2021-2022学年江苏省常州市教育学会高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省常州市教育学会高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知是第二象限角，且，则的值是　　

A． B． C． D．

2．（5分）若幂函数的图象过点，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知集合，，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值集合为　　

A． B．， C．， D．

4．（5分）函数的大致图象是　　

A． B． 

C． D．

5．（5分）函数的零点个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

6．（5分）已知偶函数在，上单调递增，若，，，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设，甲第一次提价，第二次提价；乙两次均提价；丙一次性提价．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为　　

A．乙、甲、丙 B．甲、乙、丙 C．乙、丙、甲 D．丙、甲、乙

8．（5分）已知，若对于任意的，都有，则实数的最小值为　　

A． B． C．6 D．10

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（5分）若函数且在区间，上的最大值和最小值的和为，则的值可能是　　

A． B． C． D．3

10．（5分）已知函数是上的减函数，则实数的可能的取值有　　

A．4 B．5 C．6 D．7

11．（5分）如图是函数的部分图象，则　　

A． B． C． D．

12．（5分）已知函数，其中是自然对数的底数，则下列说法中正确的有　　

A．是周期函数 

B．在区间上是减函数 

C．关于的方程有实数解 

D．的图象关于点对称

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）的值为 　　．

14．（5分）半径为，面积为的扇形的圆心角为 　　弧度．

15．（5分）已知函数，且关于的方程在区间上有唯一解，则的取值范围是 　　．

16．（5分）德国数学家康托创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其构造的操作过程如下：将闭区间，均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；以此类推，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为3段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的元素构成的集合为“康托三分集”．定义区间长度为，则构造“康托三分集”的第次操作去掉的各区间的长度之和为　　，若第次操作去掉的各区间的长度之和小于，则的最小值为 　　．

（参考数据：，．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知集合，集合，设集合．

（1）求；

（2）当时，求函数的最小值．

18．（12分）在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，求下列各式的值：

（1）；

（2）．

19．（12分）将正弦曲线上的所有的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到曲线，再将曲线向左平移个单位得到曲线，曲线恰为函数的图象．

（1）直接写出函数的解析式，并求出的最小正周期与单调增区间；

（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

20．（12分）设，为实数，已知定义在上的函数为奇函数，且其图象经过点．

（1）求的解析式；

（2）用定义证明为上的增函数，并求在，上的值域．

21．（12分）已知函数，．

（1）若，求的最小值（a）；

（2）若关于的方程在上有解，求的取值范围．

22．（12分）已知函数，．

（1）求证：为上的偶函数；

（2）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围．

2021-2022学年江苏省常州市教育学会高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知是第二象限角，且，则的值是　　

A． B． C． D．

【解答】解：是第二象限角，且，

由，可得．

故选：．

2．（5分）若幂函数的图象过点，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：设，代入点的解析式得：

，解得：，

故，

故选：．

3．（5分）已知集合，，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值集合为　　

A． B．， C．， D．

【解答】解：集合，

，，

若是的充分不必要条件，则有，

当时，得，故，

当时，集合不能真包含于，故无解，

综上，实数的取值范围为．

故选：．

4．（5分）函数的大致图象是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：，则是奇函数，图象关于原点对称，排除，，

当，，排除，

故选：．

5．（5分）函数的零点个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：函数，

当时，令，解得，

当时，令，解得，

函数的零点有2个，

故选：．

6．（5分）已知偶函数在，上单调递增，若，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为是偶函数，

所以（1），，

因为，，

所以，

因为在，上单调递增，

所以（1），

即．

故选：．

7．（5分）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设，甲第一次提价，第二次提价；乙两次均提价；丙一次性提价．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为　　

A．乙、甲、丙 B．甲、乙、丙 C．乙、丙、甲 D．丙、甲、乙

【解答】解：设提价前的价格为1，

则甲提价后的价格为：，

乙提价后的价格为：，

丙提价后的价格为：，

因为，所以，

所以，

即乙甲丙，

故选：．

8．（5分）已知，若对于任意的，都有，则实数的最小值为　　

A． B． C．6 D．10

【解答】解：令，

则，所以是奇函数，

则可化为，

即（a），

因为在上单调递减，

所以在上恒成立，

则，

令，则，，则在，上单调递减，

所以当时取得最小值为10，

所以，解得，

所以实数的最小值为．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（5分）若函数且在区间，上的最大值和最小值的和为，则的值可能是　　

A． B． C． D．3

【解答】解：且在区间，上单调函数，

，，

或，

即或，

故选：．

10．（5分）已知函数是上的减函数，则实数的可能的取值有　　

A．4 B．5 C．6 D．7

【解答】解：因为函数是上的减函数，

所以，解可得，

所以四个选项中符合条件的实数的取值可以是4，5，6．

故选：．

11．（5分）如图是函数的部分图象，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：若，根据函数的部分图象，可得，

由，求得．

再结合五点法作图，可得，，

故函数的解析式为．

若，根据函数的部分图象，可得，

由，求得．

再结合五点法作图，可得，，故据函数．

故选：．

12．（5分）已知函数，其中是自然对数的底数，则下列说法中正确的有　　

A．是周期函数 

B．在区间上是减函数 

C．关于的方程有实数解 

D．的图象关于点对称

【解答】解：对于，所以是以为周期的周期函数，故正确；对于：因为在上为减函数，在上为增函数，

根据复合函数单调性同增异减原则，可得在上为减函数，

同理在上为增函数，所以在上为增函数，

所以在上是减函数，故正确；

对于：因为，，，，

所以，，当且仅当，时方程有解，

即且时方程有解，

此时且，无法同时满足，

所以关于的方程没有实数解，故错误；

对于，

，

所以，即的图象关于点对称，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）的值为 　　．

【解答】解：．

故答案为：．

14．（5分）半径为，面积为的扇形的圆心角为 　　弧度．

【解答】解：扇形的半径为，面积为，

则扇形的圆心角的弧度数满足，

解得．

故答案为：．

15．（5分）已知函数，且关于的方程在区间上有唯一解，则的取值范围是 　，　．

【解答】解：，，，

设，则，

作出函数的图象，

则当时，，当时，，

则要使在区间上有唯一解，

则或，

即的取值范围是，，

故答案为：，．

16．（5分）德国数学家康托创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其构造的操作过程如下：将闭区间，均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；以此类推，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为3段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的元素构成的集合为“康托三分集”．定义区间长度为，则构造“康托三分集”的第次操作去掉的各区间的长度之和为　　，若第次操作去掉的各区间的长度之和小于，则的最小值为 　　．

（参考数据：，．

【解答】解：第一次操作去掉的区间长度为；

第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；

第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；

，

第次操作去掉个长度为的区间，长度和为；

由题意可知，

，

故答案为：；10．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知集合，集合，设集合．

（1）求；

（2）当时，求函数的最小值．

【解答】解：（1）集合，

集合，

或，

集合．

（2）当时，，

函数．

当且仅当，即时，取等号，

当时，求函数的最小值为8．

18．（12分）在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，求下列各式的值：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）由任意角三角函数的定义可得：，

可得．

（2）．

19．（12分）将正弦曲线上的所有的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到曲线，再将曲线向左平移个单位得到曲线，曲线恰为函数的图象．

（1）直接写出函数的解析式，并求出的最小正周期与单调增区间；

（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）正弦曲线上的所有的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到曲线的图象，即，再将曲线向左平移个单位得到曲线，曲线恰为函数的图象；

所以函数的最小正周期为，

令，

整理得：，

所以函数的单调递增区间为．

（2）由于，所以；

由于不等式对恒成立，

所以，整理得．

故实数的取值范围为．

20．（12分）设，为实数，已知定义在上的函数为奇函数，且其图象经过点．

（1）求的解析式；

（2）用定义证明为上的增函数，并求在，上的值域．

【解答】解：（1）因为是定义在上的奇函数，

所以，可得①，

且其图象经过点，

可得（1）②，

联立①②，解得，，

所以，

，满足是奇函数，

所以的解析式为．

（2）证明：设任意，且，

则，

因为，所以，所以，，，

所以，，

所以为上的增函数，

在，上单调递增，，（2），

所以在，上的值域为，．

21．（12分）已知函数，．

（1）若，求的最小值（a）；

（2）若关于的方程在上有解，求的取值范围．

【解答】解：因为函数，

因为，所以，，令，则，，

则，

又因为，所以，

当，即时，则在，上单调递减，在，上单调递增，

故在，上的最小值为（a），

当即时，在，上单调递减，

故在，上的最小值为（a）（1），

综上所述：（a），

（2）因为关于的方程在上有解，

即关于的方程在上有解，

所以在上有解，

因为，所以，，令，，

则，

因为在，上单调递增，则，，

故的取值范围是，．

22．（12分）已知函数，．

（1）求证：为上的偶函数；

（2）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围．

【解答】证明：（1）函数，定义域为，关于原点对称，

，

函数为上的偶函数．

解：（2），

函数在上只有一个零点，

关于的方程有唯一的实数解，

即方程有唯一的实数解，即，

化简得，

令，下面研究关于的方程，

①当时，，符合题意；

②当时，则△，且，

方程有异号的两个实根，符合题意；

③当时，则，故只需，

解得，

此时方程有两个相等的正根，符合题意；

综上所述，实数的取值范围，．

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