2022-2023学年江苏省连云港市高一（下）期中数学试卷

2022-2023学年江苏省连云港市高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设为实数，若向量，，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知复数，则下列结论正确的是(    )

A. 的虚部为 B.  C. 为纯虚数 D.

3.  在中，若，，，则(    )

A. 或 B.  C.  D. 或

4.  已知中，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，，且，均为锐角，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D.

6.  的零点所在区间(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在中，，，则的大小为(    )

A. 或 B.  C.  D. 或

8.  在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知向量，，且，则(    )

A.
B.
C. 向量与向量的夹角是
D. 向量在向量上的投影向量坐标是

10.  下列结论中正确的是(    )

A. 若，则或
B. 若，则
C. 若复数满足，则的最大值为
D. 若，则

11.  下列各式的值为的是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  中国南宋时期杰出数学家秦九韶在数书九章中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即现有满足：：：：，且，则(    )

A. 外接圆的半径为
B. 若的平分线与交于，则的长为
C. 若为的中点，则的长为
D. 若为的外心，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  在中，若，，则的值为______ ．

14.  若，则的值为______ ．

15.  已知四边形中，，，是的中点，，，则的长为______ ．

16.  函数的零点个数为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知复数满足，的虚部为，所对应的点在第三象限，求：
复数；
若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围．

18.  本小题分
已知，，，求：
；
与的夹角．

19.  本小题分
已知直角梯形的三个顶点分别为，，，且．
求顶点的坐标；
若为线段上靠近点的三等分点，为线段的中点，求．

20.  本小题分
在中，已知，最长边的长为．
求的大小；
若，求最短边的长．

21.  本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
若在上恒成立，求实数的取值范围．

22.  本小题分
已知中，点是线段上一点，，且，，，．
求的长；
为边上的一点，若为锐角三角形，求的周长取值范围上面问题的条件，现请你在，，，中删除一个，并将剩下三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一．
你删去的条件是_____，请你写出剩余条件解答本题的过程．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，且，
，即．
故选：．
由已知直接利用平面向量共线的坐标运算列式求解值．
本题考查平面向量共线的坐标运算，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
的虚部为，故A错误；
，故B错误；
为纯虚数，故C正确；
，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，求出，即可依次求解．
本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，，
由正弦定理得，，
，
又，且，
，
．
故选：．
由正弦定理求出的值，由题意可知，从而求出的大小．
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量的线性运算，即可求解．
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．
【解答】
解：，，且，均为锐角，，，
，
结合，求得，
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：，
，
又，
，
故的零点所在区间为，
故选：．
求导并判断，代入，判断函数值的正负，利用函数零点的判定定理即可．
本题考查了函数零点的判定定理，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由，，
等式两边平方相加得，
即，
即，则或．
由，得，
得，得，则，
故C．
故选：．
利用等式两边平方相加，进行化简得的值，然后利用确定的范围，最终确定的取值即可．
本题主要考查解三角形的应用，利用两角和差的三角公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，，
又，，
则，
即，
又，，，
则，
即，
则，
设与的夹角为，
则．
故选：．
由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解即可．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：已知向量，，且，
则，
即，
即，
对于选项A，由题意可得：，即选项A正确；
对于选项B，，
则，
即选项B错误；
对于选项C，，
又，，
则，
则，
即选项C正确；
对于选项D，向量在向量上的投影向量为，
即选项D正确．
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算及投影向量的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量夹角的运算及投影向量的运算，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，若，满足，故A错误；
对于，设，，，则，
，则，故B正确；
对于，设，，，因为，则复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上，的几何意义为点到的距离，
其最大值为与圆心的距离加，即，故C正确；
对于，若，，则，此时，故D错误．
故选：．
由复数的相关知识逐一判断选项即可．
本题考查复数的概念及其几何意义，还考查了转化思想，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
即，
则故A正确．
B.，故B错误，
C.故C正确，
D.，故D错误．
故选：．
利用两角和差的三角公式以及倍角公式进行化简求解即可．
本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的三角公式以及三角函数的倍角公式进行转化是解决本题的关键，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为满足：：：：，所以由正弦定理得：：：：：，
设，，，因为的面积，所以解得，
即，，，由余弦定理可得，
，
外接圆的半径为，故A正确；
对于，由选项可得角，所以，
所以，故B正确；
对于，若为的中点，则，
所以，所以，
所以的长为故D错误；
对于，若为的外心，，故D正确．
故选：．
利用已知可得，，，结合正弦定理、余弦定理逐项计算可判断每个选项的正确性．
本题考查正余弦定理和三角形面积公式的应用，考查向量的数量积的计算，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由正弦定理可得，为外接圆的半径，
．
故答案为：．
直接利用正弦定理求解．
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，
所以两边平方，可得，
则．
故答案为：．
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为四边形中，，，是的中点，，，
设，
中，，
所以，，
同理，
中，由余弦定理得，
所以．
故答案为：．
由已知结合锐角三角函数定义先求出，，然后结合余弦定理可求．
本题主要考查了锐角三角函数的定义，还考查了余弦定理的应用，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：

由得，即，
作出函数和的图象如图：
当时，，，
由时，得，即，
即，
则两个图象共有个交点，故零点个数为个．
故答案为：．
先将进行化简，利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查函数零点个数的判断，利用三角函数的倍角公式进行化简，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点个数问题进行判断是解决本题的关键，是中档题．
 

17.【答案】解：设，
，
，的虚部为，
，解得，，
故；
，
复数在复平面上对应的点在第二象限，
，解得，
实数的取值范围为． 

【解析】根据已知条件，结合复数模公式，复数的几何意义，虚部的定义，即可求解；
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．
 

18.【答案】解：由已知，所以，所以，
所以，所以；
与的夹角的余弦值为，
所以与的夹角为． 

【解析】由已知，得到两个向量的数量积，然后将所求平方可求；
利用数量积公式求之．
本题考查了向量的模的求法以及利用数量积公式求向量的夹角；属于基础题．
 

19.【答案】解：直角梯形的三个顶点分别为，，，且．
设顶点的坐标，，，，
可得，解得，，
所以顶点的坐标．
为线段上靠近点的三等分点，，为线段的中点，，，，
． 

【解析】设出的坐标，利用向量共线以及向量的数量积为，求解的坐标即可．
求出，的坐标，然后求解向量的模即可．
本题考查平面向量的坐标运算，向量的数量积的应用，向量的模的求法，是中档题．
 

20.【答案】解：，
，即，
在中，由余弦定理得，
，；
由得，
，，
又，则，
为最小角，为最大角，即为最短边，为最大边，
又，，则，，
又在中，，
由正弦定理得，即，解得，
故最短边长为． 

【解析】由题意得，即，利用余弦定理，即可得出答案；
由得，结合题意可得，则，故B为最小角，为最大角，即为最短边，为最大边，结合，求出，，利用正弦定理，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：，
所以函数的最小正周期；
因为，
又因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为，
所以，
所以，
所以对恒成立，
令，则
故对恒成立，
令，
因为在上单调递减，在上单调递增，，，
所以在上的最大值为，
所以，
故实数的取值范围． 

【解析】根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，以及周期公式，即可求解；
根据已知条件，结合分离参数法，求出对恒成立，再结合三角函数的性质，以及对勾函数的单调性，即可求解．
本题主要考查函数恒成立问题，考查转化能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：若去掉：设，，则，
中，由余弦定理得，，
即
同理中，，
即，
联立可得，，
故AC；
由知，，设，则，
中，由正弦定理得，
则，，
因为为锐角三角形，
所以，即，
因为，
所以在边上，，，
所以的周长为



；
去掉：设，则，
中，，
同理，
因为，
所以，即，
解得，；
由得，
中，由余弦定理得，，
由为三角形内角得，
设，则，
中，由正弦定理得，
则，，
因为为锐角三角形，
所以，即，
因为，
所以在边上，，，
所以的周长为



；
去掉，答案都不唯一，不符合题意． 

【解析】若去掉：设，，则，结合余弦定理可求出，，进而可求；
设，结合正弦定理可求出，，先由已知求出的范围，再由和差角公式，二倍角公式，同角基本关系化简后，利用正切函数的性质可求；
去掉，设，则，由余弦定理可求，进而可求；
由得，然后结合余弦定理先求出，同去掉的方法可求．
去掉，答案都不唯一，不符合题意．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，二倍角公式及同角基本关系在求解三角形中的应用，属于中档题．