2020-2021学年江苏省连云港市高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省连云港市高一（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省连云港市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．（5分）已知向量，，且，则　　
A．4 B． C．9 D．
2．（5分）计算的结果是　　
A． B． C． D．
3．（5分）的值是　　
A． B． C． D．
4．（5分）已知轮船和轮船同时离开岛，船沿北偏东的方向航行，船沿着正北方向航行．若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船的距离是　　
A． B． C． D．
5．（5分）在长方体中，，，则与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
6．（5分）甲乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，则密码被译出的概率是　　
A． B． C． D．
7．（5分）如表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据．
每场比赛得分
3
6
7
10
11
13
30
频数
2
1
2
3
1
1
1
则该队员得分的40百分位数是　　
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（5分）《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3，则近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取　　
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．（5分）若数据，，，的平均数为2，方差为3，则　　
A．数据，，，的平均数为20
B．
C．数据，，，的标准差为
D．
10．（5分）下列关于向量的说法正确的是　　
A．若，，则
B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．若且，则
D．若非零向量，满足，则
11．（5分）已知复数，，下列结论正确的有　　
A．
B．若，则，中至少有一个为0
C．
D．若，则
12．（5分）在正三棱柱中，，点，，分别为，，的中点，则下列说法正确的是　　
A．直线与直线为异面直线
B．平面平面
C．三棱柱外接球的表面积为
D．直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．（5分）已知平行四边形的三个顶点，，对应的复数为0，，，则点所对应的复数为 　　．
14．（5分）已知圆台下底面的半径为，高为，母线长为，则圆台的体积为 　　．
15．（5分）在中，，，，延长到，使得，则的长为 　　．
16．（5分）已知向量，满足：，，，则　　；若为非零实数，则的最小值为 　　．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：在中，角，，所对的边分别为，，，____，判断的形状．
18．（12分）在锐角三角形中，，，求，的值．
19．（12分）某网络营销部门随机抽查了某市100名网友在2020年11月11日的网购金额，所得数据如表：
网购金额（单位：千元）
人数
频率
，
8
0.08
，
12
0.12
，


，


，
8
0.08
，
7
0.07
合计
100
1.00
已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为．
（1）求，，，的值，并补全频率分布直方图（如图）；
（2）该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这100名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在，和，的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？

20．（12分）如图，在长方体中，，分别为，的中点，点为面内的一点．
（1）画出图1中平面与平面的交线；
（2）如图2，若为矩形对角线的交点，，，，求点到平面的距离．

21．（12分）已知向量，，，函数．
（1）求函数的最小正周期及最小值；
（2）若，求的值．
22．（12分）在三棱柱中，，，，．
（1）求二面角的余弦值；
（2）求证：平面平面．


2020-2021学年江苏省连云港市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．（5分）已知向量，，且，则　　
A．4 B． C．9 D．
【分析】根据所给的两个向量的坐标和两个向量平行的条件，写出两个向量平行的充要条件，得到关于的方程，解方程即可得到要求的的值．
【解答】解：向量，，且，
，
，
故选：．
【点评】本题考查两个向量平行的充要条件的坐标形式，只要记住两个向量平行的坐标形式的充要条件，就不会出错，注意数字的运算，本题是一个基础题．
2．（5分）计算的结果是　　
A． B． C． D．
【分析】利用复数的除法将所求化为、的形式即可．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查复数的除法，考查运算求解能力，属于基础题．
3．（5分）的值是　　
A． B． C． D．
【分析】利用两角差的正弦公式化简即可求解．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查两角差的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（5分）已知轮船和轮船同时离开岛，船沿北偏东的方向航行，船沿着正北方向航行．若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船的距离是　　
A． B． C． D．
【分析】由题意，中，，，，由正弦定理可得．
【解答】解：由题意，中，，，，
由正弦定理可得：，
．
故选：．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理的运用，比较基础．
5．（5分）在长方体中，，，则与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【分析】因为，所以与所成角等于与所成的角，在中，利用余弦定理求解．
【解答】解：如图，连接，．
在长方体中，因为，所以与所成角等于与所成的角；
在中，，
由余弦定理得．
故选：．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，余弦定理的应用，属于基础题．
6．（5分）甲乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，则密码被译出的概率是　　
A． B． C． D．
【分析】密码被译出的对立事件是两个人同时不能译出密码，由此能求出密码被译出的概率．
【解答】解：密码被译出的对立事件是两个人同时不能译出密码，
密码被译出的概率为．
故选：．
【点评】本题考查概率的求法，对立事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（5分）如表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据．
每场比赛得分
3
6
7
10
11
13
30
频数
2
1
2
3
1
1
1
则该队员得分的40百分位数是　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】，可得该队员得分的40百分位数．
【解答】解：由表可知频数共计11，，
可得该队员得分的40百分位数是第5个得分为7．
故选：．
【点评】本题考查百分位数的算法，考查数学运算能力，属于基础题．
8．（5分）《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3，则近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取　　
A． B． C． D．
【分析】由题意结合椎体的体积公式和圆的周长公式整理计算即可确定公式中的近似值．
【解答】解：由圆锥的体积公式结合圆的周长公式可得：
，
结合题中的公式可得：，．
故选：．
【点评】本题主要考查圆锥的体积公式，圆的周长公式，近似计算的思想等知识，属于中等题．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．（5分）若数据，，，的平均数为2，方差为3，则　　
A．数据，，，的平均数为20
B．
C．数据，，，的标准差为
D．
【分析】利用平均数与方差的计算公式以及运算性质，依次判断四个选项即可．
【解答】解：因为数据，，，的平均数为2，
所以数据，，，的平均数为，
故选项错误；
，故选项正确；
数据，，，的方差为，
所以数据，，，的标准差为，
故选项正确；
由方差的计算公式可得，，
故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了特征数的理解与应用，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式和性质，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
10．（5分）下列关于向量的说法正确的是　　
A．若，，则
B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．若且，则
D．若非零向量，满足，则
【分析】，由零向量与任意向量平行，可判断；
，根据平面向量数量积的几何意义可得解；
，由平面向量数量积的定义可得解；
，由平面向量数量积的运算法则知，，从而得到．
【解答】解：选项，若，则与不平行，即选项错误；
选项，向量在向量上的投影为，所以投影向量为，即选项正确；
选项，若，则，，，不能推出，即选项错误；
选项，因为，，
所以，，所以，，所以，即选项正确．
故选：．
【点评】本题考查平面向量数量积与几何意义，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
11．（5分）已知复数，，下列结论正确的有　　
A．
B．若，则，中至少有一个为0
C．
D．若，则
【分析】利用共轭复数的定义判断选项，由复数的乘法运算以及实数0的含义判断选项，由复数模的运算性质判断选项，由特殊例子判断选项．
【解答】解：设，，
对于，，
，
故选项正确；
对于，因为，
则，则或，
所以，中至少有一个为0，
故选项正确；
对于，由复数模的运算性质可知，，
故选项正确；
对于，当，时，，
故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了复数的运算以及基本概念的理解和应用，属于基础题．
12．（5分）在正三棱柱中，，点，，分别为，，的中点，则下列说法正确的是　　
A．直线与直线为异面直线
B．平面平面
C．三棱柱外接球的表面积为
D．直线与平面所成角的正弦值为
【分析】，利用即可判断；
，利用面平面，即可判断；
，三棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点，求出其球半径，即可；
，可得直线与平面所成角，其正弦值为，即可判断．
【解答】解：对于，，直线与直线共面，故错；
对于，面平面，平面平面，故正确；
对于，三棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点，故球半径，
故球的表面积为．故正确；
对于，因为平面平面，过作，即可得平面，直线与平面所成角，其正弦值为，故正确．
故选：．

【点评】本题考查了空间线面、线线位置关系、空间角，属于中档题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．（5分）已知平行四边形的三个顶点，，对应的复数为0，，，则点所对应的复数为 　　．
【分析】设点所对应的复数为，由题意可得，转化为坐标运算求得与的值，则答案可求．
【解答】解：设点所对应的复数为，
四边形是平行四边形，，
又，，，
，，，，，
即，，
则点所对应的复数为．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查向量的坐标运算，是基础题．
14．（5分）已知圆台下底面的半径为，高为，母线长为，则圆台的体积为 　　．
【分析】由题意画出图形，利用勾股定理求圆台的上底面半径，再求圆台的体积．
【解答】解：如图所示，

，，，
过作，垂足为，则，
，
所以圆台的上底面半径为；
所以圆台的体积为．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆台体积的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
15．（5分）在中，，，，延长到，使得，则的长为 　7　．
【分析】首先由正弦定理求得的长度，然后由余弦定理求得的长度即可．
【解答】解：在中，由正弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：
．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，余弦定理的应用等知识，属于中等题．
16．（5分）已知向量，满足：，，，则　　；若为非零实数，则的最小值为 　　．
【分析】先根据可以求出，再根据即可求出；利用再结合基本不等式可求的最小值．
【解答】解：，，
两式作差可得，所以，
，
所以，所以．
，
当，即时不等式等号成立，
所以的最小值为．
故答案为为：；．
【点评】本题考查平面向量模的运算，考查基本不等式求最值的应用，考查数学运算的核心素养，属于中档题．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：在中，角，，所对的边分别为，，，____，判断的形状．
【分析】选①，根据已知条件，运用正弦定理，即可求解，选②，根据已知条件，运用正弦定理，可得，即，可推得或，即可求解，选③，根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
【解答】解：选择条件①，
由正弦定理可得，，
，，
又，，
，，
三角形为等腰直角三角形，
选择条件②，
由正弦定理可得，，即，
又，，
或，
三角形为等腰三角形或直角三角形，
选择条件③，
由余弦定理，可得，解得，
三角形为等腰三角形．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．
18．（12分）在锐角三角形中，，，求，的值．
【分析】利用同角三角函数关系，求出、，再利用差角的正切公式、和角的余弦公式，即可得出结论．
【解答】解：锐角三角形中，，
，
，
，
，
，，
．
【点评】本题考查同角三角函数关系，考查差角的正切公式、和角的余弦公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19．（12分）某网络营销部门随机抽查了某市100名网友在2020年11月11日的网购金额，所得数据如表：
网购金额（单位：千元）
人数
频率
，
8
0.08
，
12
0.12
，


，


，
8
0.08
，
7
0.07
合计
100
1.00
已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为．
（1）求，，，的值，并补全频率分布直方图（如图）；
（2）该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这100名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在，和，的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？

【分析】（1）利用频数为100，以及网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为，得到关于和的方程组，求出和的值，然后利用频率的计算公式求出，即可，由此补全频率分布直方图．
（2）由分层抽样先求出在，内和，内应抽取的人数，然后 由古典概型的概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，，解得，，
所以，，
频率分布直方图如图所示：

（2）由分层抽样可知，在，内的12人中，抽取人，
在，内的8人中，抽取人，
所以此2人来自不同群体的概率为．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，古典概型概率公式的运用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的求解方法，掌握频率、频数、样本容量之间的关系，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
20．（12分）如图，在长方体中，，分别为，的中点，点为面内的一点．
（1）画出图1中平面与平面的交线；
（2）如图2，若为矩形对角线的交点，，，，求点到平面的距离．

【分析】（1）利用两个平面交线的定义作出图形即可；
（2）设点到平面的距离为，利用等体积法，由锥体的体积公式求解即可．
【解答】解：（1）如图1所示，平面与平面的交线为；
（2）在中，，
，
，
所以，
在中，，
设点到平面的距离为，点到平面的距离为，
由等体积法，
则，
即，解得，
所以点到平面的距离为．


【点评】本题考查了两个平面交线的确定，点到面距离的求法，涉及了等体积法的应用，等体积法是求解点到平面的距离的常用方法，属于中档题．
21．（12分）已知向量，，，函数．
（1）求函数的最小正周期及最小值；
（2）若，求的值．
【分析】（1）结合平面向量数量积的坐标运算，二倍角公式与辅助角公式，可得，再由正弦函数的周期性和最小值，即可得解；
（2）由，知，再根据，并结合诱导公式，二倍角公式，得解．
【解答】解：（1），
函数的最小正周期，
当，，即，时，函数取得最小值，为．
（2）
，
．
【点评】本题考查平面向量与三角函数的综合，熟练掌握平面向量数量积的坐标运算，三角恒等变换公式，以及正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22．（12分）在三棱柱中，，，，．
（1）求二面角的余弦值；
（2）求证：平面平面．

【分析】（1）连接，取的中点，连接，，利用边角关系结合余弦定理可求出所需边长以及角度，由二面角的平面角的定义得到为平面与平面所成的二面角，在三角形中，由余弦定理求解二面角即可．
（2）由二面角的平面角的定义，可得即为平面与平面所成的二面角的平面角，通过勾股定理证明，即可证明．
【解答】（1）解：连接，在中，，，，
由余弦定理可得，，
故，可得，
故，
在中，，，，
故，，，
在中，，，，
所以，
取的中点，连接，，
则，，
故为平面与平面所成的二面角，
在中，，则，，
由余弦定理可得，，
故二面角的余弦值为；
（2）证明：由（1）可知，，，
则，，所以即为平面与平面所成的二面角的平面角，
在中，，，，
则，故，
所以平面与平面所成的二面角为，
故平面平面．

【点评】本题考查了二面角的求解与应用，余弦定理的应用，解题的关键是利用二面角的平面角的定义找到对应的角，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
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日期：2021/8/23 17:47:21；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394