2021-2022学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设是定义在上的奇函数，且当时，，则　　

A．1 B． C． D．

2．（5分）下列四个命题中，其中真命题的个数为　　

①与0非常接近的全体实数能构成集合；

②，表示一个集合；

③空集是任何一个集合的真子集；

④任何一个非空集合至少有两个子集．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

3．（5分）“”是“”成立的　　

A．充要条件 B．充分不必要条件 

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）已知函数，，则函数的图象是　　

A． B． 

C． D．

5．（5分）下列函数中最小值为4的是　　

A． B．当时， 

C．当时， D．

6．（5分）已知函数满足对于任意实数，都有成立，那么的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．

7．（5分）对于任意两个正整数，，定义某种运算“※”如下：当，都为正偶数或都为正奇数时，※；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※，则在此定义下，集合※中的元素个数是　　

A．10 B．9 C．8 D．7

8．（5分）已知函数，若对任意，，，都有，则实数的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（5分）已知，，，则下列推证中不正确的是　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）已知函数，，下列结论正确的是　　

A．，，，则实数的取值范围是 

B．，，恒成立，则实数的取值范围是 

C．，，，， 

D．，，，则实数的取值范围是

11．（5分）下列关于函数的说法中正确的是　　

A．为奇函数 

B．在上单调递减 

C．不等式的解集为，， 

D．不等式的解集为，，

12．（5分）定义：若函数在区间，上的值域为，，则称区间，是函数的“完美区间”，另外，定义区间，的“复区间长度”为，已知函数，则　　

A．，是的一个“完美区间” 

B．，是的一个“完美区间” 

C．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 

D．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）函数的定义域是 　　．

14．（5分）已知全集，设集合，集合，则上图中阴影部分表示的集合是 　　．

15．（5分）若正数，满足，则的最小值是 　　．

16．（3分）值是水溶液的重要理化参数．若溶液中氢离子的浓度为（单位：，则其值为．在标准温度和气压下，若水溶液，则溶液为中性，时为酸性，时为碱性．例如，甲溶液中氢离子浓度为，其为，即．已知乙溶液的，则乙溶液中氢离子浓度为　　．若乙溶液中氢离子浓度是丙溶液的两千万倍，则丙溶液的酸碱性为　　（填中性、酸性或碱性）．

四、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．设全集，集合，，集合．

（1）当时，求，；

（2）若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．计算：

（1）；

（2）．

19．已知函数，．

（1）当时，关于的不等式的解集为，，，求实数的值；

（2）当时，求关于的不等式的解集（结果用表示）．

20．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．

（1）补充完整图像，写出函数的解析式和其单调区间；

（2）若函数，，求函数的最小值．

21．如图，已知四边形为直角梯形，，，，点从点出发，沿着边运动到点，过点作直线垂直于边，设，则的左侧部分的多边形的面积为，周长为．

（1）求和的解析式；

（2）记，求的最大值．

22．已知函数．

（1）当时，判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；

（2）当时，关于的不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．

2021-2022学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设是定义在上的奇函数，且当时，，则　　

A．1 B． C． D．

【解答】解：是定义在上的奇函数，且当时，，

（1），

故选：．

2．（5分）下列四个命题中，其中真命题的个数为　　

①与0非常接近的全体实数能构成集合；

②，表示一个集合；

③空集是任何一个集合的真子集；

④任何一个非空集合至少有两个子集．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【解答】解：①与0非常接近的全体实数不确定，所以不能构成集合，故错误，

②，，，正确，

③空集是任何一个非空集合的真子集，错误，

④对于非空集合，至少有一个元素，所以子集的个数为，正确．

故选：．

3．（5分）“”是“”成立的　　

A．充要条件 B．充分不必要条件 

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：，

“”是“”成立的充要条件．

故选：．

4．（5分）已知函数，，则函数的图象是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：当时，，函数单调递减，且当，（1）

当时，，函数单调递增，且当，（1）

故选：．

5．（5分）下列函数中最小值为4的是　　

A． B．当时， 

C．当时， D．

【解答】解：：当时，，的最小值不为4，错误，

：当时，，

当且仅当，即时取等号，的最小值为4，正确，

：当时，，的最小值不为4，错误，

，当且仅当，

即时取等号，不存在，错误，

故选：．

6．（5分）已知函数满足对于任意实数，都有成立，那么的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．

【解答】解：对于任意实数，都有 成立，

函数是定义在上的增函数，

则，

解得：，，

故选：．

7．（5分）对于任意两个正整数，，定义某种运算“※”如下：当，都为正偶数或都为正奇数时，※；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※，则在此定义下，集合※中的元素个数是　　

A．10 B．9 C．8 D．7

【解答】解：由定义知，

当，都为正偶数或都为正奇数时，※，

故是，，，，，，；

当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※，

故是，；

故共9个元素，

故选：．

8．（5分）已知函数，若对任意，，，都有，则实数的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：因为函数，

令，

因为，，

所以，，

所以有，，，

所以，，

若对任意，，，都有，

则，

而，

所以，

整理得，

解得或，

故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（5分）已知，，，则下列推证中不正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：当时，，故错误；

当时，由，可得，故错误；

由，可得，故正确；

取，，由，可知错误．

故选：．

10．（5分）已知函数，，下列结论正确的是　　

A．，，，则实数的取值范围是 

B．，，恒成立，则实数的取值范围是 

C．，，，， 

D．，，，则实数的取值范围是

【解答】解：对于，因为，

所以当，时，，

因为，，，

所以，

则，

故选项错误；

对于，因为，，恒成立，

所以，

则，

故选项正确；

对于，因为在上单调递增，

所以在，上单调递减，

则，

因为，，，，，

则的值域是的值域的子集，

因为的值域为，的值域为，，

故选项错误；

对于，因为在，上的值域为，

所以实数的取值范围为，

故选项正确．

故选：．

11．（5分）下列关于函数的说法中正确的是　　

A．为奇函数 

B．在上单调递减 

C．不等式的解集为，， 

D．不等式的解集为，，

【解答】解：由题意函数的定义域为，

且，为偶函数，选项错误．

当时，为单调递减函数，选项正确．

当时，的解集为，

由偶函数的对称性可知不等式的解集为，，，选项正确，选项错误．

故选：．

12．（5分）定义：若函数在区间，上的值域为，，则称区间，是函数的“完美区间”，另外，定义区间，的“复区间长度”为，已知函数，则　　

A．，是的一个“完美区间” 

B．，是的一个“完美区间” 

C．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 

D．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为

【解答】解：因为恒成立，所以函数的值域为：，；

设区间，是函数的“完美区间“，则当，时，，，所以；则；

函数在区间，上时，，故在，上单调递减，，（1），故值域为，；故，是的一个“完美区间”，故正确；

，故 错误

①当时，，，，此时，则函数在，上单调递减；所以函数在区间，上单调递减；

因为函数在区间，上的值域为，，

所以，所以，则，

所以，即，所以，整理得（舍去）；或，

整理得，因为，所以解得（舍去）或；则，

此时，满足原方程组，所以，是方程组的唯一解；

故此情况下存在，使得区间，是函数的“完美区间”，此区间，的“复区间长度”为；

②当时，

（1）若，则，，此时（1），若函数在区间，上的值域为，，则，（b）；

因为，所以（b），即，解得（舍去）或；

故此情况下存在，，使得区间，是函数的“完美区间”，此区间，的“复区间长度”为；

（2）当时，，，；此函数在，上单调递增，

若函数在区间，上的值域为，，则，

所以此时与是方程的两个不等实根，

解得，，所以，因为，

所以此情况不满足题意．

综上所述，函数的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为；故 正确；错误；

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）函数的定义域是 　　．

【解答】解：要使原函数有意义，则，

即，解得．

函数的定义域是．

故答案为：．

14．（5分）已知全集，设集合，集合，则上图中阴影部分表示的集合是 　　．

【解答】解：全集，集合，

集合，

，

图中阴影部分表示的集合是：

．

故答案为：．

15．（5分）若正数，满足，则的最小值是 　　．

【解答】解：因为，所以，

所以，

当且仅当时取等号，

所以的最小值是．

故答案为：．

16．（3分）值是水溶液的重要理化参数．若溶液中氢离子的浓度为（单位：，则其值为．在标准温度和气压下，若水溶液，则溶液为中性，时为酸性，时为碱性．例如，甲溶液中氢离子浓度为，其为，即．已知乙溶液的，则乙溶液中氢离子浓度为　0.01　．若乙溶液中氢离子浓度是丙溶液的两千万倍，则丙溶液的酸碱性为　　（填中性、酸性或碱性）．

【解答】解：乙溶液的，

乙溶液中氢离子浓度为，

乙溶液中氢离子浓度是丙溶液的两千万倍，

丙溶液中，

丙溶液的酸碱性为碱性．

故答案为：0.01，碱性．

四、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．设全集，集合，，集合．

（1）当时，求，；

（2）若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，，

，；

（2）若是的充分不必要条件，则是的真子集；

且等号可以同时成立，解得，

故实数的取值范围为，．

18．计算：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）

；

（2）

．

19．已知函数，．

（1）当时，关于的不等式的解集为，，，求实数的值；

（2）当时，求关于的不等式的解集（结果用表示）．

【解答】解：（1）当时，的解集为，，，

方程的根为和5，，解得；

（2）当时，，

①当时，，此时不等式的解集为，

②当时，，此时不等式的解集为，

③当时，，此时不等式的解集为．

20．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．

（1）补充完整图像，写出函数的解析式和其单调区间；

（2）若函数，，求函数的最小值．

【解答】解：（1）根据题意，当时，，可得，

函数是定义在上的偶函数，可得，

则；函数图象如图：

其递减区间为、，递增区间为、；

（2）当，时，，

对称轴为，

当，即时，在，递增，可得（1）为最小值，且为；

当，即时，在，递减，可得（2）为最小值，且为；

当，即时，的最小值为，且为，

故．

21．如图，已知四边形为直角梯形，，，，点从点出发，沿着边运动到点，过点作直线垂直于边，设，则的左侧部分的多边形的面积为，周长为．

（1）求和的解析式；

（2）记，求的最大值．

【解答】解：（1）过作于点，

在直角梯形中，，，

所以，，．

当时，，，

当时，，

所以，．

（2）由（1）得，

当时，在，上单调连增，则（4），

当时，，令，则，，

所以，

因为，，所以，当且仅当，即时取等号，

所以的最大值为．

因为，

所以的最大值为．

22．已知函数．

（1）当时，判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；

（2）当时，关于的不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，

所以在上单调递增．

证明如下：

取，，设，

则，

因为，

所以，，

则，即，

所以当时，函数在上是单调递增函数；

（2）当时，，

因为，，所以，

又不等式在，上恒成立，

所以在，上恒成立，

即对任意，恒成立，

令，

则，

因为在，上单调递减，

所以的最小值（1），

则，

故实数的取值范围为，．

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