2021-2022学年江苏省常州市教育学会高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省常州市教育学会高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）的值为　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知是虚数单位，复数，则在复平面上复数对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（5分）已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的弧长为　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的值是　　

A． B． C．9 D．11

6．（5分）已知平面向量，满足，，与的夹角为，，则实数的值为　　

A． B．2 C． D．

7．（5分）已知，则的值为　　

A． B． C． D．

8．（5分）在中，若，则　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（5分）已知平面向量，不共线，，，若，，三点共线，则实数的可能的取值有　　

A．1 B． C．2 D．

10．（5分）关于复数为虚数单位），下列说法正确的有　　

A． B． C． D．

11．（5分）已知函数，则下列结论正确的有　　

A．的最小正周期为 

B．的值域是， 

C．在上单调递减 

D．的图象关于点对称

12．（5分）已知，，且在区间内有最大值，无最小值，则可能的取值有　　

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知等边三角形的边长为6，若，则　　．

14．（5分）已知，其中，则的值为 　　．

15．（5分）如图所示，一个半径为4米的筒车绕其轴心按逆时针方向匀速转动，每旋转1周恰需要30秒，轴心距水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米，在水面下时为负数）．将盛水筒上浮到水面的一点设为起始位置，则与时间（单位：秒）之间的关系为 　　．（用表示）

16．（5分）在平面直角坐标系中，先将线段绕原点按逆时针方向旋转角，再将旋转后的线段的长度变为原来的倍得到，我们把这个过程称为对点进行一次变换得到点，例如对点进行一次变换得到点．若对点进行一次变换得到点，则的坐标为 　　；若对点进行一次变换得到点，对点再进行一次变换得到点，则的坐标为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知平面向量，，，．

（1）求；

（2）若，求实数的值．

18．（12分）已知复数满足方程，且复数对应的点在复平面的实轴上方．

（1）求；

（2）设，在复平面上的对应点分别为，，求的值．

19．（12分）已知函数的一段图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．

（1）求函数与的解析式；

（2）记函数，求的图象的对称轴方程．

20．（12分）已知中，角，，所对的边分别为，，，．

（1）求证：为钝角；

（2）若同时满足下列4个条件中的3个：①；②；③；④．试确定这3个条件，并求的值．

21．（12分）在平面四边形中，，，，，的面积为．

（1）求的值；

（2）求边的长．

22．（12分）设为边上一点，满足，，记，．

（1）若，，求的长；

（2）若，其中为定值，试用，表示的面积，并求其最大值．

2021-2022学年江苏省常州市教育学会高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

故选：．

2．（5分）已知是虚数单位，复数，则在复平面上复数对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：，

在复平面上复数对应的点的坐标为，位于第二象限．

故选：．

3．（5分）已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的弧长为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设扇形的弧长为，半径为，扇形的圆心角的弧度数是，

则由题意，可得，，

则，解得，．

故选：．

4．（5分）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，，

由正弦定理，

得，

故选：．

5．（5分）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的值是　　

A． B． C．9 D．11

【解答】解：，由正弦定理可得：，，

，，

，又，

由余弦定理可得：，

与联立，

则，

故选：．

6．（5分）已知平面向量，满足，，与的夹角为，，则实数的值为　　

A． B．2 C． D．

【解答】解：，，与的夹角为，，

，

则实数，

故选：．

7．（5分）已知，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

故选：．

8．（5分）在中，若，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由，得，

，

，即，

则，

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（5分）已知平面向量，不共线，，，若，，三点共线，则实数的可能的取值有　　

A．1 B． C．2 D．

【解答】解：，，三点共线，

存在唯一实数，使得，

，

，解得或，

实数的可能的取值有或2，

故选：．

10．（5分）关于复数为虚数单位），下列说法正确的有　　

A． B． C． D．

【解答】解：对于，复数为虚数单位），，故正确，

对于，，故错误，

对于，，故正确，

对于，，，故正确．

故选：．

11．（5分）已知函数，则下列结论正确的有　　

A．的最小正周期为 

B．的值域是， 

C．在上单调递减 

D．的图象关于点对称

【解答】解：，

则最小正周期，故正确，

当时，最大为，当时，最小为，即的值域为，．故正确，

当时，，，，，此时为增函数，故错误，

当时，，即此时，即的图象关于点对称，故正确，

故选：．

12．（5分）已知，，且在区间内有最大值，无最小值，则可能的取值有　　

A． B． C． D．

【解答】解：；

由于；

且在区间内有最大值，无最小值，

故函数关于对称；

且；

整理得；

由于函数关于时，函数达到最值；

故；或；

由于；

所以或或；

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知等边三角形的边长为6，若，则　　．

【解答】解：因为，所以，

，

因为等边三角形的边长为6，

所以，，

因此，

故答案为：．

14．（5分）已知，其中，则的值为 　　．

【解答】解：，

，，

，

，，

则，

则，

故答案为：．

15．（5分）如图所示，一个半径为4米的筒车绕其轴心按逆时针方向匀速转动，每旋转1周恰需要30秒，轴心距水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米，在水面下时为负数）．将盛水筒上浮到水面的一点设为起始位置，则与时间（单位：秒）之间的关系为 　　．（用表示）

【解答】解：由题意知，，

由图可知的最大值为6，最小值为，

即，解得，，

因为每30秒转1圈，所以函数的周期为，

解得，所以，

当时，，即，可得，

由，可得．

所以，．

故答案为：，．

16．（5分）在平面直角坐标系中，先将线段绕原点按逆时针方向旋转角，再将旋转后的线段的长度变为原来的倍得到，我们把这个过程称为对点进行一次变换得到点，例如对点进行一次变换得到点．若对点进行一次变换得到点，则的坐标为 　　；若对点进行一次变换得到点，对点再进行一次变换得到点，则的坐标为 　　．

【解答】解：点，与轴的夹角，且，

进行一次，变换，即将线段绕原点按逆时针方向旋转，

再将的长度伸长为原来的2倍得到点，，即坐标为，

对点进行一次变换后得到点，

，，即，

，

设与轴的正方向的夹角为，则，，

且，，，

，

，，，

，

，

，，，．

故答案为：；，．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知平面向量，，，．

（1）求；

（2）若，求实数的值．

【解答】解：（1），，且，，则，故．

又因为，所以，故．

（2）由（1）及条件，，

，，

解得．

18．（12分）已知复数满足方程，且复数对应的点在复平面的实轴上方．

（1）求；

（2）设，在复平面上的对应点分别为，，求的值．

【解答】解：（1）因为复数对应的点在复平面的实轴上方，

所以可设，，，

又复数满足，

故，即，

根据复数相等的定义，，

又注意到，解得，即．

（2）由（1）知，，，，

则点，，，

则，，

因此，

又因为，

所以．

19．（12分）已知函数的一段图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．

（1）求函数与的解析式；

（2）记函数，求的图象的对称轴方程．

【解答】解：（1）由函数的一段图象可得

，，于是，

则．

再结合五点法作图，可得，，．

根据题意，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，

故．

（2）由（1）知，．

令，得到，

则的图象的对称轴方程为．

20．（12分）已知中，角，，所对的边分别为，，，．

（1）求证：为钝角；

（2）若同时满足下列4个条件中的3个：①；②；③；④．试确定这3个条件，并求的值．

【解答】（1）证明：（法因为，所以，故由得，，由正弦定理得，所以，再由余弦定理得，即，

则，又，故为钝角．

（法由，．

又，则，

又，，则，，故为钝角．

（2）解：首先排除①，②同时满足的情形．由，，则．

又为钝角，则为锐角，由得，则，故，与为钝角矛盾．

若满足条件①，③，④，由得，，又，故．

若满足条件②，③，④，由（1）知为锐角，又，得，又，则，那么，则，与为钝角矛盾．

综上，使得存在的仅有的一组条件是①，③，④，此时．

21．（12分）在平面四边形中，，，，，的面积为．

（1）求的值；

（2）求边的长．

【解答】解：（1）在中，因为，所以，

则．

（2）由（1）得，

又，所以．

在中，由正弦定理，．

因为，所以．

在中，，

所以．

22．（12分）设为边上一点，满足，，记，．

（1）若，，求的长；

（2）若，其中为定值，试用，表示的面积，并求其最大值．

【解答】解：（1）设长为，当时，，，则，．

，，即，

，得，解得，即为；

（2）在中，，则，

由正弦定理得，又，

，，

因此，的面积

，

则的面积

．

又，，，，

故当且仅当，即时，的面积取最大值为．

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