2020-2021学年江苏省连云港市高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省连云港市高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.

1．（5分）下列表述正确的是　　

A．，， B．， C． D．

2．（5分）下列函数与函数是同一个函数的是　　

A． B． C． D．

3．（5分）命题“，”的否定为　　

A．， B．不存在， 

C．， D．，

4．（5分）若，，，则下列各式中，恒等的是　　

A． B． 

C． D．

5．（5分）设，则的最小值是　　

A．2 B．3 C． D．4

6．（5分）设函数，．用表示，中的较大者，记为，，则的最小值是　　

A．1 B．3 C．0 D．

7．（5分）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为．由检验知该地下车库一氧化碳浓度与排气时间（分钟）之间存在函数关系为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于为正常，则这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少排气　　

A．16分钟 B．24分钟 C．32分钟 D．40分钟

8．（5分）对于集合，，我们把集合，且叫做集合与的差集，记做．例如，，2，，，，则有，，．若集合，集合，且，则实数的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.

9．（5分）若，则　　

A． B． C． D．

10．（5分）下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是　　

A．“，都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件 

B．“”是“”的必要不充分条件 

C．设，，，则“”是“”的充要条件 

D．设，，则“且”是“”的必要不充分条件

11．（5分）对于定义在上的函数，下列判断正确的是　　

A．若（2），则函数是上的增函数 

B．若（2），则函数在上不是增函数 

C．若（2），则函数是偶函数 

D．若（2），则函数不是偶函数

12．（5分）已知正数，，满足，则下列结论正确的有　　

A． B． C． D．

三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）已知函数，则　　．

14．（5分）函数是定义域为的奇函数，当时，，则（2）　　．

15．（5分）物理学中，声强是表示声波强度的物理量，可用公式表示，其中表示声速，和分别是声波的频率和振幅，是媒质的密度．由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引入声强级的概念，规定声强级．通常规定（相当于1000 时能够引起听觉的最弱的声强），这时计算出来的就是声强的量度，式中声强级的单位称为贝尔．实际上，由于贝尔这个单位太大，通常采用贝尔的作单位；这就是分贝．当被测量的声强为声强的1000倍时，声强级是　　分贝．

16．（5分）若干个正整数之和等于10，这些正整数乘积的最大值为　　．

四、解答题：共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

问题：已知集合，，是否存在实数，使得___？

18．（12分）记函数的定义域为集合，函数的值域为集合，，求：

（1），；

（2），．

19．（12分）（1）已知，求及的值；

（2）已知，，用，分别表示和．

20．（12分）已知函数，不等式的解集是．

（1）求函数的解析式；

（2）若满足不等式组的整数解有且只有一个，求正实数的取值范围．

21．（12分）假设某人从事某项投资，他第一次投入元，得到的利润是元，收益率是．

（1）若第二次他又投入元，得到的利润是元，求此人两次投资的总收益率；

（2）在第一次投资的基础上，从第二次起，此人每次都固定投资元，每次得到的利润也都是元，那么他每次投资后的总收益率是增加了还是减少了？请从数学角度解释你的判断．

22．（12分）已知，．

（1）求证：为奇函数；

（2）设，，求在区间，上的最大值．

2020-2021学年江苏省连云港市高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.

1．（5分）下列表述正确的是　　

A．，， B．， C． D．

【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系判断即可．

【解答】解：对于，集合是自身的子集，故正确；

对于，“”用在元素与集合的关系中，应为，，故错误；

对于，“”用在集合与集合的关系中，应为“”，故错误；

对于，空集表示不含任何元素，故错误．

故选：．

【点评】本题考查了元素与集合，集合与集合关系及符号使用，属于基础题．

2．（5分）下列函数与函数是同一个函数的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一个函数．

【解答】解：对于，函数，，，与函数，的定义域不同，不是同一个函数；

对于，函数，，与函数，的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；

对于，函数，，与函数，的对应关系不同，不是同一个函数；

对于，函数，，，，与函数，的定义域不同，不是同一个函数．

故选：．

【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．

3．（5分）命题“，”的否定为　　

A．， B．不存在， 

C．， D．，

【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．

【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定是：

，，

故选：．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

4．（5分）若，，，则下列各式中，恒等的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据对数的运算性质判断每个选项的等式是否恒等即可．

【解答】解：．，该式不恒等；

．，该式不恒等；

，该式恒等，该选项正确；

，该式不恒等．

故选：．

【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．

5．（5分）设，则的最小值是　　

A．2 B．3 C． D．4

【分析】变形利用基本不等式即可得出．

【解答】解：，

，当且仅当时取等号．

的最小值是3．

故选：．

【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．

6．（5分）设函数，．用表示，中的较大者，记为，，则的最小值是　　

A．1 B．3 C．0 D．

【分析】先通过比较求出函数的解析式，再各段求出最小值即可．

【解答】解：令，解得或，

则，

当或时，，

当时，函数没有最小值，

综上：函数的最小值为1，

故选：．

【点评】本题考查了分段函数求最值的问题，属于基础题．

7．（5分）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为．由检验知该地下车库一氧化碳浓度与排气时间（分钟）之间存在函数关系为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于为正常，则这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少排气　　

A．16分钟 B．24分钟 C．32分钟 D．40分钟

【分析】由已知求解指数方程得到值，代入原函数解析式，再由题意列关于的不等式求解．

【解答】解：由，把，代入，

可得，解得，

．

令，得，即．

这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少排气32分钟．

故选：．

【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查指数不等式的解法，是基础题．

8．（5分）对于集合，，我们把集合，且叫做集合与的差集，记做．例如，，2，，，，则有，，．若集合，集合，且，则实数的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

【分析】根据差集的定义，由，可以看出，列不等式组，即可求出的取值范围．

【解答】解：根据差集的定义，由，

所以，

所以，，

解得，．

故选：．

【点评】本题考查了集合语言的理解能力，理解差集的定义，运用转化的思想方法解决问题，属于基础题．

二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.

9．（5分）若，则　　

A． B． C． D．

【分析】利用不等式的性质及基本不等式逐项验证选项正误即可．

【解答】解：，，即，故选项正确；

又，，故选项错误；

，，，故选项正确；

又，，故选项正确，

故选：．

【点评】本题主要考查不等式的性质、作差法在比较两数大小的应用及基本不等式的应用，属于中档题．

10．（5分）下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是　　

A．“，都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件 

B．“”是“”的必要不充分条件 

C．设，，，则“”是“”的充要条件 

D．设，，则“且”是“”的必要不充分条件

【分析】根据充分必要条件的定义对各个选项进行判断即可．

【解答】解：对于，都是偶数”能提出“是偶数”，是充分条件，反之不成立，比如，，故正确；

对于：由，解得：是“ “的充分不必要条件，故错误；

对于得：，解得：，

故“”是“”的充要条件，故正确；

对于，，则且时，，充分性成立，

时，不能得出且，必要性不成立，是充分不必要条件，故错误；

故选：．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．

11．（5分）对于定义在上的函数，下列判断正确的是　　

A．若（2），则函数是上的增函数 

B．若（2），则函数在上不是增函数 

C．若（2），则函数是偶函数 

D．若（2），则函数不是偶函数

【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析，可得错误，正确，由奇偶性的定义分析，可得错误，正确，综合可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，若函数是上的增函数，对于任意的，都有，若（2），不能保证函数是上的增函数，错误，

对于，若（2），不满足对于任意的，都有，函数在上不是增函数，正确，

对于，若函数是偶函数，则对于定义域中的任意一个，都有，若只有（2），不能说明函数是偶函数，错误，

对于，若（2），不满足对于定义域中的任意一个，都有，函数不是偶函数，正确，

故选：．

【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的定义，关键是掌握函数的奇偶性、单调性的定义，属于基础题．

12．（5分）已知正数，，满足，则下列结论正确的有　　

A． B． C． D．

【分析】对于，设，，则，，，由此能证明正确；

对于，利用对数运算法则能推导出，，由此能比较、、的大小；

对于，由，然后利用基本不等式可得不正确；

对于，由结论，利用基本不等式即可得解正确．

【解答】解：设，

则，，，

，成立，

对于，，，，，

，，，

，

，

同理，．故正确；

对于，，

，即，故正确，

对于，由于，可得，

而不成立，故正确．

故选：．

【点评】本题考查对数的运算法则的应用，解题时要认真审题，注意对数换底公式的合理运用，考查了函数思想，属于中档题．

三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）已知函数，则　3　．

【分析】由条件得，然后求出（4）的值即可．

【解答】解：函数，

，

（4）．

故答案为：3．

【点评】本题考查函数值的求法，函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

14．（5分）函数是定义域为的奇函数，当时，，则（2）　8　．

【分析】根据是上的奇函数可得出（2），再根据时的的解析式即可求出（2）的值．

【解答】解：是上的奇函数，且时，，

（2）．

故答案为：8．

【点评】本题考查了奇函数的定义，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．

15．（5分）物理学中，声强是表示声波强度的物理量，可用公式表示，其中表示声速，和分别是声波的频率和振幅，是媒质的密度．由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引入声强级的概念，规定声强级．通常规定（相当于1000 时能够引起听觉的最弱的声强），这时计算出来的就是声强的量度，式中声强级的单位称为贝尔．实际上，由于贝尔这个单位太大，通常采用贝尔的作单位；这就是分贝．当被测量的声强为声强的1000倍时，声强级是　30　分贝．

【分析】由题意可得，代入，利用对数的运算性质计算得答案．

【解答】解：由题意，声强级，

当声强为声强的1000倍时，即，

此时．

当被测量的声强为声强的1000倍时，声强级是30分贝．

故答案为：30．

【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数的运算性质，是基础的计算题．

16．（5分）若干个正整数之和等于10，这些正整数乘积的最大值为　36　．

【分析】个正整数，，，中，不可能有大于或等于5的数，也不可能有三个或三个以上的2，因此个数的最大积只可能是由2个3和2个2的积组成，然后求出这些正整数乘积的最大值．

【解答】解：个正整数，，，满足，

，，，中，不可能有大于或等于5的数，

这是因为，，，

也不可能有三个或三个以上的2，

这是因为三个2的积小于两个3的积，

因此个数的最大积只可能是由2个3和2个2的积组成，

则这些正整数乘积的最大值为；

故答案为：36．

【点评】本题考查正整数的乘积的最大值的求法，是中档题．

四、解答题：共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

问题：已知集合，，是否存在实数，使得___？

【分析】由集合知识可以解出集合，对集合进行分类求解，再利用集合的子集，交集，补集解出．

【解答】解：若选择①因为，

故，

，则，

所以，

解得，

所以选择①，实数的取值范围是，；

若选择②因为，

故，

因为，

所以或，

解得或，

所以选择②，实数的取值范围是，，；

若选择③因为，故，

因为，则，

所以，

所以，

所以选择③，实数不存在．

【点评】本题考查集合的与集合的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

18．（12分）记函数的定义域为集合，函数的值域为集合，，求：

（1），；

（2），．

【分析】（1）由可得，根据二次函数的性质求出集合；

（2）根据集合的并集、交集、补集的运算即可求出．

【解答】解：（1）由得，所以，；

又，所以，．

（2）由（1）知，，，；

因为，

所以，，．

【点评】本题考查了函数的定义域和值域，集合的并集、交集、补集的运算，属于基础题．

19．（12分）（1）已知，求及的值；

（2）已知，，用，分别表示和．

【分析】（1）由知，然后结合完全平方即可求解；

（2）由已知结合对数的换底公式及对数的运算性质即可求解．

【解答】解：（1）由知，

因为，即，

所以；

又，且，

所以，

（2）因为，，

所以；

所以．

【点评】本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．

20．（12分）已知函数，不等式的解集是．

（1）求函数的解析式；

（2）若满足不等式组的整数解有且只有一个，求正实数的取值范围．

【分析】（1）根据不等式的解集是，得到0，3是一元二次方程的两个实数根，利用韦达定理得到参数所满足的条件，最后求得结果；

（2）首先求得不等式组的解，根据只有一个正整数解，得到参数所满足的条件，求得结果．

【解答】解：（1）因为不等式的解集是，

所以0和3是方程的两个根，

，，

．，

函数的解析式为：．

（2）不等式的解集为：，，，

不等式的解集为：，

当时，不等式组的解集为，中至少有2个整数，不满足题意，舍去；

当时，不等式组的解集为，

因为满足不等式组的整数解有且只有一个，

所以，，即，解得；

综上，正实数的取值范围是，．

【点评】本题考查了不等式的解集为有关问题，考查了运算求解能力，分类讨论的能力，属于难题．

21．（12分）假设某人从事某项投资，他第一次投入元，得到的利润是元，收益率是．

（1）若第二次他又投入元，得到的利润是元，求此人两次投资的总收益率；

（2）在第一次投资的基础上，从第二次起，此人每次都固定投资元，每次得到的利润也都是元，那么他每次投资后的总收益率是增加了还是减少了？请从数学角度解释你的判断．

【分析】（1）求出两次的总投资与总利润，由利润除以投资得答案；

（2）设此人第次投资后的总收益率为，则，第次投资后的总收益率为，求出，通过比较与的大小可得的符号，从而得到收益率的增减情况．

【解答】解：（1）此人两次总投资元，两次得到的总利润为，

则此人两次投资的总收益率为；

（2）设此人第次投资后的总收益率为，

则，

第次投资后的总收益率为，

，

，，，，，

因此，当时，，即；

当时，，即；

当时，，即．

当时，每次投资后的总收益率不变；

当时，每次投资后的总收益率减少；

当时，每次投资后的总收益率增加．

【点评】本题考查函数模型的性质及应用，考查运算求解能力，正确理解题意是关键，是中档题．

22．（12分）已知，．

（1）求证：为奇函数；

（2）设，，求在区间，上的最大值．

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可．

（2）结合二次函数的图象和性质，对进行分类讨论，可得在区间，上的最大值．

【解答】解：（1）证明：的定义域为，

对，，

所以为奇函数．

（2）解：

①当时，因为为，和，上增函数，

所以为，上增函数，

所以在，上的最大值为（2）；

②当时，因为为，和，上减函数，

所以为，上减函数，

所以在，上的最大值为；

③当时，

因为在上是增函数，在上是减函数，

因为在上是减函数，上是增函数，

所以为上增函数，为上减函数，增函数，

因此最大值为和（2）中较大者，

由，得或，

所以当时，，最大值为，

所以当时，，的最大值为（2），

综上，当时，的最大值为；

当时，的最大值为；

当时，的最大值为（2）．

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，分类讨论思想，属于中档题．

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日期：2021/2/23 14:14:33；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394