数的取值范围是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

7．（5分）2020年1月30日世界卫生组织将新型冠状病毒疫情列为国际关注的突发公共卫生事件，这是21世纪以来首次由一种冠状病毒导致的大流行．基本再生数与代间隔是流行病学基本参数．其中基本再生数指一个感染者传染的平均人数，代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此计算在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为　　

A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天

8．（5分）已知，满足，若存在实数，使得不等式成立，则实数的最小值为　　

A． B． C．1 D．4

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

9．（5分）下列等式成立的是　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）已知集合，，是全集为的非空真子集，且满足：，，则下列选项正确的是　　

A． B． C． D．

11．（5分）已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：

①，都有；

②，，且时，都有；

③（2），

则下列成立的是　　

A．（3） 

B．若，，， 

C．若（3），则 

D．，，使得

12．（5分）中国宋代数学家秦九韶提出了用三角形的三边求面积的“三斜求积术”，即已知三角的三边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，此公式化简后与海伦公式完全一致．其中为三角形周长的一半．现有一个三角形满足，，则下列结论正确的是　　

A． 

B． 

C．三角形的面积的最大值为12 

D．三角形的面积没有最小值

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，若两个空，第一个空2分，第二个空3分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）已知集合，，若，则　　．

14．（5分）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是 　　．

15．（5分）已知定义在，上的奇函数，且，则函数在，是单调 　　函数（填“增”或“减” ；且满足不等式的解集是 　　．

16．（5分）已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取范围是 　　．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知，（其中实数．

（1）若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围；

（2）设命题，中关于的不等式的解集，，且，求实数的取值范围．

18．（12分）已知正实数，满足等式．

（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）求的最小值．

19．（12分）近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，然而这并没有让华为却步．华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国的华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，

且，由市场调研知，每部手机售价0.6万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．

（1）求出2021年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；

（利润销售额成本）

（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

20．（12分）已知函数．其中实数．

（1）若对任意，都有值成立，求实数的取值范围；

（2）当的值域为，时，函数在区间，上有三个零点，求的取值范围．

21．（12分）数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．

（1）试利用对数运算性质计算的值；

（2）已知，，为正数，若，求的值．

（3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数．试判断的位数．（注

22．（12分）定义，，，，若函数，在数集上都有定义且对于任意的，，时，都有，，恒成立，则称是数集上的伴随函数．

（1）设是区间上的伴随函数且在区间上的值恒负，求证：函数在区间上是减函数；

（2）若，，试写出函数在定义域上的伴随函数，井利用（1）的结论，求在定义域上的单调区间，并说明理由．

2021-2022学年江苏省盐城中学高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1．（5分）设集合，，，0，1，，则集合　　

A． B．，1， C．， D．

【解答】解：集合，，，

集合，0，1，，

集合．

故选：．

2．（5分）函数的定义域为　　

A．， B．， 

C．， D．，，

【解答】解：要使函数有意义，则，

，，

即函数的定义域为，，

故选：．

3．（5分）已知，则　　

A．27 B．18 C．15 D．25

【解答】解：，

，

，

．

故选：．

4．（5分）若使不等式成立的任意一个，都满足不等式成立，则实数取值范围是　　

A． B．， C．， D．，

【解答】解：由得，，根据题意知不等式的解集是，的子集，

根据函数的图象可得解得，．

故选：．

5．（5分）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为函数在上单调递减，

则，

即，得，

故选：．

6．（5分）已知是定义在上的奇函数，当时，，则满足不等式实数的取值范围是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

【解答】解：是定义在上的奇函数，可得，

当时，，

则时，，

不等式等价为或，

解得或或，

故选：．

7．（5分）2020年1月30日世界卫生组织将新型冠状病毒疫情列为国际关注的突发公共卫生事件，这是21世纪以来首次由一种冠状病毒导致的大流行．基本再生数与代间隔是流行病学基本参数．其中基本再生数指一个感染者传染的平均人数，代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此计算在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为　　

A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天

【解答】解：将，代入，解得，

则累计感染病例数，

当时，，则，

两边取对数可得，解得．

故选：．

8．（5分）已知，满足，若存在实数，使得不等式成立，则实数的最小值为　　

A． B． C．1 D．4

【解答】解：构造函数，

则函数为奇函数且在上单调递增，

因为，满足，

则，

所以，即，

因为存在实数，使得不等式成立，

则存在实数，使得不等式成立，

即存在实数，使得成立，

因为，

所以，

故实数的最小值为．

故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

9．（5分）下列等式成立的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：对于选项，故选项错误，

对于选项，故选项正确，

对于选项，故选项正确，

对于选项，故选项正确，

故选：．

10．（5分）已知集合，，是全集为的非空真子集，且满足：，，则下列选项正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：集合，，是全集为的非空真子集，且满足：，，

作出韦恩图如下：

，故正确；

，故正确；

不是的子集，故错误；

，故正确．

故选：．

11．（5分）已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：

①，都有；

②，，且时，都有；

③（2），

则下列成立的是　　

A．（3） 

B．若，，， 

C．若（3），则 

D．，，使得

【解答】解：，都有，

函数在上偶函数；

，，且时，都有，

函数在上是减函数，在上是增函数；

对于选项，，，即（3），故错误；

对于选项，可化为，

①当时，（2），故；

②当时，（2），故；

故，，，故正确；

对于选项，（3），

，即，故错误；

对于选项，由题意知，函数在处取得最小值，

故当时，，，使得成立，故正确；

故选：．

12．（5分）中国宋代数学家秦九韶提出了用三角形的三边求面积的“三斜求积术”，即已知三角的三边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，此公式化简后与海伦公式完全一致．其中为三角形周长的一半．现有一个三角形满足，，则下列结论正确的是　　

A． 

B． 

C．三角形的面积的最大值为12 

D．三角形的面积没有最小值

【解答】解：对于，，所以，当且仅当时取等号，故错误；

对于：因为，所以，当且仅当时取等号，故正确；

对于：因为，所以，

所以，

因为，解得，

所以，当时，取得最大值，故正确；正确．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，若两个空，第一个空2分，第二个空3分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）已知集合，，若，则　或1　．

【解答】解：由已知可得，

解得或1，

故答案为：或1．

14．（5分）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是 　，　．

【解答】解：命题：“，使得”为假命题命题：“，使得”恒成立．

时，符合题意，

时，需，

．

故答案为：，．

15．（5分）已知定义在，上的奇函数，且，则函数在，是单调 　增　函数（填“增”或“减” ；且满足不等式的解集是 　　．

【解答】解：定义在，上的奇函数，

可得，即，

又，可得，解得，

则，

当时，在，递增，且，

由奇函数的性质可得在，递增，由于为连续函数，

所以在，单调增函数；

即为，

由于在，单调增函数，可得，

解得，所以，

所以不等式的解集为，．

故答案为：增，，．

16．（5分）已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取范围是 　，　．

【解答】解：令，则方程等价为，

作出函数的图象如图：

图象可知当时，函数有4个交点，

所以要使有8个相异实根，

则等价为有两个不等实根，，且都在内，

令，

由根的分布可得，

解得，

则实数的取值范围是，．

故答案为：，．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知，（其中实数．

（1）若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围；

（2）设命题，中关于的不等式的解集，，且，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）由，得，，

，

又，，，，

是的必要不充分条件，，

，且等号不同时取，解得，

又，，

故的取值范围为，；

（2），，，

或，解得或，

又，，

故实数的取值范围为．

18．（12分）已知正实数，满足等式．

（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）求的最小值．

【解答】解：（1），

当且仅当时，有最小值，

由不等式恒成立，

恒成立，

，

故实数的取值范围，；

（2）由，

由题意可得，即，所以，

令，可得，

所以当时，有最小值8．

19．（12分）近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，然而这并没有让华为却步．华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国的华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，

且，由市场调研知，每部手机售价0.6万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．

（1）求出2021年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；

（利润销售额成本）

（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

【解答】解：（1）销售（千部）手机获得的销售额为，

当时，，

当时，，

故．

（2）当时，，

当时，，

当时，，

当，即时，等号成立，

当（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是6800（万元）．

20．（12分）已知函数．其中实数．

（1）若对任意，都有值成立，求实数的取值范围；

（2）当的值域为，时，函数在区间，上有三个零点，求的取值范围．

【解答】解：（1）即，，，

整理得在，上恒成立，

又，

当且仅当，即，时等号成立

故；

，；

（2）因为函数的值域为，，

则△，得（负值舍去），

故，

作出，，的图像如下：

令，

则，

，，

要使函数在区间，上有三个零点，

则或，

解得．

，．

21．（12分）数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．

（1）试利用对数运算性质计算的值；

（2）已知，，为正数，若，求的值．

（3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数．试判断的位数．（注

【解答】解：（1）原式．

（2）令，则，

，，，

．

（3）设，则，

，则，，

的位数为609．

22．（12分）定义，，，，若函数，在数集上都有定义且对于任意的，，时，都有，，恒成立，则称是数集上的伴随函数．

（1）设是区间上的伴随函数且在区间上的值恒负，求证：函数在区间上是减函数；

（2）若，，试写出函数在定义域上的伴随函数，井利用（1）的结论，求在定义域上的单调区间，并说明理由．

【解答】（1）证明：设，，且，

因为在区间上的值恒负，

所以，，，

因为，

所以，即，

故函数在区间上是减函数；

（2）解：对于任意的，，且，

则，

因为，

则，

故函数在定义域上的伴随函数，

当时，，

当时，，

故函数的单调递增区间是，单调递减区间为．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/30 15:19:25；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367