2020-2021学年江苏省苏州市吴江区高一（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省苏州市吴江区高一（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省苏州市吴江区高一（上）期中数学试卷
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）已知全集，集合，1，2，3，4，，，则图中阴影部分所表示的集合为　　

A． B．， C．， D．，1，
2．（5分）已知集合，，，2，，则“”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知函数，则（2）等于　　
A．0 B． C．3 D．
4．（5分）若，，，且，则下列不等式一定成立的是　　
A． B． C． D．
5．（5分）“，”为真命题，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
6．（5分）对，用表示，中的较大值，记为，，若，，则的最小值为　　
A． B．0 C．1 D．4
7．（5分）有一支长的队伍匀速前进，速度大小为，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度大小均为，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了，则值为　　
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数满足，若函数的图象与的图象有4个交点，分别为，，，，，，，，则　　
A．2 B．4 C．8 D．
二､选择题本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9．（5分）下列函数中，对，满足的是　　
A． B． C． D．
10．（5分）设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有　　
A． B． C． D．
11．（5分）已知，是正数，且，下列叙述正确的是　　
A．最大值为 B．的最小值为
C．最大值为 D．最小值为4
12．（5分）已知，则下列结论正确的是　　
A．方程无解
B．的最小值为2
C．的图象关于对称
D．的单调递增区间为和
三、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分
13．（5分）命题“，”的否定为　　．
14．（5分）函数，对，有，则实数的值为　　．
15．（5分）图①是某公交车线路的收支差额（票价总收入减去运营成本）与乘客量的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是　　；图③的建议是　　．

16．（5分）已知，，，，则的最小值为　　．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）幂函数过点．
（1）求的值，并证明在，是增函数；
（2）幂函数是偶函数且在是减函数，请写出的一个表达式．（直接写结果，不需要过程．
18．（12分）设全集为，，．
（1）若，求，；
（2）若“”是“”的______条件，求实数的取值范围．
请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件．这三个条件中选一个填在横线上，使实数有解，并解答问题．
19．（12分）已知．
（1）若方程在，上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
20．（12分）2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形和构成的面积为的十字型地域，计划在正方形上建一座“观景花坛”，造价为4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元，再在四个空角（如等）上铺草坪，造价为80元．
（1）设总造价为元，长为，试建立与的函数关系；
（2）当为何值时，最小？并求这个最小值．

21．（12分）已知函数．
（1）请在如图所示的直角坐标系中作出时的图象，并根据图象写出函数的单调区间；
（2）设函数在，上的最小值为（a）；
①求（a）的表达式；
②若，求（a）的最大值．

22．（12分）已知函数．
（1）若在，上，使得成立，求实数的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数在区间，上的最大值是5，求的取值范围．

2020-2021学年江苏省苏州市吴江区高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）已知全集，集合，1，2，3，4，，，则图中阴影部分所表示的集合为　　

A． B．， C．， D．，1，
【分析】判断出阴影部分中的元素在中但不在中即在与的补集的交集中．
【解答】解：由已知中阴影部分在集合中，而不在集合中，
故阴影部分所表示的元素属于，不属于（属于的补集）
即，．
故选：．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据图象确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．
2．（5分）已知集合，，，2，，则“”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】先有成立判断是否能推出成立，反之判断“”成立是否能推出成立；利用充要条件的题意得到结论．
【解答】解：当时，，所以，即能推出；
反之当时，所以或，所以成立，推不出
故“”是“”的充分不必要条件
故选：．
【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件．
3．（5分）已知函数，则（2）等于　　
A．0 B． C．3 D．
【分析】由，得，代入函数的解析式求出即可．
【解答】解：函数，
（2），
故选：．
【点评】本题考查了函数求值问题，是一道基础题．
4．（5分）若，，，且，则下列不等式一定成立的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据条件，取特殊值即可排除，由不等式的基本性质即可判断．
【解答】解：根据，，，且，取，，，则可排除；
取，，，则可排除；
根据不等式的基本性质，由，可知成立，故正确．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
5．（5分）“，”为真命题，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【分析】根据含有量词的命题的定义进行判断，分离参数即求的最小值即可．
【解答】解：“，”为真命题，
即，，
即当时，的最小值，
令，，
由基本不等式可得，，
当且仅当，时取等号，
所以，
则实数的取值范围为是．
故选：．
【点评】本题主要考查命题的真假，根据全称命题的定义和一元二次不等式的解法求解是解决本题的关键．
6．（5分）对，用表示，中的较大值，记为，，若，，则的最小值为　　
A． B．0 C．1 D．4
【分析】先求出函数的解析式，然后根据分段函数求最值的方法求出最小值即可．
【解答】解：令，解得，
则，
当时，（2），
当或时，（2），
所以函数的最小值为1，
故选：．
【点评】本题考查了分段函数求最值的问题，涉及到解一元二次不等式问题，属于基础题．
7．（5分）有一支长的队伍匀速前进，速度大小为，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度大小均为，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了，则值为　　
A． B． C． D．
【分析】设传令兵从队尾到队头的时间为，从队头到对尾的时间为，队伍前进用的时间为，由可得，化简整理即可求出值．
【解答】解：设传令兵从队尾到队头的时间为，从队头到对尾的时间为，队伍前进用的时间为，
由传令兵往返总时间与队伍运动时间相等可得如下方程：，
，
整理得：，
解得：，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，是中档题．
8．（5分）已知函数满足，若函数的图象与的图象有4个交点，分别为，，，，，，，，则　　
A．2 B．4 C．8 D．
【分析】根据可知，的图象关于，对称，然后将化简后也可以看出关于对称，由此它们的交点也关于对称，问题可解．
【解答】解：因为函数满足，故的图象关于对称；
而，
该函数图象是由函数的图象向右平移个单位，然后向上平移一个单位得到的，
结合的图象关于对称，故的图象关于对称．
设该它们的四个交点，，，，，，，分成两对各自关于对称，
不妨设，与，对称，，与，对称，
则．
故选：．
【点评】本题考查函数的零点与函数的性质的综合考查，注意对称性在研究函数零点时的应用．属于中档题．
二､选择题本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9．（5分）下列函数中，对，满足的是　　
A． B． C． D．
【分析】利用已知的条件即可判断选项是否正确．
【解答】解：选项，正确，
选项，错误，
选项，正确，
选项，错误，
故选：．
【点评】本题考查了函数的性质以及解析式问题，属于基础题．
10．（5分）设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有　　
A． B． C． D．
【分析】利用集合的包含关系定义，以及充要条件的定义分别判断即可．
【解答】解：对于：当有成立，反之，若成立，成立，所以符合；
对于：当，有；反之，若成立，成立，所以不符合；
对于：若有，反之若，则，故符合；
对于，故符合；
故选：．
【点评】本题考查了集合的图形语言，考查了子集与集合运算的等价关系，属于基础题．
11．（5分）已知，是正数，且，下列叙述正确的是　　
A．最大值为 B．的最小值为
C．最大值为 D．最小值为4
【分析】由已知结合基本不等式及一些常见的结论分别检验各选项即可判断．
【解答】解：，是正数，且，当且仅当时取等号，
解可得，，即的最大值，正确；
，当且仅当且即，时取得最小值，正确；
因为，
所以，
所以，当且仅当即，时取等号，结合已知可知，等号取不到，即没有最大值，错误；
因为，
当且仅当且即时取等号，不正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是结论的灵活变形，属于中档试题．
12．（5分）已知，则下列结论正确的是　　
A．方程无解
B．的最小值为2
C．的图象关于对称
D．的单调递增区间为和
【分析】结合函数的零点及基本不等式的应用条件，函数对称性的应用及导数与单调性的关系检验各选项即可判断．
【解答】解：由可得，且，此时方程没解，正确；
当时，显然2不是最小值，不正确；
因为，
所以，
故的图象关于对称， 正确；
，
当或时，，函数单调递增，正确．
故选：．
【点评】本题综合考查了函数的最值，对称轴及单调性的判断，属于函数性质的综合应用．
三、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分
13．（5分）命题“，”的否定为　，　．
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论
【解答】解：命题为特称命题，则命题“，”的否定为，，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
14．（5分）函数，对，有，则实数的值为　　．
【分析】利用已知求出，然后令，即可求解．
【解答】解：因为，
所以，
当时，，则，又，
所以，
所以，
故答案为：．
【点评】本题考查了分段函数的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
15．（5分）图①是某公交车线路的收支差额（票价总收入减去运营成本）与乘客量的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是　提高票价　；图③的建议是　　．

【分析】根据题意知图象反应了收支差额与乘客量的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明．
【解答】解：由图②看出，当乘客量为0时，支出不变，
但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，
即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，
由图③知，两直线平行即票价不变，
直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，
即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；
综上可得图②的建议是提高票价，图③的建议是降低成本．
故答案为：提高票价，降低成本．
【点评】本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想．
16．（5分）已知，，，，则的最小值为　　．
【分析】根据条件可得，然后由，利用基本不等式，即可求出的最小值．
【解答】解：，，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属中档题．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）幂函数过点．
（1）求的值，并证明在，是增函数；
（2）幂函数是偶函数且在是减函数，请写出的一个表达式．（直接写结果，不需要过程．
【分析】（1）根据待定系数法求出函数的解析式，根据单调性的定义证明即可；
（2）写出满足条件的函数的解析式即可．
【解答】解：（1）将代入，
得：，解得：，
故，
设，，，且，
则，
，，
，
故，即，
故在，递增；
（2）．
【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查根据定义证明函数的单调性问题，考查函数的奇偶性和单调性问题，是一道常规题．
18．（12分）设全集为，，．
（1）若，求，；
（2）若“”是“”的______条件，求实数的取值范围．
请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件．这三个条件中选一个填在横线上，使实数有解，并解答问题．
【分析】（1）时，求出集合，，由此能求出和．
（2）选①，求出集合，推导出，当时，，当时，，由此能求出实数的取值范围．
选②，求出集合，推导出，由此能求出实数的取值范围．
选③，求出集合，推导出，无解．
【解答】解：（1）时，，
．
，
或．
（2）选①，，．
“”是“”的充分不必要条件，
，
当时，，则，
当时，，解得．
综上，实数的取值范围是．
选②，，．
“”是“”的必要不充分条件，
，
，解得．
实数的取值范围是，．
选③，，．
“”是“”充要条件，
，无解．
故应该①或②，不应该选③．
【点评】本题考查交集、补集、并集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．（12分）已知．
（1）若方程在，上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【分析】（1）利用方程的根与函数的关系，构造不等式即可；
（2）由题意得关于的一元二次不等式，然后通过分类讨论求解．
【解答】解：（1）因为在，上有两个不等实根，
故，解得．
所以实数的取值范围为，．
（2）不等式即，
等价于，
当，即时，，显然无解；
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式的解集为．
综上可知，时，不等式无解；当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为．
【点评】本题考查函数与方程之间的关系，一元二次不等式的解法．属于中档题．
20．（12分）2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形和构成的面积为的十字型地域，计划在正方形上建一座“观景花坛”，造价为4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元，再在四个空角（如等）上铺草坪，造价为80元．
（1）设总造价为元，长为，试建立与的函数关系；
（2）当为何值时，最小？并求这个最小值．

【分析】（1）先设，又，根据由二个相同的矩形和构成的面积为的十字型地域得出的函数表达式，最后建立建立与的函数关系即得；
（2）利用基本不等式求出（1）中函数的最小值，并求得当取何值时，函数的最小值即可．
【解答】解：（1）设，又，则，，
．
（2），
当且仅当，即时，元．
【点评】本小题主要函数模型的选择与应用、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．
21．（12分）已知函数．
（1）请在如图所示的直角坐标系中作出时的图象，并根据图象写出函数的单调区间；
（2）设函数在，上的最小值为（a）；
①求（a）的表达式；
②若，求（a）的最大值．

【分析】（1）代入的值，函数解析式即可求出，进而可以作出函数图象，单调区间即可求出；
（2）①讨论对称轴与区间的三种位置关系，即可求解；②分析出函数（a）在定义域上的单调性，即可求出最大值．
【解答】解：（1）当时，，
函数的图象如图所示：
增区间为，，减区间为，；
（2）①因为，，所以，，
因为，所以，
若，即时，在，上单调递增，所以（1）；
若，即时，在，上递减，在上递增，
所以；
若，即时，在，上单调递减，所以（2），
综上：（a），
②时，（a），因为，在上单调递增，
所以（a）在单调递增，
所以（a）的最大值为．

【点评】本题考查了分段函数的图象以及的单调性，考查了含参数二次函数闭区间上求最值的问题，属于中档题．
22．（12分）已知函数．
（1）若在，上，使得成立，求实数的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数在区间，上的最大值是5，求的取值范围．
【分析】（1）运用单调性的定义判断在递减，递增，求得在，的值域，的范围，由存在性可得的范围；
（2）可令，运用参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围；
（3）求得，，讨论，，，去绝对值，运用基本不等式，解方程可得所求范围．
【解答】解：（1）设任意的，，，且，则，
因为，，，且，所以，，，
所以，所以，即在，递减，
同理可得在，递增，
所以，所以，即，
因为，使得成立，可得；
（2）设，
由题意可得对，恒成立，所以，
因为，在时有最小值，
所以；
（3）因为，，所以，，
①当时，，所以的最大值为，即（舍去）；
②当时，，此时命题成立；
③当时，，，
则或，解得或．
综上，实数的取值范围是，．
【点评】本题考查对勾函数的单调性的判断和运用：求最值，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
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日期：2021/2/23 14:18:11；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394