2021-2022学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷

一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）

1．（5分）已知全集，2，3，且，则集合的真子集的个数为　　个．

A．6 B．7 C．8 D．9

2．（5分）“或”的充要条件是　　

A． B． C． D．

3．（5分）若“，”是假命题，则实数的取值范围是　　

A． B．， C．， D．，

4．（5分）若函数的定义域是，，则函数的定义域是　　

A．， B．，， C．， D．，，

5．（5分）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

6．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

7．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中某类物质的原子总数约为则下列各数中与最接近的是　　

（参考数据：

A． B． C． D．

8．（5分）设函数为定义在上的奇函数，且在内是增函数，又（5），则的解集是　　

A．或 B．或 

C．或 D．或

二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）

9．（5分）已知集合，集合，使的实数的值可以是　　

A．0 B． C．4 D．6

10．（5分）一次函数满足，则的解析式可以是　　

A． B． C． D．

11．（5分）若，，，则下列命题正确的是　　

A．若且，则 B．若，则 

C．若且，则 D．

12．（5分）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，那么函数的零点的个数可能是　　

A．3 B．4 C．6 D．8

三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）

13．（5分）已知，为实数，设，则　　．

14．（5分）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则的值为 　　．

15．（5分）用一根铁丝折成面积为的长方形的四条边，则所用铁丝的长度最短为 　　．

16．（5分）设，．若，则　　；若，则的取值范围是 　　．

四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）

17．（10分）计算：

（1）；

（2）．

18．（12分）（1）已知实数，满足：，，且，求的最大值；

（2）若正实数，满足，求的最小值．

19．（12分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：

已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若_____，求实数的取值范围．

20．（12分）设函数（其中．

（1）讨论函数的奇偶性，并证明你的结论；

（2）若，试判断函数在区间，上的单调性，并用单调性的定义加以证明．

21．（12分）已知函数．

（1）当，且（a）（b）时，求的值；

（2）若存在正实数、使得函数的定义域为，时，值域为，，求的取值范围．

22．（12分）已知函数，函数，实数．

（1）当时，解不等式；

（2）令函数，对于给定的正实数，方程有三个不同的实根、、，且，有恒成立，求实数的取值范围．

2021-2022学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）

1．（5分）已知全集，2，3，且，则集合的真子集的个数为　　个．

A．6 B．7 C．8 D．9

【解答】解：，全集，2，3，，

集合，3，，

集合含有3个元素，

其真子集的个数为个．

故选：．

2．（5分）“或”的充要条件是　　

A． B． C． D．

【解答】解：：当时，则，错误，

：当时，则，，错误，

：当时，则或，反之，当或时，，正确，

：当，时，则，错误，

故选：．

3．（5分）若“，”是假命题，则实数的取值范围是　　

A． B．， C．， D．，

【解答】解：因为“，”是假命题，

则“，”是真命题，

当时，恒成立，

当时，则，解得．

综上所述，实数的取值范围为，．

故选：．

4．（5分）若函数的定义域是，，则函数的定义域是　　

A．， B．，， C．， D．，，

【解答】解：函数的定义域是，，

由，解得，

则的定义域为，，

又，即．

函数的定义域是，，．

故选：．

5．（5分）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：因为在区间上是增函数，

函数的对称轴为，

所以，

所以，

故选：．

6．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：，

则对应的图象为，

故选：．

7．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中某类物质的原子总数约为则下列各数中与最接近的是　　

（参考数据：

A． B． C． D．

【解答】解：由题意，，，

根据对数性质有：，

，

，

故选：．

8．（5分）设函数为定义在上的奇函数，且在内是增函数，又（5），则的解集是　　

A．或 B．或 

C．或 D．或

【解答】解：因为函数为定义在上的奇函数，且在内是增函数，又（5），

则，且函数在上单调递增，

所以等价于或，

等价于或，

又等价于或，

解得或，

则不等式的解集为，，．

故选：．

二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）

9．（5分）已知集合，集合，使的实数的值可以是　　

A．0 B． C．4 D．6

【解答】解：因为集合，集合，且，

则．

故选：．

10．（5分）一次函数满足，则的解析式可以是　　

A． B． C． D．

【解答】解：设一次函数，，

足，

，且．

求得，；或，，

故 或，

故选：．

11．（5分）若，，，则下列命题正确的是　　

A．若且，则 B．若，则 

C．若且，则 D．

【解答】解：对于，当，时，，故错误；

对于，，因为，所以，即，故正确；

对于，因为若且，所以，

故，故正确；

对于，因为，

所以，故正确；

故选：．

12．（5分）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，那么函数的零点的个数可能是　　

A．3 B．4 C．6 D．8

【解答】解：因为函数是定义在上的偶函数，且当时，，

作出函数在，上的图象如图所示，

所以在，上有4个零点，

则当时，，

当时，，的零点个数为4个，

当时，在上单调递增，

此时在上可能存在根，

则的零点个数为6，

当时，，的零点个数为4，

故的零点个数可能为4或6．

故选：．

三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）

13．（5分）已知，为实数，设，则　1　．

【解答】解：由，得，，

．

故答案为：1．

14．（5分）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则的值为 　　．

【解答】解：是奇函数，

时，，

则（2）．

故答案为：．

15．（5分）用一根铁丝折成面积为的长方形的四条边，则所用铁丝的长度最短为 　　．

【解答】解：设长方形的长为，宽为，

则，

所用铁丝的长度为，

（当且仅当时，等号成立），

故所用铁丝的长度最短为，

故答案为：．

16．（5分）设，．若，则　　；若，则的取值范围是 　　．

【解答】解：根据题意，若，即不等式的解集为，

即方程的两个根为和2，

则有，解可得，，

则；

若，

设，则有，则有，

则，有两个根0和，

当时，，，有，符合题意．

当时，，，则有，，

即方程，也有两个根0和，

，即，

对于，0和都不是方程的根，必有△，解可得，

综合可得：，，

则有，即的取值范围是，；

故答案为：，，．

四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）

17．（10分）计算：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）

；

（2）

．

18．（12分）（1）已知实数，满足：，，且，求的最大值；

（2）若正实数，满足，求的最小值．

【解答】解：（1），，且，

，

解得，，

当且仅当，时，等号成立，

故的最大值为2；

（2）正实数，满足，

，

，

当且仅当时，等号成立，

故的最小值为8．

19．（12分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：

已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若_____，求实数的取值范围．

【解答】解：．

（1）当时，，

所以；

（2）若选①，则有，

当时，，解得；

当时，

，解得，

综上所述的取值范围为：，，；

若选②，则，

又因为或，

当时，，解得；

当时，

或，

解得，或，

综上所述的取值范围为：，，；

若选③，则有：

当时，，解得；

当时，

或，

解得或，

上所述的取值范围为：，，；

20．（12分）设函数（其中．

（1）讨论函数的奇偶性，并证明你的结论；

（2）若，试判断函数在区间，上的单调性，并用单调性的定义加以证明．

【解答】解：（1）当时，函数，定义域为关于原点对称，

且，所以此时函数是奇函数；

当时，函数，定义域为关于原点对称，

且，所以此时函数既不是奇函数也不是偶函数；

（2）当时，函数在，上单调递增；

证明：任取，，，不妨设，

则，

因为，所以，，

又，，

所以，

则，

即函数在，上单调递增．

21．（12分）已知函数．

（1）当，且（a）（b）时，求的值；

（2）若存在正实数、使得函数的定义域为，时，值域为，，求的取值范围．

【解答】解：（1）由，且（a）（b），

则，则（a），

所以，

故；

（2）因为，，

所以，

则在，上单调递增，

所以，即，

所以，

则，是方程的两个根，

且关于的方程有两个大于1的不等实数根，设为，，

则，

所以，即，

解得，

故实数的取值范围为．

22．（12分）已知函数，函数，实数．

（1）当时，解不等式；

（2）令函数，对于给定的正实数，方程有三个不同的实根、、，且，有恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）由题意，当时，，

当时，，解得；

当时，，即，恒成立，

故．

综上所述，不等式的解集为；

（2）由题意可得，，

当时，函数，

则函数在上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增，

当时，直线与函数的图象有三个交点，

所以，，，

当时，，可得，

又恒成立，即恒成立，

①当，即时，令，解得或（舍，

此时，即；

②当，即时，令，解得（舍或，

此时，即；

当时，函数，

函数在上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增，

当时，直线与函数的图象有三个交点，

所以，，，

由可知，，

又恒成立，即恒成立，

令，解得（舍或，

此时，即；

当时，函数，

函数在上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增，

当时，直线与函数的图象有三个交点，

所以，，，

同理可得，，

又恒成立，即恒成立，

①当，即时，令，解得或，

此时；

②当，即时，令，解得或（舍，

此时．

综上所述，当时，；当时，；当时，．

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