2020-2021学年江苏省扬州市高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省扬州市高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是　　

A． B．，， 

C． D．

2．（5分）在中，已知，，，则角为　　

A．或 B． C． D．或

3．（5分）若是的重心，且，为实数），则　　

A． B．1 C． D．

4．（5分）若，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知，，是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是　　

A．，，则 

B．若且，则 

C．，则与同向 

D．若，是非零向量，且，则与同向

6．（5分）在中，，，，角的平分线与边交于点，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为　　

A．8 B．16 C． D．

8．（5分）一台风中心在港口南偏东方向上，距离港口400千米处的海面上形成，并以每小时20千米的速度向正北方向移动，距台风中心350千米以内的范围将受到台风的影响，则港口受到台风影响的时间为　　

A．3小时 B．4小时 C．5小时 D．6小时

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（5分）下列命题中正确的是　　

A．若，，，为虚数单位，则 

B．若复数，满足，则 

C．若复数，满足，为虚数单位，则的实部与的虚部互为相反数 

D．若复数，满足，则

10．（5分）已知向量，，则下列说法正确的是　　

A． 

B．向量在向量上的投影向量为 

C．与的夹角的余弦值为 

D．若，，则

11．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，下列命题正确的是　　

A．若，则 

B．若，则一定为直角三角形 

C．若，，，则外接圆半径为 

D．若，则一定是等边三角形

12．（5分）如图，在边长为2的正方形中，，分别为边，上的两个动点，且．记，，下列说法正确的有　　

A．为定值 B． 

C． D．的最小值为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）已知，是方程的两个根，则　　．

14．（5分）　　．

15．（5分）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，大正方形边长为2，，则　　．

16．（5分）在平面四边形中，，，，则四边形面积的最大值为　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）设复数（其中，，为虚数单位．

（1）若是实数，求的值；

（2）若是纯虚数，求．

18．（12分）如图，在菱形中，．

（1）若，求的值；

（2）若，，求．

19．（12分）已知．

（1）求的值；

（2）已知，，，，求的值．

20．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，请在①；②；③这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：

（1）求；

（2）若，，延长到，使，求线段的长度．

21．（12分）为落实《中共中央、国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，加快构建德智体美劳全面培养的教育体系，开齐、开足、开好德育、体育、美育、劳动教育课程，某校成立了劳技兴趣小组．为了迎接“五一”晚会，该小组制作了一个半径为的圆形灯箱，其发光部分为该圆内的一个关于圆心对称的“工”型，“工”型由横、竖、横三个等宽的矩形组成，两个横向矩形全等且它们的长边是竖直矩形的长边的倍，设为圆心，，“工”型的面积记为．

（1）将表示为的函数；

（2）为了使得灯箱亮度最大，设计时应使尽可能大，则当为何值时，最大？

22．（12分）已知向量，，，，函数，，，．

（1）若，求实数的值；

（2）若的最小值为，求实数的值；

（3）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

2020-2021学年江苏省扬州市高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【分析】由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．

【解答】解：复数在复平面内对应的点在第四象限，

，解得．

实数的取值范围是，

故选：．

2．【分析】根据正弦定理即可求出的值，并可知，这样即可求出角的值．

【解答】解：在中，，

根据正弦定理得：，解得，

，，．

故选：．

3．【分析】直接利用向量的线性运算和中线向量的应用求出结果．

【解答】解：若是的重心，

如图所示

根据中线向量，

所以，

由于，

所以，

即．

故．

故选：．

4．【分析】利用诱导公式、二倍角公式以及角的变换化简所求的式子，即可得到答案．

【解答】解：因为，

所以．

故选：．

5．【分析】通过对、、选项选择反例，分别判断，即可求解．

【解答】解：若，则等式不一定成立，故错误，

，，

又不一定等于，故错误，

，则，则向量与可能异向，故错误，

对等式两边平方，

可得，

所以，则与同向，故正确，

故选：．

6．【分析】利用余弦定理求得、的值，再根据角平分线的性质求得的值，再利用余弦定理求得的值．

【解答】解：中，由余弦定理可得，

，

，

再根据角平分线的性质可得，

．

，

．

故选：．

7．【分析】设等边三角形的边长为，由同弧所对的圆周角相等，可得，，运用托勒密定理得到，

由，计算可得所求四边形的面积．

【解答】解：如图，

设，由托勒密定理知，，

所以，

又因为，，

所以

．

故选：．

8．【分析】将港口视为点，台风中心视为点，可知的长度，过作垂直正东线于点，解得，，在上取点，使得千米，根据勾股定理求得，乘以2，再除以速度即可得答案．

【解答】解：如图，将港口视为点，台风中心视为点，则，

过作垂直正东线于点，则，，

台风中心350千米的范围都会受到台风影响，

在线上取点使得千米，

千米，千米，是直角，

根据勾股定理得千米，

影响距离是千米，

又台风速度为每小时20千米，

港口受到台风影响的时间（小时）．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．【分析】由复数相等的条件求得、值判断；举例说明错误；设，利用复数代数形式的乘除运算求解，判断正确．

【解答】解：对于，若，，，则，故正确；

对于，若复数，满足，则，错误，

如，，满足，但，故错误；

对于，若复数，满足，设，

则，得的实部与的虚部互为相反数，故正确；

对于，若复数，满足，则，错误，

如，，满足，但，故错误．

故选：．

10．【分析】．根据条件得到，再根据向量平行的性质判断与是否平行即可；

．由数量积公式求得向量在向量上的投影，即可判断；

．设与的夹角为，再用夹角公式求出夹角的余弦值，即可判断；

．由向量数量积的坐标运算，判断是否成立，即可判断．

【解答】解：，

，因此不与平行，故错误；

又，

向量在向量上的投影为

，故正确；

，设与的夹角为，

则，故错误；

若，，则，

即，故正确．

故选：．

11．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，三角形形状的判定的应用判定、、、的结论．

【解答】解：对于：若，则，则，即，则，故正确；

对于，利用正弦定理：，

整理得，整理得，

由于，，故，故，

故，所以一定为直角三角形，故正确；

对于：若，，，由余弦定理可得，

则，

则，则，故不正确，

对于，根据三角形的内角的范围和函数余弦值的取值，

只有当，关系式才成立，

所以一定是等边三角形，故正确；

故选：．

12．【分析】以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设，，根据题意可得，然后再逐项分析判断即可．

【解答】解：由题意，以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

设，，其中，，，，

，

，化简得；

对于，由于，

，

，选项正确；

对于，，选项错误；

对于，在中，，则，选项正确；

对于，，

，解得或（舍，

，当且仅当时取等号，选项正确．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．【分析】由，为已知方程的两根，利用韦达定理表示出及的值，然后把所求的式子利用两角和的正切函数公式化简后，将及的值代入即可求出值．

【解答】解：，是方程的两个根，

，，

则．

故答案为：

14．【分析】由已知可得，利用二倍角正弦公式及两角差的正弦公式化简可得结果．

【解答】解：

故答案为：4

15．【分析】根据图象得到，将原式转换为，然后利用向量数量积公式进行运算．

【解答】解：根据题意，如图，可得

因为，又因为四个直角三角形全等，

所以，

又因为，即得，

所以，

所以，

又，，

所以

．

故答案为：．

16．【分析】设，，在和中，均运用余弦定理，推出，而四边形面积，令，，结合同角三角函数的平方关系、两角差的余弦公式，求得的最大值，即可得解．

【解答】解：设，，

在中，由余弦定理知，，

在中，由余弦定理知，，

，即，

而四边形面积，

令，，

则，

，

当，取到最大值，为1200，即的最大值为，

四边形面积．

故答案为：．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．【分析】（1）利用复数代数形式的加法运算化简，再由虚部为0求得值，可得，再由复数代数形式的乘法运算求的值；

（2）利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求得值，再由复数模的计算公式求．

【解答】解：（1）（其中，，

，

由是实数，得．

，，

则；

（2）由是纯虚数，

得，即．

．

18．【分析】（1）结合向量线性运算的几何意义，用表示出向量，即可求出，的值，问题可解；

（2）将也用表示，结合已知求得，然后结合数量积的定义求解即可．

【解答】解：（1）因为在菱形中，．

故，

故，所以．

（2）显然，

所以

①，

因为菱形，且，，故，．

所以．

故①式．

故．

19．【分析】（1）由已知求得，再由倍角公式、同角三角函数基本关系式化弦为切求解的值；

（2）求解一元二次方程可得，由两角和的正切求，结合角的范围可得的值．

【解答】解：（1）由，得，，

则

；

（2）由，可得或，

，，

则，

，，，

则，．

20．【分析】（1）选①：利用正弦定理将已知等式中的边化角，再由辅助角公式，即可得解；

选②：利用正弦定理将已知等式中的边化角，再由三角形的内角和定理，即可得解；

选③：结合余弦定理和正弦的面积公式，可求得的值，从而得解．

（2）在中，由余弦定理求得，再由正弦定理得的值，然后分别在和中使用正弦定理和余弦定理，即可得解．

【解答】解：（1）选①：由正弦定理知，，

，，

，，即，

，，，

，即．

选②：由正弦定理知，，

，，

，

，，

，．

选③：，

由余弦定理知，，

，，．

（2）在中，由余弦定理知，，

，化简，解得或（舍负），

由正弦定理知，，，，

所以，

而，

在中，由正弦定理知，，，

在中，由余弦定理知，，

即，

化简得，，

解得或（舍负），

故线段的长度为5．

21．【分析】（1）利用角分别表示出， 的长度，即可表示出“工”型的面积；

（2）由（1）可知面积的表达式，转化成的模型，进而解出即可．

【解答】解：（1）取的中点，连接，交于，

由，可得，，

且，，

由题意可得，，由，可得，

则，；

（2），

由，可得，

即有，即时，取得最大值．

22．【分析】（1）根据，得到，然后利用向量数量积的坐标运算，求出实数的值；

（2）根据题意，化简得到函数，然后根据函数最小值为，求出实数的值；

（3）通过令，求解得出或，进一步判断是否存在四个不同的零点．

【解答】解：（1），，即，

又，

，，

，，

又，，

解得．

（2），

，

，

又，．

，

令，则，

，对称轴为，

①当，即时，

当时，，，舍去，

②当，即时，

当时，，，

③当，即时，

当时，，，舍去，

综上，．

（3）令，则，

或，，有四个不同的零点，

方程和在上共有四个不同的实根，

，，无解．

不存在实数，使函数，有四个不同的零点．

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日期：2022/3/11 19:14:32；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367