2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高一（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高一（上）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高一（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合，1，，，则　　
A．， B．，1， C． D．
2．（5分）命题“，，”的否定是　　
A．， B．，
C．，， D．，，
3．（5分）下列命题正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．若，，则
4．（5分）已知函数，则不等式的解集是　　
A． B． C． D．
5．（5分）函数的单调递减区间是　　
A．， B．， C．， D．，
6．（5分）“为无理数”是“为无理数”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．（5分）若实数满足，则的取值范围是　　
A． B．，，
C． D．，，
8．（5分）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．已知两次购买时物品的价格分别为和，按第二种购物方式购买物品的平均价格为2，则按第一种购物方式每次购买36件物品的总花费的最小值是　　
A．36 B．72 C．144 D．180
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.
9．（5分）已知函数的定义域为，，值域为，，则实数对的可能值为　　
A． B． C． D．
10．（5分）设函数在区间上有定义，在区间上称为凸函数当且仅当：，，有，则下列函数在区间上是凸函数的是　　
A． B． C． D．
11．（5分）有关函数，下列说法正确的是　　
A．存在实数，，，使是奇函数
B．若在上为单调增函数，则
C．若是偶函数，则，
D．在区间，上没有最小值
12．（5分），表示不超过的最大整数，例如，．十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中是真命题的是　　
A．， B．，，
C．， D．函数的值域为，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．（5分）已知函数，则（3）　　．
14．（5分）设集合，，若，则实数的取值范围是　　．
15．（5分）已知函数，若有三个零点，则实数的取值范围是　　．
16．（5分）若函数的图象关于直线对称，则的最大值为　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）设，，，，．
（1）分别求，；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（12分）已知为二次函数，且的两个零点为1和3，为幂函数，且和都经过点．
（1）求函数的定义域；
（2）当，时，求函数的值域．
19．（12分）已知，：关于的不等式恒成立．
（1）当时，成立，求实数的取值范围；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．
20．（12分）如图，已知等腰三角形中，米，米，点从点沿直线运动到点即停止，设点的运动速度是米秒，运动时间为秒．过作的垂线，记直线左侧部分的多边形为，的面积为．
（1）求的表达式；
（2）记的面积在秒内的平均变化速率为，求的最大值．

21．（12分）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
（1）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论，不需要证明；
（2）若定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，．
①比较，，（2）的大小；
②求不等式的解集．
22．（12分）如果函数在定义域的某个区间，上的值域恰为，，则称函数为，上的倍域函数，，为函数的一个倍域区间．已知函数，且不等式的解集为．
（1）求实数，的值；
（2）设，那么当时，是否存在区间，，使得函数为，上的倍域函数？若存在，请求出区间，；若不存在，请明理由．

2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合，1，，，则　　
A．， B．，1， C． D．
【分析】求出集合，利用交集定义直接求解．
【解答】解：集合，1，，
，
，．
故选：．
【点评】本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）命题“，，”的否定是　　
A．， B．，
C．，， D．，，
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．
【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即，，，
故选：．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．
3．（5分）下列命题正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．若，，则
【分析】根据个选项所给条件，取特殊值即可判断；由不等式是的基本性质，结合作差法即可判断．
【解答】解：．根据，取，，则不成立，故错误；
．根据，取，，则不成立，故错误；
．根据，可知，，，故正确；
．根据，，取，，则不成立，故错误．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
4．（5分）已知函数，则不等式的解集是　　
A． B． C． D．
【分析】根据函数解析式作出的图象，由图象得到的单调性，列出关于的不等式求解出的范围即为不等式解集．
【解答】解：的图象如下图所示：
由图象可知：在上单调递增，
，，
得，即，解得．
不等式的解集为．
故选：．

【点评】本题考查根据函数的单调性解不等式，着重考查了数形结合思想，已知函数的单调性，可将函数值之间的不等关系转变为自变量之间的不等关系，从而求解出相应自变量的取值范围，属于中档题．
5．（5分）函数的单调递减区间是　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数的定义域，再求出内层函数二次函数的减区间得答案．
【解答】解：由，得或，
则函数的定义域为，，，
令，该函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为，
且在，上是减函数，而外层函数是定义域内的增函数，
函数的单调递减区间是，．
故选：．
【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键，是中档题．
6．（5分）“为无理数”是“为无理数”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【分析】“为无理数”，则必然为无理数；而为无理数，例如取，则为实数．即可判断出关系．
【解答】解：“为无理数”，则必然为无理数，否则为实数；
而为无理数，例如取，则为实数．
因此“为无理数”是“为无理数”必要不充分条件．
故选：．
【点评】本题考查了无理数的意义及其性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（5分）若实数满足，则的取值范围是　　
A． B．，，
C． D．，，
【分析】问题转化为，整理得到，结合分母不为0，解出即可．
【解答】解：，
，
，
，解得：，
而，则：且，
故不等式的解集是，，
故选：．
【点评】本题考查了不等式的解法，考查转化思想，是一道基础题．
8．（5分）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．已知两次购买时物品的价格分别为和，按第二种购物方式购买物品的平均价格为2，则按第一种购物方式每次购买36件物品的总花费的最小值是　　
A．36 B．72 C．144 D．180
【分析】设第一次与第二次购物的价格分别为，，分别求出两次购物的平均价格，把，代入可得，再写出按第一种策略的总花费，然后利用基本不等式求最值．
【解答】解：设第一次与第二次购物的价格分别为，，
按第一种策略，每次购，则两次的平均价格为；
按第二种策略，第一次花元，购入物品，第二次仍花元，购入物品，
两次平均价格为．
由题意得，，，，即，
则按第一种策略的总花费
，
当且仅当，即，时等号成立．
故选：．
【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.
9．（5分）已知函数的定义域为，，值域为，，则实数对的可能值为　　
A． B． C． D．
【分析】画出函数的图象，根据图象即可判断出实数对的可能值．
【解答】解：画出函数的图象，如图所示：，
由图象可知，当定义域为或或时，值域为，，
当定义域为时，值域为，，
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，是基础题．
10．（5分）设函数在区间上有定义，在区间上称为凸函数当且仅当：，，有，则下列函数在区间上是凸函数的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意，按定义分析可得若在区间上称为凸函数，可得答案．
【解答】解：根据题意，若在区间上称为凸函数，即当且仅当，，有成立，
依次分析选项：
对于，，在区间上，有，
，
所以有，
可得成立，不符合题意，
对于，，在区间上，有，
，
可得成立，符合题意，
对于，，在区间上，有，
，
有成立，符合题意，
对于，，在区间上，有，
，
可得成立，不符合题意，
故选：．
【点评】本题考查函数的图象分析，注意分析“凸函数”的函数图象特点，属于基础题．
11．（5分）有关函数，下列说法正确的是　　
A．存在实数，，，使是奇函数
B．若在上为单调增函数，则
C．若是偶函数，则，
D．在区间，上没有最小值
【分析】选项，利用奇偶性的定义即可求解，选项，求出函数的单调性即可求解．
【解答】解：选项：若函数是奇函数，则，
设，则，所以，
所以有且，所以存在，，满足函数是奇函数，正确，
选项：若函数在上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，只需，所以，错误，
选项：若函数是偶函数，则，
设，则，所以，所以且，正确，
选项：当时，函数在区间单调递减，在，上单调递增，
所以函数在，上单调递减，在上单调递增，
则当时，函数有 最小值，错误，
故选：．
【点评】本题考查了分段函数的奇偶性以及单调性和最值问题，考查了学生的的运算转化能力，属于基础题．
12．（5分），表示不超过的最大整数，例如，．十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中是真命题的是　　
A．， B．，，
C．， D．函数的值域为，
【分析】由“取整函数”的定义可判断选项，；由“取整函数”的定义及不等式的性质可判断选项，．
【解答】解：由定义得：，故对，，故错误；
由定义可得，对，，，，，，，
所以，，
所以，故正确；
由定义得，故错误；
由定义，所以，所以函数的值域是，，故正确．
故选：．
【点评】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础，由新定义把问题转化为不等关系是解题关键，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．（5分）已知函数，则（3）　　．
【分析】推导出（3）（2）（1），由此能求出结果．
【解答】解：函数，
（3）（2）（1）．
故答案为：．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）设集合，，若，则实数的取值范围是　，　．
【分析】由集合，，由题意得是非空集合，得到有解，故△，由此能求出实数的取值范围．
【解答】解：集合，，
由题意得，是非空集合，
有解，
△，
解得，
实数的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查集合的性质和应用，解题时要认真审题，注意一元二次方程的根有判别式的合理运用，属于基础题．
15．（5分）已知函数，若有三个零点，则实数的取值范围是　，　．
【分析】由函数的零点转化为方程的根，再转化为两函数图象的交点问题，再利用数形结合即可求解．
【解答】解：令，则，
所以问题可转化为函数与函数有三个不同的交点，
函数图象如图所示：
利用数形结合可得实数的取值范围为：，，
故答案为：，．
【点评】本题考查了函数的零点与方程根的问题，涉及到数形结合思想，属于基础题．
16．（5分）若函数的图象关于直线对称，则的最大值为　16　．
【分析】由题意得且（1），由此求出且，由此可得．利用导数研究的单调性，可得在区间、上是增函数，在区间，、，上是减函数，结合，即可得到的最大值．
【解答】解：函数的图象关于直线对称，
且（1），
即且，
解之得，
因此，，
求导数，得，
令，得，，，
当时，；当，时，；
当时，； 当，时，
在区间、上是增函数，在区间，、，上是减函数．
又，
的最大值为16．
故答案为：16．
【点评】本题给出多项式函数的图象关于对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）设，，，，．
（1）分别求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【分析】（1）先求出，，，由此能求出，，．
（2）由，得，由此能求出的取值范围．
【解答】解：（1），，
又由，可得，解得，
，，
，，，
，，．
（2），，
，，，
，解得，
的取值范围．
【点评】本题考查交集、补集、并集、实数值的求法，考查交集、补集、并集、子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18．（12分）已知为二次函数，且的两个零点为1和3，为幂函数，且和都经过点．
（1）求函数的定义域；
（2）当，时，求函数的值域．
【分析】先利用待定系数法求出函数和的解析式，
（1）得到函数的解析式，求出函数的定义域即可．
（2）得到函数的解析式，令，则，，所以，利用二次函数的性质即可求出函数的值域．
【解答】解：设，，
又过点，
，解得，
，
设为常数），由都过点知，
，
，
（1），
，
解得：或，
函数的定义域为：，，．
（2）令，
，，，，
，
当时，；当时，，
所以函数的值域为，．
【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，考查了二次函数的性质，是中档题．
19．（12分）已知，：关于的不等式恒成立．
（1）当时，成立，求实数的取值范围；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．
【分析】（1）由△得含的不等式，解之得的取值范围；
（2）把是的充分条件转化为，，恒成立，即，进而求出实数的取值范围．
【解答】解：（1）当时，成立，则△，解得，
即的取值范围为，
（2）由，解得，即，，
是的充分条件，
，，恒成立，
，
若，则恒成立，
若，，则，，
，
，
由于，当且仅当时取等号，
，
故的范围为．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）如图，已知等腰三角形中，米，米，点从点沿直线运动到点即停止，设点的运动速度是米秒，运动时间为秒．过作的垂线，记直线左侧部分的多边形为，的面积为．
（1）求的表达式；
（2）记的面积在秒内的平均变化速率为，求的最大值．

【分析】（1）对分情况讨论，分别求出的解析式，最后写成分段函数即可．
（2）由的解析式求出的解析式，当时，利用单调性求出的最大值，当时，利用基本不等式求出的最大值，再比较两者的大小，取较大者即为的最大值．
【解答】解：（1）当时，，，
当时，，
所以．
（2），
当时，，在，上单调递增，
时，，
当时，，
当且仅当时，等号成立，，
又，
．
【点评】本题主要考查了分段函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．
21．（12分）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
（1）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论，不需要证明；
（2）若定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，．
①比较，，（2）的大小；
②求不等式的解集．
【分析】（1）直接利用已知条件得出结论；
（2）①利用函数的单调性的应用判定函数结论；
②利用函数的单调性整理成不等式的解法，进一步求出结果．
【解答】解：（1）函数的图象关于成轴对称图形的充要条件为为偶函数，
（2）①设，则，
由于，
所以，，
所以，所以函数在上单调递减．
由函数的图象关于直线对称，所以（2），
又，
所以（2），
②由，
所以，
即，
所以不等式的的解集为．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
22．（12分）如果函数在定义域的某个区间，上的值域恰为，，则称函数为，上的倍域函数，，为函数的一个倍域区间．已知函数，且不等式的解集为．
（1）求实数，的值；
（2）设，那么当时，是否存在区间，，使得函数为，上的倍域函数？若存在，请求出区间，；若不存在，请明理由．
【分析】（1）由不等式的解集为推出的根是和4，利用根与系数的关系就可以求得、的值；
（2）假设存在区间，使命题成立，利用题干中的定义判断，所在区间得到，进而判断所需条件是否存在．
【解答】解：（1）不等式的解集为，
的根为，4，即的根为，4．
；解得：，．
（2），
若存在区间，使函数为，上的倍域函数，
则，由已知，可得：，
在，上单调递减，
，即
解得：，
，，
又，

存在，满足题意．
【点评】本题（1）考察了一元二次不等的解集与相应一元二次方程实根的关系，根与系数的关系的应用，（2）考察了对新概念的理解以及探索性问题的求解方法，其中还考察了不等式和方程组的解法，综合性强，难度较大．
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日期：2021/2/23 14:23:11；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394